Transcript Решение логических задач в 6 классе

Решение логических задач в 6
классе (по материалам летней
многопредметной школы
Вишкиль Кировской области)
Пудова Тамара Григорьевна,
учитель математики МАОУ лицея № 23
г.Калининграда
Модуль 1.








Логика
Логика – наука о том, какие формы рассуждений
правильны
Аристотель
Математическая логика
Л. Эйлер
Дж. Венн
Дж. Буль
Г. Лейбниц
ПРОПИСНЫЕ ИСТИНЫ РЕКОМЕНДУЕТСЯ
ПОВТОРЯТЬ КАК МОЖНО ЧАЩЕ…

1. Логическая азбука

2. Рассуждения от противного
3. Применение схем при решении логических
задач
4. Анализ с конца


Диагностика
Логическая азбука

ЛОГИКА – ЭТО СМИРИТЕЛЬНАЯ РУБАШКА ДЛЯ
ФАНТАЗИИ…
О понятии высказывания
Определение. Любое повествовательное
предложение, относительно которого
известно, что оно истинно или ложно,
называется высказыванием.
 Всякое высказывание либо истинно, либо
ложно. Никакое высказывание не может
быть одновременно истинным и ложным.

Примеры высказываний





1) В каждом ромбе диагонали взаимно
перпендикулярны.
2) Число 3 является делителем числа 17.
3) Каждый атом водорода содержит ровно
один электрон.
4) Все кошки – животные млекопитающие.
5) Пекин – столица Японии.
Это не высказывания!
 Число х не превосходит единицы.
Картины Пикассо слишком абстрактны.
 «Который час?»
 «Да здравствует Солнце!»
 «Он сероглаз»
 Об этих утверждениях нельзя сказать,
истинны они или ложны.

Упражнения
• 1. Укажите среди следующих предложений
высказывания:
• а) Луна – спутник Земли.
• б) Все ученики любят математику.
• в) Принеси мне, пожалуйста, книгу!
• д) Некоторые люди имеют голубые глаза.
• е) Вы были в театре?
Упражнения








2. Какие из следующих предложений
являются истинными и какие ложными
высказываниями?
а) Калининград стоит на реке Преголя.
б) Частное от деления числа 7 на 0 равно 0.
в) Сумма числа 5 и числа х равна 10.
г) 𝟏𝟑 − 𝟐 ∙ 𝟕 ∙ 𝟒 = −𝟒.
д) Все треугольники равнобедренные.
е) Существует такое число х, что 2х + 5 = 19.
ж) В 2022 году сборная России выиграет
чемпионат мира по футболу.
Упражнения

3.Племя людоедов поймало Робинзона
Крузо. Вождь сказал: «Мы рады бы
отпустить тебя, но по нашему закону ты
сначала должен произнести какое-нибудь
утверждение. Если оно окажется истинным,
мы съедим тебя. Если оно окажется
ложным, тебя съест наш лев». Помогите
Робинзону!
Операция отрицания высказывания
• Определение. Отрицанием данного
высказывания А называется такое высказывание,
которое истинно, если данное высказывание
ложно, и ложно, если данное высказывание
истинно.
• Отрицание данного высказывания А обозначается
символом А и читается «не А».
• Двойное отрицание: А
• Таблица истинности:
= А.
А
А
А
И
Л
И
Л
И
Л
Пример построения отрицания высказывания


Пример. Если А – высказывание «Река Волга
впадает в Каспийское море», то его отрицание
будет высказывание А: «Неверно, что река Волга
впадает в Каспийское море». В данном примере
высказывание А истинно, а его отрицание А ,ложно.
Отрицанием ложного высказывания В(«𝟑𝟐 = 6»)
является истинное высказывание В («𝟑𝟐 = 9»).
Как построить отрицание высказывания
Отрицание некоторого высказывания А можно
получить, если перед данным высказыванием
поставить слова «неверно, что» или к сказуемому из
высказывания А добавить частицу «не», например,
«Река Волга не впадает в Каспийское море».
Если высказывание А уже содержит частицу «не»
перед сказуемым, то для образования
высказывания А её надо отбросить. Например, если
А – высказывание «Иван не решил задачу», то
высказывание А будет таким: «Иван решил задачу».
Маленькие слова «и» , «или» с большим
значением
Если два высказывания А,В связаны друг с другом
союзом «и», то полученное сложное высказывание «А и
В» считают истинным лишь в том случае, когда оба
исходных высказывания истинны. Если же хотя бы одно
из них ложно, то сложное высказывание «А и В»
считают ложным.
 Союз «и» определяет логическую операцию,
называемую конъюнкцией (от латинского слова
«conjunctio» - союз, связь) и обозначаетсяА Λ В.
 Таблица истинности высказывания А Λ В:


А ΛА = Л
Примеры


1. Сложное высказывание «Число 2 четное и
простое» состоит из двух высказываний: «Число 2
четное» и «Число 2 простое». Оба эти
высказывания истинны. Считают, что и сложное
высказывание «Число 2 четное и простое» тоже
истинно.
2. Высказывание «Число 12 четное и простое»
считается ложным; оно состоит из высказываний
«Число 12 четное» и «Число 12 простое», из
которых истинно только первое. Ложным считают
и высказывание «Число 12 нечетное и составное»,
и высказывание «Число 12 нечётное и простое»,
которое состоит из двух ложных простых
высказываний.
Маленькие слова «и» , «или» с большим значением
Высказывания можно связывать друг с другом не
только союзом «и» , но и союзом «или», например:
«На следующем уроке будет контрольная или
самостоятельная работа» ( подробнее: «на
следующем уроке будет контрольная работа или
на следующем уроке будет самостоятельная
работа»).
 В математической логике считают, что
высказывание А или В истинно, если истинно хотя
бы одно из этих высказываний, и ложно лишь в
одном случае – когда оба эти высказывания
ложны. Высказывание «А или В» называют
дизъюнкцией этих высказываний и обозначают
 А V В ( от латинского слова «disjunctio» разобщение, различие).


Пример




Нестрогое неравенство, например,3 ≤ 𝟕.
Такое неравенство считается истинным, если
истинно хотя бы одно из входящих в него
высказываний 3<7, 3=7.
Таблица истинности для высказывания А V В
имеет вид:
А
В
АVВ
И
И
И
И
Л
И
Л
И
И
АVА = И
Л
Л
Л
Упражнения
Проверьте на истинность следующие
утверждения:
 А) Калининград стоит на реке Преголя и на Луне
живут жирафы.
 Б) Калининград стоит на реке Преголя и на Луне
не живут жирафы.
 В) Калининград стоит на реке Преголя или на Луне
живут жирафы
 Г) Калининград стоит на реке Нева или на Луне
живут жирафы.
 Д) Или Калининград стоит на реке Преголя, или
на Луне не живут жирафы.

Понятие предиката
Неопределённые высказывания. Предложение
«Поэт х написал поэму «Полтава» не является
высказыванием, поскольку не указано, какой
поэт имеется в виду. Если заменить в этом
предложении букву х словом «Пушкин»,
получится истинное высказывание. Если же
заменить х словом «Некрасов», получится
ложное высказывание.
 Определение. Предложение, содержащее
переменную х, которое при подстановке вместо
переменной её значения становится
высказыванием, называют предикатом.
 Слово «предикат» в переводе с латинского
языка означает «сказуемое».

Пример предиката


Рассмотрим предикат «Волейболист сборной
России имеет рост больше 2 метров».
Здесь однозначно определено сказуемое «имеет»
и подчиненное ему слово «рост больше 2 метров»,
подлежащее «волейболист» не конкретизируется
полностью, известно только множество, которому
принадлежит подлежащее,-множество всех
волейболистов сборной России.
Кванторы

Превратить предикат в высказывание можно не
только, подставив вместо переменной её
значение, но и поставив перед предикатом слова:
«все», «каждый», «любой», «всякий» (1) или
«существует», «найдётся», «хотя бы один» (2) . Эти
слова называются в логике кванторами (знаками).
Для слов (1) используется квантор общности,
который обозначается
∀,
а для слов (2) –
кванторсуществования, который обозначается ∃.
Пример употребления кванторов

Пусть на множестве N натуральных чисел
задан предикат «Число х кратно 5». Используя
кванторы, из данного предиката можно
получить, например, следующие
высказывания: 1) любое натуральное число
кратно 5; 2) каждое натуральное число кратно
5; 3) все натуральные числа кратны 5; 4)
существуют натуральные числа, кратные 5; 5)
найдётся натуральное число, кратное 5; 6)
хотя бы одно натуральное число кратно 5.
Первые три высказывания ложны и имеют
один и тот же смысл. Последние три
высказывания истинны.
Построение отрицания предиката


Рассмотрим высказывание «Все волки серы». Оно
ложно. Его отрицанием будет: «Найдётся
(существует) волк, не являющийся серым»( в
природе существует и белый волк). Это
высказывание истинно. Отрицанием
высказывания «Существует простое число р,
являющееся нечетным» (которое истинно) будет
такое: «Все простые числа являются нечётными» (
которое ложно).
2 способа построения отрицания предиката А(х):
∀х А х = ∃х А х , ∃х А х = ∀х А(х).





Упражнения
1. На Марсе были обнаружены существа, имеющие
головы. Один ученый сообщил: «Каждый
марсианин имеет две головы». Позднее
выяснилось, что он ошибся. Какое из утверждений
обязательно верно?
А) Не существует марсиан с двумя головами.
Б)Каждый марсианин имеет или одну голову, или
больше двух.
В) Существует марсианин с одной головой.
Г) Существует марсианин , имеющий или одну
голову, или больше двух.
Упражнения
2. Пусть каждое из следующих утверждений
неверно.
 А) Все шары в коробке красные.
 Б) Некоторые шары в коробке красные.
 В) Все ученики класса не были на линейке.
 Г) Некоторые ученики М6 класса ходили в
столовую.
 Сформулируйте верные утверждения.

Упражнения
3.В первой строке таблицы приведены два
Все крокодилы летают
простые числа – нечётные.
утверждения. ЧетыреВсеопрошенных
школьника
сформулировали отрицание к этим фразам так, как
показано в таблице. Какие
варианты являются
Все крокодилы не летают.
Все простые числа не являются нечётными.
логически верно построенными?

Не все крокодилы летают.
Не все простые числа нечётные.
Ни один летающий объект не является
крокодилом.
Ни одно нечетное число не является простым.
Существует хотя бы один крокодил, который
не летает.
Существует хотя бы одно простое число, не
являющееся нечётным.
Рассуждения от противного
Задачи




1. Пять мальчиков нашли 9 грибов. Докажите, что
хотя бы двое из них нашли грибов поровну.
2. В городе Белонебыль живёт 5 многоглазок.
Вместе у них 21 глаз. Докажите, что хотя бы у
одной многоглазки не менее 5 глаз.
3. В классе 30 учеников. Во время контрольной
работы Петя сделал 13 ошибок, а остальные –
меньше. Докажите, что найдутся три ученика,
сделавшие одинаковое число ошибок.
4. На плоскости провели 10 прямых, проходящих
через одну точку. Докажите, что найдутся две
прямые, угол между которыми не превосходит
18°.
Решение
1.Допустим, что мальчики нашли разное количество
грибов. Расставим их по возрастанию числа найденных
грибов. Первый собрал не меньше нуля, второй – не
меньше одного, третий – не меньше двух, четвёртый не
меньше трёх, пятый – не меньше четырёх. Всего – не
меньше десяти. Противоречие.
 2. Допустим, что у одной многоглазки менее 5 глаз,
например, 4 глаза. Тогда из условия задачи следует, что
у оставшихся 4-х многоглазок 17 глаз. Получается, что у
каждой из них по 4,25 глаза, чего быть не может.
Значит, наше предположение неверно.
 3. Предположим, что ученики сделали разное число
ошибок. По условию задачи каждый из остальных 29
учеников сделал меньше 13 ошибок (12,11,10,…,1).Тогда
общее количество их ошибок будет меньше 348, но
больше 29. Среди них есть число 30, 𝟑 × 𝟏0 = 30. Значит,
найдутся три ученика, сделавшие одинаковое число (по
10) ошибок – противоречие.

Решение
3. Прямая а разбивает плоскость
на две полуплоскости,
образуя два развернутых угла с
вершиной Р.
Рассмотрим тот из них, который
изображен на рисунке.
Он состоит их 10 острых углов.
Допустим, что угол между
любыми двумя прямыми
превосходит 18°.
Тогда 18° × 𝟏𝟎 > 𝟏𝟖𝟎°противоречие градусной мере
развёрнутого угла.
Логические задачи:
применение схем

1. Беседуют трое: Белокуров, Чернов и Рыжов.
Брюнет сказал Белокурову: «Любопытно, что
один из нас русый, другой – брюнет, а третий –
рыжий, но ни у кого цвет волос не соответствует
фамилии». Какой цвет волос имеет каждый из
беседующих?
Решение
Цвет волос
Рыжий
Черный
Русый
Фамилии
Белокуров
+
Чернов
Рыжов
Решим эту задачу
графически
-
-
-
-
+
+

2.Маша, Люда, Женя и Катя умеют играть на
различных инструментах ( виолончели, рояле,
гитаре и скрипке), но только на одном. Они же
владеют различными иностранными языками (
английским, французским, немецким и
испанским), но каждая только одним.
Известно, что
1) девушка, которая играет на гитаре, говорит поиспански;
2) Люда не играет ни на скрипке, ни на виолончели
и не знает английского языка;
3) Маша не играет ни на скрипке, ни на виолончели
и не знает английского языка;
4)Женя знает французский язык, но не играет на
скрипке.
Кто на каком инструменте играет и какой
иностранный язык знает?
Решение
Инструмент
Виолончель
Рояль
Гитара
Скрипка
Маша
-
(+)
+
-
Люда
-
+
(+)
-
Женя
+
Имя
-
Катя
Язык
+
Английский
Французский
Немецкий
Испанский
Маша
-
-
(+)
+
Люда
-
+
(+)
Имя
Женя
Катя
+
+
Логические задачи о выяснении итогов
некоторых турниров
Основные положения о таких турнирах:
 1) в шахматных турнирах победитель игры в партии
получает одно очко;
 2) в случае ничьей каждый игрок получает по 0,5
очка;
 3) проигравший получает 0 очков
 Пример. В финальном турнире играли пять
шахматистов. А окончил все партии вничью. Б
сыграл вничью с шахматистами, занявшими первое
и последнее места. В проиграл Б, но зато сыграл
вничью только одну партию. Г выиграл у Д и у
занявшего четвёртое место шахматиста. Д не
выиграл ни одной партии. Кто сколько очков
набрал и какое место занял?

Решение
Игрок
А
Б
В
Г
Д
А
-
0,5
0,5
0,5
Б
В
Г
Д
0,5
-
1
Очки Место
2
III
0,5
2.5
II
1
1,5
IV
0,5
0,5
0,5
0
-
0
0,5
0,5
1
-
1
3
I
0
-
1
V
0,5
0,5
0
Логические задачи о лгунах

Чаще всего при решении подобного рода задач
поступают следующим образом. Берётся одно из
утверждений и предполагается, что оно истинно.
Если при рассмотрении других утверждений не
получается противоречия, то рассмотренное
утверждение действительно истинное. Если же
при рассмотрении других утверждений мы
получаем где-то противоречие, то взятое нами
утверждение получается ложным. Если
утверждений было всего два, то делаем вывод,
что верно второе утверждение. А если
утверждений три и более, тогда приходится
применять перебор различных предположений.
Примеры решения задач
На острове живут два племени: аборигены и пришельцы.
Аборигены всегда говорят правду, а пришельцы всегда
лгут. Путешественник, приехавший на остров, нанял
островитянина в проводники. Они пошли и увидели
другого островитянина. Путешественник послал туземца
узнать, к какому племени принадлежит этот туземец.
Проводник вернулся и сказал: «Туземец говорит, что он
абориген». Кем был проводник: пришельцем или
аборигеном?
 Решение. Так как ответ встреченного островитянина мог
быть лишь «Я – абориген» (этот ответ является правдой
для аборигенов и ложью для пришельцев) , а проводник
сказал, что туземец – абориген, то проводник является
аборигеном.

Диагностика
Список литературы






1. Математика. Учеб. пособие для студентов пед. институтов
по специальности «Педагогика и методика начального
обучения». Н.Я. Виленкин, А.М. Пышкало, В.Б.
Рождественская, Л.П. Стойлова М., «Просвещение», 1977 г.
2.Факультативный курс по математике. Учебное пособие для
7-9 классов школы. Составитель И.Л. Никольская. М.,
«Просвещение», 1991 г.
3.Практикум Элементы математической логики. Учебнометодическое пособие. Ю.И. Попов. ГП «КГТ», Калининград,
2001г.
4.Материалы двадцать второй Летней многопредметной
школы Кировской области Вишкиль. 2-27.VII.2006 г.
5. Готовимся к олимпиаде по математике. Учебнометодическое пособие. А.В. Фарков. Издательство
«Экзамен», 2007 г.
6. Математические олимпиады в школе 5-11 классы. А.В,
Фарков. Москва. Айрис-Пресс, 2006 г.
Спасибо за внимание!