Transcript SOAL - WordPress.com

BAB 2
PROGRAM
LINEAR
Home
Next
PENDAHULUAN
PETA KONSEP
Y
Pertidaksamaan Linear
Dua Variabel
Merancang Model Matematika
0
Menyelesaikan Model
Matematika dan
Menafsirkannya
X
Soal-Soal
Home
Next
PENDAHULUAN
Program linear sebagai bagian dari matematika banyak
digunakan dalam berbagai bidang, antara lain dalam
bidang ekonomi, pertanian dan perdagangan. Dengan
menggunakan
menghitung
program
linear,
keuntungan
seseorang
maksimum
atau
dapat
biaya
minimum. Hal itu sangat bergantung pada pembatas
atau kendala, yaitu sumber daya yang tersedia.
Back
Home
Next
PETA KONSEP
PROGRAM LINEAR
Sistem Pertidaksamaan Linear
Himpunan
Penyelesaian dengan
Menggunakan Grafik
Back
Program Linear dan
Model Matematika
Home
Nilai Optimum Fungsi Objektif
Uji Titik Sudut
Garis Selidik
Next
Program Linear adalah suatu model atau
program untuk memecahkan masalah optimasi
yang mengandung kendala – kendala atau
batasan – batasan yang dapat diterjemahkan
dalam bentuk sistem pertidaksamaan linear,
yang disajikan dalam daerah himpunan
penyelesaian.
Back
Home
Next
Adalah suatu sistem (gabungan dua atau lebih)
pertidaksamaan linear yang memuat dua variabel.
Contoh :
1. Gambar himpunan penyelesaian pertidaksamaanlinear
berikut pada bidang Cartesius. (R adalah himpunan
bilangan real)
a. 2x + 3y ≥ 6; x, y € R
b. x + 2y < 4; x, y € R
Back
Home
Next
Penyelesaian :
Pertama lukislah batas – batas daerahnya, yakni
grafik 2x + 3y = 6 dan grafik x + 2y = 4.
a.
Back
2x + 3y ≥ 6; x, y € R
Batas daerah penyelesaiannya 2x + 3y = 6
Titik potong sumbu x, syaratnya y = 0.
Berarti, 2x + 3(0) = 6
2x = 6
x =3
Home
Next
Titik potong sumbu y, syarat x = 0.
Berarti, 2(0) + 3y = 6
3y = 6
y =2
Back
x
0
3
y
2
0
(x,y)
(0,2)
(3,0)
Home
Next
Y
Y
(0,2)
(0,2)
2x  3y  6
(3,0)
0
(3,0)
0
X
Back
Home
X
Next
Menentukan daerah pertidaksamaan, ambil sembarang titik, misal (0,0).
Substitusikan :
2x + 3y ≥ 6
2(0) + 3(0) ≥ 6
0 ≥ 6 ( SALAH )
Berarti daerah yang diminta 2x + 3y > 6, titik –titik yang berada pada garis 2x + 3y
= 6 termasuk daerah penyelesaian. Jadi, daerah penyelesaian sdalah daerah
yang tidak diarsir.
b. x + 2y < 4; x, y € R
Back
x
0
4
y
2
0
(x,y)
(0,2)
(4,0)
Home
Next
Y
Y
(0,2)
(0,2)
(4,0)
0
(4,0)
0
x + 2y = 4
Back
Home
x + 2y < 4
Next
Substitusi (0,0)
x + 2y < 4
0 + 2(0) < 4
0 < 4 ( BENAR )
Berarti, titik (0,0) berada pada daerah penyelesaian
x + 2y < 4
sedangkan garis x + 2y = 4 tidak memenuhi pertidaksamaan
sehingga digambar PUTUS – PUTUS.
Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang tidak
diarsir.
Back
Home
Next
Model Matematika adalah suatu rumusan matematika (berupa
persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi) yang diperoleh dari hasil
penafsiran atau terjemahan suatu masalah program linear ke
dalam bahasa matematika.
Contoh :
Luas suatu lahan parkir adalah 400 m². Luas rata-rata satu mobil
dan satu bus masing – masing adalah 8 m² dan 24 m². Lahan
parkir tersebut hanya memuat paling banyak 20 kendaraan.
Buatlah model matematika dari persoalan tersebut denan
memisalkan mobil yang sedang diparkir sebanyak x dan bus
sebanyak y.
Back
Home
Next
Penyelesaian :
8x + 24y ≤ 400
X + y ≤ 20
Karena x dan y masing – masing menunjukkan banyak mobil dan
bus, x dan y berupa bilangan cacah.
Jadi, model matematika nya :
8x + 24y ≤ 400
X + y ≤ 20
X ≥ 0, y ≥ 0
X, y € C
Back
Home
Next
Menyelesaikan model sama halnya menentukan nilai
optimum (maksimum/minimum) dan fungsi objektifnya,
kemudian menafsirkannya pada persoalan semula
.
1. Fungsi Objektif
a. Sistem pertidaksamaan linear dua variabel
2x + y ≤ 30
2x + 3y ≤ 50
x ≥ 0, y ≥ 0; x, y € C
Fungsi objektif : memaksimumkan z = x + y
Back
Home
Next
b. Sistem pertidaksamaan linear dua variabel
x + y ≤ 300
4x + 3y ≤ 1,120
x ≥ 0, y ≥ 0; x, y € C
Fungsi objektif : memaksimumkan z = 25x + 10y
Dengan kata lain, fungsi objektif dalam program linear
adalah fungsi z = ax + by yang hendak ditentukan nilai
optimumnya.
Back
Home
Next
2. Menentukan Nilai Optimum Fungsi Objektif
a. Metode Uji Titik Sudut
Nilai optimum ditentukan dengan menghitung nilai –
nilai z = ax + by pada tiap titik sudut pada daerah
himpunan penyelesaian.
Kemudian nilai yang diperoleh dibandingkan, nilai
paling besar merupakan nilai maksimum.
Nilai paling kecil, nilai minimum dari z = ax + by.
Back
Home
Next
Contoh :
Tentukan nilai optimum bentuk objektif dari model
matematika berikut .
Sistem pertidaksamaan linear dua variabel.
2x + y ≤ 30
2x + 3y ≤ 50
X ≥ 0, y ≥ 0, x, y € C
Fungsi objektif : memaksimumkan z = x + y
Penyelesaian :
Back
Home
Next
Untuk 2x +y = 30
x
0
15
y
30
0
(x,y0
(0,30)
(15,0)
Untuk 2x + 3y = 50
Back
x
0
25
y
16 · 2/3
0
(x,y)
(0,16 · 2/3)
(25,0)
Home
Next
Y
(0,30)
B(10,10)
(25,0)
0 A(15,0)
2x + y = 30
Back
2x + 3y = 50
Home
Next
Daerah himpunan penyelesaian diperlihatkan sebagai
bagian yang tidak diarsir.
Titik potong kedua garis
2x + y = 30
2x + 3y = 50
- 2y = - 20
y = 10
2x + y = 30
2x + 10 = 30
2x
x
= 10
= 20
Jadi, koordinat titik potong kedua garis itu adalah (10,10).
Back
Home
Next
O (0,0)
A (15,0)
B (10,10)
C (0,16
X
0
15
10
0
Y
0
0
10
16
z=x+y
0
15
20
16
Dari tabel tersebut, nilai maksimum fungsi objektif
z = x + y adalah 20, yaitu untuk x = 10 dan y = 10
Back
Home
Next
b. Metode Garis Selidik ax + by = k
z = ax + by ( a dan b bilangan real )
k1 = ax + by
k2 = ax + by
...
kn = ax + by
m=-a
b
Back
Home
Next
Contoh :
Tentukan nilai optimum bentuk objektif model matematika berikut.
Sistem pertidaksamaan linear dua variabel :
2x + y ≤ 30
2x + 3y ≥ 50
X, y ≥ 0; x, y € C
Fungsi objektif : memaksimumkan z = x + y
Penyelesaian :
Terlebih dahulu kita buat garis x + y = k, dengan k = 0, yaitu x + y
=0. Kemudian, kita buat garis-garis yang sejajar dengan garis x + y
= 0, yaitu dengan mengambil nilai k yang berbeda beda.
Back
Home
Next
Y
(0,30)
C(0,16)
B(10,10)
A(15,0)
0
X
2x + y = 30
Back
Home
2x + 3y = 50
Next
Bila nilai k makin besar, letak garis – garis x + y = k makin jauh dari
titik O(0,0).
Karena nilai k bersesuaian dengan nilai z, nilai z terbesar dan nilai z
terkecil bersesuaian dengan garis terjauh dan garis terdekat dari
titik O(0,0).
Nilai z maksimum diperoleh dari garis x + y = k yang melalui titik
(10,10), yaitu 10 + 10 = 20
dan
nilai z minimum diperoleh dari garis x + y = k yang melalui titik
O(0,0), yaitu 0 + 0 = 0.
Back
Home
Next
Soal 2
Soal 1
Soal 3
Soal 5
Soal 4
Back
Home
Next
1.Penyelesaian pertidaksamaan 2x + y ≤ 40,
x + 2y ≤ 40, x ≥ 0, y ≥ 0 terletak pada
daerah yang berbentuk ……………
a. trapesium
b. empat persegi panjang
c. segitiga
d. segiempat
e. segilima
Back
Soal - soal
Next
2.Jika diketahui sistem pertidaksamaan x + y ≤
4, x + 3y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0, maka nilai
maksimum dipenuhi untuk 20x + 30y adalah
……….
a. 45
b. 54
c. 72
d. 90
e. 81
Back
Soal - soal
Next
3. Untuk diterima di suatu pendidikan, seseorang harus lulus tes
Matematika dengan nilai tidak kurang dari 7 dan tes Biologi
dengan nilai tidak kurang dari 5 sedangkan jumlah nilai
Matematika dan Biologi tidak boleh kurang dari 13. Seorang
calon dengan jumlah dua kali nilai Matematika dan tiga kali
nilai Biologi sama dengan 30 sama dengan 30 akan
………………….
a. pasti ditolak
b. pasti diterima
c. diterima asal nilai Matematika lebih dari 9
d. diterima asal nilai Biologi tak kurang dari 5
e. diterima hanya nilai Biologi 6
Back
Soal - soal
Next
4. Suatu tempat parkir seluas 200 m² tidak dapat
menampung lebih dari 12 mobil dan bus. Untuk
memarkir sebuah mobil rata – rata diperlukan tempat
seluas 10 m² dan untuk bus rata – rata 20 m² . Jika di
tempat parkir itu akan di parkir x mobil dan y bus, maka
x dan y harus memenuhi syarat – syarat …………….
a. x + y ≤ 12; x + 2y ≤ 20; x ≥ 0; y ≤ 0
b. x + y ≤ 12; x + 2y ≤ 20; x ≥ 0; y ≥ 0
c. x + y ≤ 12; x + 2y ≤ 20; x ≤ 0; y ≤ 0
d. x + y ≤ 12; x + 2y ≥ 20; x ≥ 0; y ≥ 0
e. x + y ≥ 12; x + 2y ≥ 20; x ≥ 0; y ≥ 0
Back
Soal - soal
Next
5. Rokok A seharga Rp 200,00/bungkus dijual dengan laba Rp
40,00/bungkus,
sedangkan
rokok
B
seharga
Rp
100,00/bungkus dengan laba Rp 30,00/bungkus. Seorang
pedagang rokok mempunyai modal Rp 80.000,00 dan kios
yang dapat menampung 500 bungkus rokok. Ia akan
memperoleh
keuntungan
jika
ia
akan
membeli
………………….
a. 300 rokok A dan 200 rokok B
b. 200 rokok A dan 300 rokok B
c. 250 rokok A dan 250 rokok B
d. 100 rokok A dan 400 rokok B
e. 400 rokok A dan 100 rokok B
Back
Soal - soal
Next
BENAR
SOAL-SOAL
SALAH
SOAL-SOAL
SUKSMA
Back
Home
Soal - soal