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Ch2 分數的運算
2-1 因數與倍數
因數與倍數
倍數的簡易判別法
質數與合數
標準分解式
笑話一
則：
如何將10顆蘋果分給7人食用？
因數與倍數
a、b、c為任意三個 正整數
若有 a ÷ b ＝c … 0 （b、c可 整除 a）
亦即 a＝b × c
則稱 b、c為 a的因數
兩數的關係詞
a為 b、c的倍數
p81隨堂練習
1. 判斷 60 顆軟糖是否能平分給 8 位學生。
2. 判斷 15 是不是 690 的因數。 是！
3. 396 是下列哪些數的倍數？
1、4、11、19、36、396
否！
再練習
1.下列各數中，哪些數是264的因數？
22
44
66
72
132
2.寫出28在1到200之間的倍數
28、56、84、112、140、168、196
加分題
判別下列敘述何者錯誤？ (B)
(A)1001是13的倍數
(B)10001是17的倍數
(C)29是4669的因數
(D)31是899的因數
◎0和1的情形
因為0不可為除數 所以0不為任何整數的因數
因為0＝0 ×任何非零整數
所以0為任何非零整數的倍數
因為任何整數＝1 ×任何整數
所以 1為任何整數的正因數
（也是最小的正因數）
且任何整數均為1的倍數
◎負數的情形
12
＝(－1 ) × (－12 )＝(－2 ) × (－6 )＝(－3 ) × (－4 )
因此
－1、－2、－3、－4、－6、－12 是 12 的負因數
－12
＝1 × (－12 )＝ 2 × (－6 ) ＝3 × (－4 )
＝ 4 × (－3 ) ＝6 × (－2 ) ＝12 × (－1 )
因此－12 是 1、2、3、4、6、12 的負倍數
由此可知，
當 b 是 a 的因數（或倍數）時，
b 的相反數－b 也是 a 的因數（或倍數）
但是如果沒有特別說明，
因數與倍數都是指正因數與正倍數

p82例2
寫出 32 的所有因數
1、2、4、8、16、32
或 1、2、4
32、16、8
p82隨堂練習
1. 寫出 24 的所有正因數。
1、2、3、4、6、8、12、24
2. 寫出 1 ～ 150 中，24 的所有倍數。
24、48、72、96、120、144
倍數的簡易判別法
不是2的倍數＝奇數
個位數字為 0,2,4,6,8
＝
◎2的倍數判別法
偶數
p83隨堂練習
1. 如果四位數 567□ 是 2 的倍數，
那麼 □ 內可以填入哪些數字？ 0,2,4,6,8
2. 如果五位數 134□7 不是 2 的倍數，
那麼 □ 內可以填入哪些數字？
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
◎5的倍數判別法
個位數字為 0,5
p84隨堂練習
1. 試問 400、401、402、……、456 等數中，
哪些是5 的倍數？
400、405、410、…、455，共12個數

2. 若 374 與 61□ 的和是 5 的倍數，
那麼 □ 內可以填入哪些數字？ 1或6

3. 若四位數 123□ 是 2 的倍數，也是 5 的倍數，
則 □＝？ 0
◎4的倍數判別法 末兩位數為 4 的倍數或皆為 0
舉例說明：
為 4 的倍數
因為592＝5 × 100＋92
所以只需判斷92是否為4的倍數即可
p85隨堂練習
1. 判別 3478 與 98756 是否為 4 的倍數。
不是！ 是！
2. 若五位數 7963□ 為 4 的倍數，
那麼 □ 內可以填入哪些數字？ 2、6
◎8的倍數判別法 末三位數為 8 的倍數或皆為 0

◎3的倍數判別法 所有數字的和 為3的倍數
舉例說明：
345＝3×100
＋4×10
＋5
＝3×(99＋1)＋4×(9＋1)＋5
＝3×99＋3 ＋4×9＋4 ＋5
＝(3×99＋4×9)＋(3＋4＋5)
為 3 的倍數

◎9的倍數判別法 所有數字的和 為9的倍數
p86隨堂練習
1. 6789 與 12345 是否為 9 的倍數？
不是！不是！
2. 如果三位數 6□4 是 9 的倍數，那麼 □ 內
可以填入哪些數字？ 8
p87隨堂練習
如果四位數 27□4 是 3 的倍數，那麼 □ 內
可以填入哪些數字？ 2、5、8
再練習
在下列各數中，分別找出3和9的倍數：
69、116、235、288、519、1234、1809
3的倍數： 69、288、519、1809
9的倍數： 288、1809
有一個六位數29817□為3的倍數，則□＝？
0、3、6、9

有一個六位數□29817為3的倍數，則□＝？
3、6、9
想一想
1.如果一個整數是 9 的倍數，則這個整數
一定是 3 的倍數嗎？
是，因為若a＝9 × c＝3×（3×c）
2. 如果一個整數是 3 的倍數，則這個整數
一定是 9 的倍數嗎？
不一定是，例如3本身就不是9的倍數
p88探索活動：倍數關係
如果一個數是 2 的倍數，也是 3 的倍數，那麼
這個數除了是 1、2 與 3 的倍數外，也是哪一個
數的倍數？
如6、12、18…等數是 2 的倍數，也是 3 的倍數
故若一數是 2 的倍數，也是 3 的倍數
則就會是
6 的倍數
加分題
有一個五位數2726□為6的倍數，則□＝？
4
同時為2和3的倍數
□＝1,4,7
□＝0,2,4,6,8
加分題
有 30 張分別標示 1～30 號的紙牌。先將號碼
數為 3 的倍數的紙牌拿掉，然後從剩下的紙
牌中，拿掉號碼數為 2 的倍數的紙牌。若將
最後剩下的紙牌，依號碼數由小到大排列，
則第 5 張紙牌的號碼為何？ 13
《96.基測(一)》第 3 題
剩下紙牌號碼數＝1,5,7,11,13 …

◎11的倍數判別法
奇數位數字和 與 偶數位數字和 的 差
是 11 的倍數或 0
舉例說明：
2537
＝2×1000
＋5×100
＋3×10
＋7
＝2×(1001－1)＋5×(99＋1)＋3×(11－1) ＋7
＝2×1001－2 ＋5×99＋5 ＋3×11－3 ＋7
＝(2×1001＋5×99＋3×11)＋(5 ＋7)－(2＋3)
為 11 的倍數
p89隨堂練習
1. 下列各數中，哪些是 11 的倍數？
222、1683、550、61482、90948
1683、550、90948
2. 如果四位數 57□9 是 11 的倍數，
那麼 □ 內可以填入哪些數字？ 0
再練習
於下列各數字中，找出11的倍數：
11、517、8888、12345、743347、9090906
11、517、8888、743347、9090906
有一個六位數23□785為11的倍數，則□
＝？
5
加分題
有一個六位數7□2□49是11的倍數，其
中□代表同樣的數字，則□＝？
2
13
9＋2×□
有一個五位數1□385為33的倍數，則□＝？
1
質數與合數
如果一個 大於 1 的整數
除了 1 和本身之外，還有其他的因數
則稱此數為合數
如果一個 大於 1 的整數
只有 1 和本身兩個因數
則稱此數為質數： 2、3、5、7 …
◎重要結論
1 不是質數也不是合數
2 是最小的質數，也是質數中唯一的偶數
4 是最小的合數
p90隨堂練習
1. 判別 51 和 52 是質數還是合數。
51 還有因數 3
52 還有因數 2，故兩數都是合數
2. 請將下表的質數圈出來。
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
p90探索活動：質數與合數的奇、偶判別
1. 所有的質數都是奇數嗎？為什麼？
不一定。
例如 2 為質數且為偶數。
2. 所有的合數都是偶數嗎？為什麼？
不一定。
例如 9 為合數且為奇數。
加分題
若兩個質數的和為18
則兩個質數可以是5,13和7,11兩種可能
若兩個質數的和為49
則此兩個質數會有幾種可能，為哪兩數？
只有一種可能
為2,47
兩數的和若為奇數
必為一個奇數與一個偶數

◎質數篩檢法
課文p91
古希臘數學家埃拉托賽尼發現的方法：
埃拉托賽尼篩法
步驟 1：因為 1 不是質數，也不是合數，所以刪去 1
步驟 2： 圈選 2 並刪去其餘 2 的倍數
步驟 3： 圈選 3 並刪去其餘 3 的倍數
步驟 4： 圈選 5 並刪去其餘 5 的倍數
步驟 5： 圈選 7 並刪去其餘 7 的倍數
p91隨堂練習
請在下表圈出 51 到 100 之間的質數。
51

61
71
81


91
52

62

72

82


92
53
63

73
83

93
54

64

74

84


94
55

65

75


85
95

56

66

76

86


96

57
67
77

87

97
58

68

78

88


98
59 60

69
 70

79 80

89 90



99 100

補充
利用埃拉托賽尼篩法找出小於 100 的質數
為何只須使用質數 2、3、5、7 篩檢就可以
而不須使用 11（或更大的質數）篩檢？
因為 11 的倍數中，除了 11 以外
11 的 2、3、4、5、6、7、8、9 倍
在前面的步驟中已經全被刪除
而 11 的 10、11、倍皆會超過 100
◎ 100以內的質數： 共25個
2
11
23
31
41
53
61
71
83
97
3
13
29
37
43
59
67
73
89
5
17
47
79
7
19
◎ 100以內的質數：另一種寫法
2
3
5 11 17 23 29 41 47 53 59 71 83 89
7 13 19 31 37 43
61 67 73 79 97
除了2和3以外
質數都是6的倍數餘1或不足1
加分題
設「aΘb」代表大於a且小於b的所有質數的個數
例如：
大於10且小於15的質數有11、13兩個質數
所以10Θ15＝2
若cΘ85＝4，則c最大為何數？最小為何數？
70
83、79、73、71
67
加分題（2分）
如右圖
一個正方體的六個面上，各有一個正整數
且相對兩面的兩個正整數之和都相等
如果11、23、38的對面依次為a、b、c
且a、b、c皆為質數
則a、b、c各是多少？
a ＝29 、b＝17、c＝2
標準分解式
◎質因數：如果 a 是 b 的因數，且 a 也是質數
就稱 a 為 b 的質因數
例： 12 的因數有 1、2、3、4、6、12，
其中 2、3 又是質數，
因此， 2、3 是 12 的質因數。
p92隨堂練習
分別將整數 30、42、57 的全部因數填入下表，
並將它們的質因數找出來。
整數
30
因數
1、2、3、5、6、10、15、30
42 1、2、3、6、7、14、21、42
57 1、3、19、57
質因數
2、3、5
2、3、7
3、19
加分題
364的所有質因數總和為多少？
2、7、13
22
課文p92
◎質因數分解：
將一個正整數寫成其質因數的 乘積

方法一：樹狀法
方法二：短除法
2 24
2 12
2 6
3
24
3
8
2
4
2
2
24＝3×2×2×2＝23×3
24＝23×3

◎樹狀法的題目
若甲數＝13×14×15
則下列何者不是甲數的因數？ (A)
(A)60 (B)65 (C)70 (D)42
設P＝21×22×23×24×25
則P有幾個相異質因數？
6個：2,3,5,7,11,23
◎標準分解式： 24＝23×3
小的質因數寫前面
大的質因數寫後面
同數連乘一定要寫成指數形式
p93隨堂練習
將 680 做質因數分解
並寫出 680 的相異質因數。
680＝23× 5× 17
相異質因數為 2、5、17
p94隨堂練習
1. 求 420 的標準分解式
並寫出 420 的相異質因數。
420 ＝ 22
×3×5×7
相異質因數為 2、3、5、7
2. 小潼將正整數 a 分解成
質因數乘積，計算過程
如右。試寫出下列各數
的標準分解式：
b＝ 22 × 32 × 52 × 7
2 × 52 × 7
3
d＝
2×7
5
f＝
2｜ a
2｜ b
2｜ c
3｜ d
3｜ e
。
5｜ f
5｜ g
。
7
。
再練習
將下列各數寫成標準分解式︰
(1)40
(2)68
(3)81
(4)120
(5)351
(6)1188
(1)40＝23×5
(2)68＝22×17
(3)81＝34
(4)120＝23×3×5
(5)351＝33×13 (6)1188＝22×33×11
加分題
將某數作質因數分解如下：求a＋b＋c＋d的值
2 a
＝756
2 b ＝378
3 c ＝189
3 d ＝ 63
3 21
7
1386
p95隨堂練習上
若 a＝23 × 3 × 7
則 2、3 × 7、22 × 32、23 × 7、37中，
哪些是 a 的因數？
2、3 × 7、23 × 7
加分題
(C) 72
若 a＝1.071 × 106，則 a 是下列哪一數的倍數？
(A) 48
(B) 64
(C) 72
(D) 81
《98.基測(一)》第 30 題
a＝1071× 103
＝32× 7× 17× 23× 53
＝23 ×32 × 53 ×7 × 17
p95隨堂練習下
若兩個大於 1的正整數乘積為 80，且和為奇數，
求此兩正整數。
因為 80＝a × b，且 a＋b 為奇數
所以 a、b 中必恰有一數為奇數
而 80的因數中，大於 1的奇數只有 5
又 80＝ 5 × 16
所以此兩正整數為 5、16
加分題
a、b 為兩個正整數，其中 a＜b
如果 a × b＝70，且 a＋b＝19
則 a、b之值分別是多少？ 5、14
a、b 為70的成對因數
70＝1 × 70
＝2 × 35
＝5 × 14
＝7 × 10
p97自我評量
1. 下列敘述中，哪一個是正確的？ (A)
(A) 1 是 17 的因數
(B) 因為 8＝1.6 × 5，所以 5 是 8 的因數
(C) 1 是 3 的倍數
(D) 個位數字是 3、6 或 9 的整數，
一定是 3 的倍數
2. 若 45 可分解為 a × b，其中 a、b 均為正整數，
則下列哪一個不可能是 a＋b 的值？ (B)
(A) 46
(B) 42
(C) 18
(D) 14
3. 已知 2579□是五位數，依照下列各題的條件，
分別寫出□中的數字。
(1) 2 的倍數：□＝ 0、2、4、6、8 。
(2) 3 的倍數：□＝ 1、4、7。
(3) 是 2 的倍數，又是 3 的倍數：□＝ 4 。
(4) 5 的倍數：□＝ 0、5 。
(5) 9 的倍數：□＝ 4
。
(6) 11 的倍數：□＝ 5 。
4. 怡芬想將 n 個邊長為 1 的小正方形，拼成一
個長、寬皆大於 1 的長方形，則 n 可能為下列
哪一個數？ (C)
需為合數
(A) 17
(B) 23
(C) 91
(D) 97
5.將下表的質數圈出來，恰好可形成一個注音符
號，試問這個注音符號是什麼呢？ ㄐ
7
12
63
67
1
13
14
77
59
10
19
81
27
5
25
31
41
3
43
91
49
26
51
2
45
65
52
33
23
57
6. 將 980 做質因數分解，
並寫出 980 的相異質因數。
980＝22
× 5 × 72，
980 的相異質因數為 2、5、7
7. 寫出 432 及 234 的標準分解式。
432 ＝24
× 33
234 ＝2 × 32 × 13
8. 下列哪一個數不是 2 × 34 × 52 的因數？ (B)
(A) 2
(B) 4
(C) 5
(D) 9
9. 小真的電腦密碼有四碼 abcd，分別隱藏在 600
的標準分解式 2a × b × cd 中，試問此密碼為何？
(A) 3352
(B) 3351
(C) 2325
(D) 2351
600＝23
× 3 × 52
(A)