PROBABILITAS BERSYARAT

Pada beberapa percobaan random, misalkan kita hanya berminat menyelidiki hasil-hasil yang merupakan elemen elemen dari suatu subset C 1 ,dimana C 1 C. Hal ini berarti ruang sampel yang efektif adalah C 1 . Untuk selanjutnya akan didefinisikan fhp dengan C 1  sebagai ruang sampel yang baru.

Misalkan fhp P(C) ditentukan terhadap ruang sampel misalkan C  yang akan dipandang adalah hasil-hasil percobaan random yang ada di C 1 C sedemikian hingga P(C , berarti C 1 1 C, dan ) > 0. Dalam hal ini adalah ruang sampel yang baru.

Ambil C 2 subset lain dari C. Relatif terhadap ruang sampel yang baru, akan didefinisikan probabilitas dari kejadian C 2 . Probabilitas ini disebut probabilitas bersyarat dari C 2 diberikan C 1 . Notasi : P(C 2 | C 1 )

• • Karena C 1 sekarang merupakan ruang sampel baru, maka elemen-elemen C 2 yang berhubungan dengan ini hanya elemen-elemen C dari C  1 C 2 .

2 yang juga elemen C 1 yaitu elemen-elemen P(C 2 | C 1 ) didefinisikan sedemikian hingga P(C 1 | C 1 ) = 1 dan P(C 2 | C 1 ) = P (C  1 C 2 | C 1 ). Dalam hal ini berlaku :

P

(

C

1 

C

2 |

C

1 ) 

P

(

C

1 |

C

1 )

P

(

C

1 

C

2 )

P

(

C

1 ) • • • Bagian kiri merupakan rasio terhadap ruang sampel yang baru, sedangkan bagian kanan adalah rasio terhadap ruang sampel lama.

Berarti :

P

(

C

2 |

C

1 ) 

P

(

C

1 

C

2 )

P

(

C

1 ) (*)

• (*) merupakan definisi dari probabilitas bersyarat kejadian C 2 diberikan C 1 , dengan syarat P(C 1 ) > 0. • Dapat ditunjukkan bahwa : a. b.

P

(

C

2

P

(

C

2 | 

C

1

C

3 )   0 ...

|

C

1 ) 

P

(

C

2 |

C

1 ) 

P

(

C

3 |

C

1 )  ...

c. dimana C 2 , C 3 ,…himpunan-himpunan yang saling disjoin.

P

(

C

1 |

C

1 )  1

Tugas : Buktikan !!

P

(

C

|

C

) didefinisikan atas subset-subset dari C 1 , disebut fungsi himpunan probabilitas bersyarat relatif terhadap kejadian C 1 atau fungsi himpunan probabilitas bersyarat diberikan C 1.

• Contoh 1: 5 kartu diambil secara acak dan tanpa pengembalian dari setumpuk kartu permainan yang terdiri dari 52 kartu. Tentukan probabilitas bersyarat bahwa semua kartu yang diambil ialah sekop, relatif terhadap hipotesis bahwa paling sedikit ada 4 kartu sekop.

Misal :

C

2 : kejadian semua kartu yang terambil adalah sekop Jadi :

C

1 : kejadian minimal 4 sekop terambil

P

(

C

2 |

C

1 ) 

P

(

C P

     13 4 2  (

C C

    )   1 13 5 1 ) 

P P

(

C

(

C

1 1      /     52 5 13 5        /   52 5   2 ) )

• Contoh 2: Sebuah mangkuk berisi 8 kepingan : 3 merah dan 5 biru. 2 kepingan diambil secara random tanpa pengembalian. Berapa probabilitas bahwa pengambilan pertama berwarna merah dan pengambilan kedua berwarna biru?

Misal

C

1 : kejadian terambil kepingan merah, P(C 1 ) = 3/8

C

2 Berdasarkan rumus probabilitas bersyarat diperoleh :

P

(

C

1 

C

2 ) =

P

(

C

1 ).

P

(

C

2 |

C

1 ) Jadi

P

(

C

1 

C

2 ) = 3/8 . 5/7 = 15/56

•

Aturan perkalian untuk probabilitas :

P

(

C

1 

C

2 ) 

P

(

C

1 ).

P

(

C

2 |

C

1 ) •

Aturan ini dapat diperumum untuk 3 kejadian atau lebih :

P

(

C

1 

C

2 

C

3 ) 

P

((

C

1 

C

2 ) 

C

3 ) 

P

(

C

1 

C

2 ).

P

(

C

3 | (

C

1 

C

2 )) 

P

(

C

1 ).

P

(

C

2 |

C

1 ).

P

(

C

3 | (

C

1 

C

2 )) dst

• Contoh: 4 kartu diambil secara acak dan tanpa pengembalian dari setumpuk kartu bridge. Probabilitas untuk mendapat 1 sekop, 1 hati, 1 berlian dan 1 wajik adalah :

    

52 51 50 49

•

Teorema Bayes

Misalkan C 1 , C 2 ,…, C k adalah kejadian-kejadian

mutually exclusive and exhaustive



P

(

C i

)  0 , i = 1,2,…,k. Misalkan kejadian2 tsb membentuk sebuah partisi dari C . C 1 , C 2 ,…, C k tidak perlu equally likely. Misalkan C suatu kejadian di C 

C

 (

C



C

1 )  (

C



C

2 )  ...(

C



C k

) dimana (

C



C

1 ), (

C



C

2 ),..., (

C



C k

) exclusive). Sehingga berlaku : saling lepas (mutually

P

(

C

) 

P

(

C



C

1 ) 

P

(

C



C

2 )  ...



P

(

C



C k

) Berdasarkan aturan perkalian:

P

(

C



C i

) 

P

(

C i

).

P

(

C

|

C i

),

i

 1 , 2 ,...,

k

• Sehingga diperoleh hukum probabilitas total :

P

(

C

) 

P

(

C

1 ).

P

(

C

|

C

1 )  ...



P

(

C k

).

P

(

C

|

C k

) 

i k

  1

P

(

C i

).

P

(

C

|

C i

) Misalkan P(C) > 0. Dari definisi probabilitas bersyarat dan dengan menggunakan hukum probabilitas total diperoleh:

P

(

C j

|

C

) 

P

(

C



C j

)

P

(

C

) 

P

(

C j

).

P

(

C

|

C j

)

i k

  1

P

(

C i

).

P

(

C

|

C i

) Persamaan di atas biasa disebut Teorema Bayes.

•

Contoh:

Misalkan terdapat 2 mangkok yang berisi bola, sebut C 1 , dan C 2 . Mangkok C 1 berisi 3 bola merah dan 7 bola biru. Mangkok C 2 berisi 8 bola merah dan 2 bola biru. Pemilihan mangkok C 1 dan C 2 tergantung dari hasil pelemparan sebuah dadu. Apabila hasil pelemparan dadu muncul muka 5 atau 6, maka mangkok C 1 yang terpilih.Kalau yang muncul muka yang lain maka mangkok C 2 yang terpilih. Setelah mangkok terpilih selanjutnya dilakukan pengambilan secara acak sebuah bola dari mangkok tsb. Hitung probabilitas mangkok C 1 yang terpilih apabila diketahui bola merah yang terambil atau probabilitas mangkok C 2 merah yang terambil.

yang terpilih apabila diketahui bola

• Misal C 1 :kejadian mangkok 1 terpilih C 2 : kejadian mangkok 2 terpilih C : kejadian terambil bola merah Berarti : P(C 1 ) = 2/6 dan P(C 2 ) = 4/6, P(C|C 1 ) = 3/10 dan P(C|C 2 )= 8/10.

Sehingga :

P

(

C

1 |

C

)  

P

(

C

1

P

(

C

1 )

P

(

C

)

P

(

C

|

C

1 2 6 3 10

  

6  10 6 10 )  

P

3 19 |

C

(

C

2 1 ) )

P

(

C

|

C

2 )

P

(

C

2 |

C

)  16 19 Probabilitas C 1 dan C 2 atau P(C 1 ) dan P(C 2 ) disebut probabilitas prior, sedangkan P(C 1 |C) dan P(C 2 |C) disebut distribusi posterior.

•

Kejadian Saling Independen

Kadang-kadang terjadinya kejadian C 1 tidak merubah probabilitas kejadian C 2 , yaitu misalkan P(C 1 ) > 0, P(C 2 |C 1 ) = P(C 2 ). Dalam kasus ini, kejadian C 1 dan C 2 disebut independen. Berdasarkan aturan perkalian, •

P

(

C

1 

C

2 ) 

P

(

C

1 )

P

(

C

2 |

C

1 ) 

P

(

C

1 )

P

(

C

2 ) Misalkan terdapat 3 kejadian C independen, yaitu : 1 ,C 2 dan C 3 . Ketiganya disebut mutually independent jika dan hanya jika sepasang-sepasang

P

(

C

1 

C

2 ) 

P

(

C

1 )

P

(

C

2 )

P

(

C

1 

C

3 ) 

P

(

C

1 )

P

(

C

3 ) dan

P

(

C

2 

C

3 ) 

P

(

C

2 )

P

(

C

3 )

P

(

C

1 

C

2 

C

3 ) 

P

(

C

1 )

P

(

C

2 )

P

(

C

3 )

• Misalkan terdapat n kejadian, C tersebut mutually independent jika dan hanya jika dan

d

1 ,

d

berlaku : 2 ,...,

d k

1 ,C 2 ,...C

n . Kejadian-kejadian 

k

, 2 

k



n

adalah bilangan-bilangan positif yang berbeda,

P

(

C d

1 Khususnya 

C d

2  ...



C d k

) 

P

(

C d

1 )

P

(

C d

2 )...

P

(

C d k

)

Contoh :

P

(

C

1 

C

2  ...



C n

) 

P

(

C

1 )

P

(

C

2 )...

P

(

C n

) Sebuah koin dilempar beberapa kali secara independen.Misal

C i menyatakan kejadian munculnya muka pada lemparak ke-i, dan C i * menyatakan munculnya belakang pada lemparan ke-i.

Misal P(C i )=1/3 dan P(C i * ) =2/3. Tentuka probabilitas muncul minimal 1 muka pada 4 kali lemparan.

P

(

C

1 

C

2 

C

3 

C

4 )  1   1 

P

 (

C

1 

C

2 

C

3 

C

4 ) *   1 

P

(

C

1 * )

P

(

C

2 * )

P

(

C

3 * )

P

(

C

4 * )

P

(

C

1 *  1  

C

2 * 2 3 2 3 2 3 

C

3 * 2 3 

C

4 * )