KONSEP PROBABILITAS, DALIL BAYES, NILAI HARAPAN

PROBABILITAS

• • Probabilitas : Suatu nilai untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang tidak pasti (uncertain event) Contoh : Probabilitas bahwa kejadian A akan terjadi sebesar 90 % P(A) = 0.90

RUMUS PROBABILITAS

• Probabilitas kejadian A : P(A) = banyaknya elemen sub himpunan yang membentuk A seluruh elemen dalam himpunan

Contoh :

• Pada kejadian melempar dadu, probabilitas mendapatkan mata dadu genap : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} P(A) = 3/6 = 0.5 = 50 %

Probabilitas majemuk dan bersyarat

• • Jika ada 2 kejadian A dan B yang independen : P(AΠB) = P(AB) = P(A) * P(B) Jika A dan B tidak bebas (dependen) P(AB) = P(A) P(B|A) = P(B) P(A|B) • • • P(A|B) dan P(B|A) adalah probabilitas bersyarat P(A|B) : probabilitas kejadian A terjadi dengan syarat kejadian B terjadi Dengan demikian : P(A|B) = P(AB)/P(B) dan P(B|A) = P(AB)/P(A)

Contoh :

• Dari 100 mahasiswa ada 20 orang mendapat nilai A, 30 org mendapat nilai B, 30 orang mendapat nilai C dan 20 org mendapat nilai D. Dari ke-100 mhs tersebut 65 orang telah lunas uang kuliahnya dan 35 orang belum lunas. Dari yang lunas perincian mendapat nilai A 20 org, B 15 org, C 25 org dan D 5 org.

a. Berapa probabilitas mhs yang telah membayar lunas mendapat nilai B ?

b. Berapa probabilitas mhs yang telah mendapat nilai C belum melunasi uang kuliahnya ?

Mahasiswa

Nilai A Nilai B Nilai C Nilai D Jumlah

Lunas

20 15 25 5 65

Belum Lunas

0 15 5 15 35

Jumlah

20 30 30 20 100 Jawab : a. P (B І Lunas) = P(B Π Lunas)/P(lunas) P (lunas) =65/100 = 0.65

P(B Π Lunas) = 15 orang = 15/100 = 0.15

Jadi : P (B І Lunas) = 0.15/0.65 = 0.23 = 23 %

PROBABILITAS PRIOR dan POSTERIOR

• • Probabilitas prior : Probabilitas yang didapatkan dari informasi awal Probabilitas posterior : Probabilitas yang telah diperbaiki setelah mendapat informasi tambahan atau setelah melakukan penelitian.

Contoh :

• • Pada perusahaan A, diketahui dari informasi awal bahwa probabilitas set up mesin benar adalah 80 %.

Probabilitas prior : Probabilitas set up mesin benar = P(B) = 0.8

Probabilitas set up mesin benar dapat diperkuat dengan penelitian selanjutnya dengan melihat berapa banyak produk yang tepat ukurannya (P(T)).

Probabilitas posterior : P(B|T) : probabilitas set up mesin benar jika produk yang dihasilkan tepat.

P(B|T) = P(BT)/P(T)

• • Untuk menghitung probabilitas posterior dapat digunakan pohon probabilitas.

Jika diketahui : - Probabilitas set up mesin benar = P(B) = 0.8

- Probabilitas set up mesin tidak benar =P(B̄) = 1-0.8 = 0.2.

- Probabilitas produk tepat jika set up mesin benar = P(T|B) = 0.9

- Probabilitas produk tepat jika set up mesin salah hanya 40 % atau P(T|Bˉ) = 0.4.

Berapa probabilitas set up mesin benar jika produk yang dihasilkan tepat (P(B|T) ?

Pohon probabilitas

T B P(T|B)=0.9

P(B) = 0.8

Tˉ P(Tˉ |B) =0.1

T Bˉ P(T|Bˉ)=0.4

P(Bˉ) = 0.2 Tˉ P(Tˉ|Bˉ)=0.6

• P(B|T) = … ?

P(B|T) = P(BT)/P(T) P(BT) = P(B) P(T|B) = 0.8 * 0.9 = 0.72

P(T) = P(TB U TBˉ) = P(TB) + P(TB ˉ) = P(B) P(T|B) + P(Bˉ) P(T|Bˉ) Jadi : = 0.8 * 0.9 + 0.2 * 0.4

P(B|T) = (0.8*0.9)/(0.8*0.9+0.2*0.4) = 0.9.

Probabilitas set up mesin benar jika produk yang dihasilkan tepat adalah 90 %.

DALIL BAYES

• • Jika ada A 1 , A 2 , …. A k kejadian yang saling meniadakan (mutually exclusive), dan kemudian ada kejadian B dimana P(B) ≠ 0, maka : P(A i |B) = P(BA i ) / P(B) k = P(A i ) P(B|A i ) / ∑ P(Ai) P(B|A i ) i=1 Jika k=2 : i = 1  P(A 1 |B) = P(A 1 ) P(B|A 1 )/[P(A 1 ) P(B|A 1 ) +P(A 2 ) P(B|A 2 )] i = 2  P(A 2 |B) = P(A 2 ) P(B|A 2 )/[P(A 1 ) P(B|A 1 ) +P(A 2 ) P(B|A 2 )]

Probabilitas objektif dan subjektif

• • • Penghitungan Probabilitas seringkali berdasarkan frekuensi relatif.

Contoh : Jika dalam 1000 kali pelemparan mata uang, gambar angka yang muncul adalah 400 kali, maka : P(angka) = 400/1000 = 0.4. Probabilitas yang didasrkan pada eksperimen berulang-ulang, atau data yang tersedia sebelumnya dan didapat dengan menghitung frekuensi relatif dari suatu kejadian  probabilitas objektif.

Probabilitas objektif dan subjektif

• • Probabilitas subjektif : probabilitas suatu kejadian dimasa yang akan datang, dimana pengambil keputusan dihadapkan pada situasi yang belum pernah terjadi sebelumnya dan informasi terbatas, sehingga besarnya probabilitas didapat dari pendapat para pakar (expert judgement) berdasarkan tingkat keyakinannya.

Probabilitas subjektif didasarkan pada pandangan yang subjektif. Probabilitas dari expert 1 bisa tidak sama dengan expert 2 dst.

NILAI HARAPAN(EKSPEKTASI)

• • Nilai harapan (nilai ekspektasi) adalah : nilai rata-rata payoff yang diharapkan yaitu jumlah nilai payoff pada masing-masing kejadian dikalikan dengan besarnya probabilitas dari masing-masing kejadian.

Contoh : Jika di masa yad probabilitas seseorang mendapat keuntungan 1 juta adalah 0.5, keuntungan 5 juta adalah 0.3 dan keuntungan 10 juta adalah 0.2. Maka nilai ekspektasi keuntungannya adalah : E(X) = ∑ P(X) X = 0.5 *1 + 0.3 * 5 + 0.2 * 10 = 4 juta