Transcript FGeo_Andrey_Aula01

T E M A
GEOMETRIA AXIOMÁTICA,
SEGMENTOS DE RETA
CONTEÚDOS
• Axiomática;
• As Partes de uma Reta;
[
Um pouco de história ]
Geometria significa "medida da terra". Mas
o que se tem de mais interessante ao se
estudar a história, é que os primeiros
passos no estudo da geometria foram
dados com base numa hipótese falsa.
[ Um pouco de história ]
Acreditava-se que a Terra era plana,
portanto, todas as pesquisas foram feitas
segundo essa crença, mas isso não impediu
o desenvolvimento da geometria. Foi no
período grego, entre 600 e 300 a.C., que a
geometria se firmou como um sistema
organizado, e muito disso se deve a
Euclides.
[ O Método Axiomático ]
Na matemática, existem conceitos que
determinam o modo de organizar o
pensamento. São eles:
Conceitos Primitivos
Axiomas
Teoremas/Lemas
Corolários
[ Conceitos Primitivos ]
Um conceito é dito primitivo quando não
necessita de definição, simplesmente é tido
como verdade. Um exemplo é o “ponto”.
O conceito primitivo deve ser representado
por uma palavra (ou um conjunto de
palavras) que possa ser de fácil aceitação e
intuitivo .
[ Axiomas ]
Os axiomas (ou postulados) são regras
simples (ou conjunto de regras) que
determinam como os conceitos primitivos
devem se comportar, suas propriedades e,
além disso, são fatos não demonstráveis.
[ Teoremas ]
Todas as proposições obtidas devem ser
demonstradas, caso sejam verdadeiras,
desde que sejam aceitos os axiomas como
verdadeiros.
Chamaremos
proposições de teoremas.
estas
[ Lemas ]
Quando é preciso utilizar uma proposição
auxiliar em uma demonstração de um
teorema, chamamos esta proposição de
lema.
[ Corolários ]
As conseqüências imediatas dos teoremas
são os corolários.
[ Geometria Euclidiana ]
A Geometria de Euclides foi a primeira
teoria matemática a ser axiomatizada. Ela
é chamada de Geometria Euclidiana, e
descreve o mundo real.
[ Geometria Não-Euclidiana ]
Na tentativa de demonstrar o (famoso)
quinto postulado de Euclides, surgiram as
Geometrias não-Euclidianas, como, por
exemplo, a Geometria Hiperbólica.
[ Quinto Postulado de Euclides ]
“Por um ponto P exterior a uma reta m,
consideradas em um mesmo plano, existe
uma única reta s paralela à reta m.
.
P
m
s
[ Definições, Teoremas e Demonstrações ]
Uma definição é um conceito elaborado
em função de elementos conhecidos. Por
exemplo, a definição de segmento de reta:
“parte ou porção da reta limitada por dois
pontos”.
[ Definições, Teoremas e Demonstrações ]
Um teorema é aceito como uma verdade se
ele for provado.
O enunciado de um teorema se divide em:
•Hipótese
•Tese
[ Definições, Teoremas e Demonstrações ]
•Hipótese:
conjunto
de
todas
as
informações iniciais
•Tese: resultado ao qual se pretende
chegar
•Demonstração: conjunto de raciocínios
que permite chegar à tese.
[ Noções Primitivas em Geometria Plana ]
As noções primitivas da geometria plana
são:
•Ponto
A
•Reta
•Plano

r
[ Axiomas de Existência ]
1. Numa reta, bem como fora dela, existem
infinitos pontos.
2. Dados dois pontos distintos, existe uma
única reta que os contém.
3. Num plano há infinitos pontos.
[ Definições ]
1. Pontos colineares são pontos
pertencem a uma mesma reta.
A
B
que
2. Duas retas contidas num mesmo plano
são paralelas quando não possuem ponto
em comum.
r
s
[ Definições ]
3. Dados dois pontos distintos A e B, a
reunião do conjunto desses dois pontos
com o conjunto dos pontos que estão
entre eles é um segmento de reta.
Representa-se por
A
.
AB
B
[ Definições ]
4. Dados dois pontos distintos A e B, a
reunião do segmento de reta
AB
com o
conjunto dos pontos X tais que B está
entre A e X é a semi-reta AB (indicada
por
AB )
reta.
. O ponto A é a origem da semiA
B
X
[ Observação ]
Se A está entre B e C, as semi-retas
e A C são ditas semi-retas opostas.
B
A
C
AB
[ Definições ]
5.
Pontos
coplanares
são
pertencentes a um mesmo plano.

A
B
pontos
[ Axiomas de Determinação ]
4. Dados dois pontos distintos, existe uma
única reta que passa por eles.
5. Dados três pontos não colineares, existe
um único plano que passa por eles.
[ Axiomas de Determinação ]
6. Se uma reta possui dois pontos que
pertencem a um plano, então a reta está
contida nesse plano.
A Geometria Plana estuda figuras planas,
ou seja, figuras cujos pontos estão todos
num mesmo plano.
[ Classificação de Segmentos de Reta ]
Dois
segmentos
classificados em:
• Consecutivos
• Colineares
• Adjacentes
de
reta
podem
ser
[Segmentos Consecutivos]
Dois segmentos de reta são consecutivos
se uma extremidade de um deles é
também extremidade do outro:
B
C
A
P
Q
R
[Segmentos Colineares]
Dois segmentos de reta são colineares se
estão numa mesma reta.
A
B
C
D
P
Q
R
[Segmentos Adjacentes]
Dois segmentos de reta são adjacentes se
são consecutivos e colineares, e não
possuem pontos internos em comum.
MN
P
R
S
T
] [Adição de Segmentos
Dados dois segmentos
AB
e
CD ,
tomando-se numa semi-reta qualquer de
origem R os segmentos R P e
que
RP  AB
e PT  CD
que o segmento R T
CD
PT
tais
, dizemos
é a soma de A B com
B
C
A
D
R
P
T
RP  AB
PT  CD
RT  AB  CD  RP  PT
[Ponto Médio de Um Segmento]
Dado um segmento A B , dizemos que M é
ponto médio deste segmento se, e somente
se, M está entre A e B e
.
AM  M B
A
M
B
[Distância entre Dois Pontos]
Dados dois pontos A e B, a distância entre
eles é o comprimento do segmento A B
que será representado por m( A B ).
,
Por exemplo, se um segmento
PQ
comprimento igual a três unidades de
comprimento, então:
1 u.c.
A
1 u.c.
1 u.c.
B
tem
[Exemplo]
Observe a figura abaixo e determine
m (A B ) sabendo que M é o ponto médio
de A B .
2x - 5
A
x+8
M
B
[Resolução]
Como M é o ponto médio de A B , temos
que m (A M ) = m (M B ) , logo,
2x  5  x  8
 2x  x  5  8
 x  13
[Resolução]
Mas
m (A B )  (2x - 5)  (x  8)
 3x  3
 3 1 3  3
 42
[Proposição]
Se em uma semi-reta A B considerarmos
um segmento A C , com m (A C ) < m (A B ) ,
então o ponto C estará entre A e B
(o ponto C é chamado de ponto interno de
A B ).
A
C
B
[Demonstração]
Hipótese: m (A C ) < m (A B )
Tese: C está entre A e B
Observemos que, como B e C estão na
mesma semi-reta de origem A, então A
não pode estar entre B e C.
A
C
B
A
C
B
[Demonstração]
Não pode acontecer também de termos B
entre A e C, pois, caso fosse possível,
teríamos que
AB+BC = AC
e,
consequentemente, m (A B ) < m (A C ) . Isto
contraria a hipótese. Sendo assim, resta
apenas a alternativa onde o ponto C está
entre os pontos A e B.
[Razão da Secção Interna]
Consideremos o segmento de reta
AB
e C um ponto interno deste segmento. A
razão
k 
m ( AC )
m (C B )
é chamada razão da seção interna.
A
C
B
Se C for o ponto médio de A B , qual será
a razão da seção interna?
A
C
B
Certamente todos encontraram a resposta
correta:
k = 1.
[Exemplo]
Um segmento A B de medida 9 cm foi
dividido internamente por um ponto C na
razão 2. Encontre a medida dos segmentos
, A C e C B e esboce o segmento com seu
respectivo ponto interno.
[Resolução]
Inicialmente chamemos a medida do
segmento A C
de x. Ainda não sabemos
exatamente a que distância de A encontra-
se o ponto C. Suponhamos que ele esteja
na seguinte posição:
x
A
C
B
[Resolução]
Como o segmento A B
segmento
mede 9 cm e o
mede x cm, então temos
AC
que m (B C )  9  x.
x
A
9-x
C
B
[Resolução]
Sabemos ainda que k = 2, portanto
k 
m ( AC )
m (C B )
Resolvendo
 2
a
x
9x
proporção
encontramos x = 6 cm.
acima,
Desse modo,
concluímos que A C  6 cm e C B . 3 cm
[Resolução]
Agora podemos ter uma precisão quanto à
posição do ponto C:
9cm
A
3cm
C
B
[Razão da Seção Externa]
Consideremos o segmento de reta
AB
e C um ponto fora deste segmento. A
razão
k 
m ( AC )
m (C B )
é chamada razão da seção externa. Qual é
a diferença entre esta razão e a razão
interna?
[Razão da Seção Externa]
No primeiro caso, C é um ponto interno ao
segmento, e no último, é externo:
A
C
C
B
A
B
Ponto interno
Ponto externo
[Exercício]
Um segmento A B de 9 cm
foi dividido
externamente por um ponto C de tal forma
que a razão entre as medida de A C e C B
é 2. Encontre a medida dos segmentos
envolvidos e esboce o segmento com seu
respectivo ponto externo.
Resposta:
m ( B C )  9 cm
m ( A C )  18 cm
9 cm
A
9 cm
B
C
[ Referências ]
• Iezzi, Gelson.
Matemática: Ciência e
aplicações. São Paulo: Editora Atual, 2004.
• Dolce,
O.,
Pompeo,
J.Niicolau.
Fundamentos de Matemática Elementar,
vol.9. São Paulo: Atual,1993.