  Selanjutnya misalkan Y=u(X) adalah fungsi dari variabel random kontinu X dengan ruang A Misalkan y=u(x) adalah fungsi kontinu naik, sehingga inversnya juga x=w(y) juga merupakan fungsi kontinu naik  Fungsi distribusi dari Y adalah : G(y)=Pr(Y≤y)=Pr(u(X ≤y)=Pr(X≤w(y))= dimana f(x) adalah pdf dari X    Dengan menggunakan teorema dasar kalkulus diperoleh pdf dari Y :             0,    ,

y

 B

yang lainnya

dimana B= {y: y=u(x), x ε A }   Jika    ekpektasi dari Y adalah :     Karena y=u(x), maka akan ditunjukkan bahwa :        sehingga nantinya dapat ditulis : 

 

   

 

 Perhatikan   

 

 Lakukan metode substitusi, dengan memisalkan y=u(x) atau x=w(y) dan dx/dy=w’(y) > 0, maka :                 Jadi dapat ditulis untuk kasus kontinu : 

 

   dan kasus diskrit :

 

 

   

 

x

 

Sifat-sifat E(X)

1.

2.

3.

E(k) = k, k konstanta E(kV)= k E(V) E(k 1 V 1 +k 2 V 2 ) = k 1 E(V 1 ) + k 2 E(V 2 ) E adalah operator linier

Beberapa ekpektasi khusus

 Misalkan X adalah variabel random yang mempunyai pdf f(x)  Berikut ini adalah beberapa ekpektasi khusus : 1. μ 2.  2 = E(X), disebut nilai mean dari X 

E



X

   2      2 disebut nilai variansi dari X, sedangkan  disebut 3.

  

tx

 

,

t

disebut moment generating function MGF dari variabel random X kontinu  0

Untuk variabel random diskrit X, MGF nya adalah

   

x tx

  ,

t h

MGF dari variabel random X disebut juga MGF dari suatu distribusi, tetapi tidak setiap distribusi mempunyai MGF  Apabila suatu distribusi mempunyai MGF maka MGF nya unik  Jadi jika 2 var random mempunyai MGF yang sama, maka variabel-variabel random tersebut mempunyai distribusi yang sama

   Karena suatu distribusi yang mempunyai MGF M(t) ditentukan secara lengkap oleh M(t), maka dapat ditentukan beberapa sifat distribusi secara langsung dari M(t) Maksudnya : Keberadaan M(t) untuk –h

dt



M

'            



tx

  ,

tx

  , (

t kontinu

)  0

dt



M

'  



x tx

  (

diskrit

)

M M

"

M

            2

tx

  2     2  2    2 

M M

 Jika m bilangan bulat positif dan jika

M

  adalah turunan ke-m dari M(t) maka :  

M

Karena M(t) membangkitkan nilai-nilai dari  disebut momen ke-m dari suatu distribusi   M=1,2,3,… maka M(t) disebut momen generating function

 Contoh Diketahui variabel random diskrit X memiliki pdf f(x)    6 2

x

2 0, ,

x

 1, 2, 3

yang lainnya

Hint : diketahui bahwa deret konvergen ke  2 1 1 2  1 2 2  1 3 2  ....

       



x tx

  

x





 1  6

e tx

2

x

2 Dengan menggunakan uji rasio dapat ditunjukkan bahwa deret tersebut divergen jika t ≥0  Berarti tidak terdapat bilangan positif h sedemkian

sehingga M(t) ada untuk –h

Probabilitas Bersyarat

   Pada suatu percobaan random misalkan kita hanya tertarik menyelidiki hasil-hasil percobaan yang merupakan elemen-elemen dari suatu subset C 1 dimana C 1  C Ini berarti ruang sampel yang efektif adalah C 1 Se lanjutnya akan didefinisikan suatu fungsi himpunan probabilitas dengan sampel baru C 1 sebagai ruang  Misalkan fungsi himpunan probabilitas P(C) ditentukan terhadap ruang sampel C dan misalkan

    C 1  C sedemikian sehingga P( C 1 ) >0 Ambil C 2 subset lain dari C Relatif terhadap ruang sampel baru, akan didefinisikan probabilitas dari kejadian C 2 Probabilitas ini disebut probabilitas bersyarat dari C 2 relatif terhadap kejadian C 1 atau probabilitas bersyarat dari C 2 diberikan C 1, dinotasikan P(C 2 |C 1 ) Karena C 1 merupakan ruang sampel baru, maka elemen-elemen C dengan ini hanyalah elemen-elemen yang juga elemen-elemen dari C 1, 2 yang berhubungan yaitu elemen-elemen dari C 1 ∩ C 2

     P(C 2 |C 1 ) didefinisikan sehingga P(C 1 |C 1 ) = 1 dan P(C 2 |C 1 )= P(C 1 ∩ C 2 |C 1 ) Dalam hal ini : Berarti : ( 2 1 syarat P(C 1 )>0 )

P C

  1  bersyarat kejadian C  1 1

C C

2 1  1   2 1 

C

2     1 diberikan C    1 1

C

2  dengan Dapat ditunjukkan bahwa P(C 2 |C 1 ) adalah fungsi himpunan probabilitas : 1. P(C 2 |C 1 ) ≥ 0 2.

 2 

C

3  ....

C

1    3. P(C 1 |C 1 ) = 1 1 1   ... dimana , 3 ,... himpunan yang saling lepas

  P(C 2 |C 1 ) merupakan fungsi himpunan probabilitas yang didefinisikan untuk subset subset dari C kejadian C 1 1, dan disebut sebagai fungsi himpunan probabilitas bersyarat relatif terhadap atau fungsi himpunan probabilitas bersyarat diberikan C 1 Contoh : 5 kartu diambil secara acak dan tanpa pengembalian dari setumpuk kartu permainan yang terdiri dari 52 kartu. Tentukan probabilitas bersyarat bahwa semua kartu yang diambil ialah sekop, relatif terhadap hipotesis bahwa paling sedikit ada 4 kartu sekop

Contoh 2:

 Sebuah mangkok berisi 8 kepingan ; 3 keping warna merah dan 5 keping berwarna biru. 2 keping diambil secara acak tanpa pengembalian. Tentukan probabilitas bahwa pengambilan pertama berwarna merah dan pengambilan kedua berwarna biru

Contoh 3 :

 Dari setumpuk kartu permainan, kartu-kartu diambil secara acak tanpa pengembalian.  Misalkan :    C 1 : kejadian 2 sekop dalam 5 pengambilan pertama C 2 : kejadian sebuah sekop pada pengambilan ke-6 Tentukan probabilitas bahwa sekop ketiga muncul pada pengambilan ke-6

Contoh 4 :

 4 kartu diambil secara acak dan tanpa pengembalian dari setumpuk kartu  Tentukan probabilitas untuk mendapatkan satu sekop, satu hati, satu berlian dan satu keriting

Teorema Bayes

 Misalkan kejadian – kejadian merupakan partisi dari i=1,2,3,…,k C dan 1 1 exhaustive sedemikian sehingga P( C 2 i 2 ,...,

C

,..., )>0,

k C

kejadian – kejadian mutually exclusive dan

k

  Kejadian

C C

1 , 2 ,...,

C k

tidak perlu equally likely Misalkan C suatu kejadian di C

C

dimana   

C C

 

C C

1 1 ,    

C C

 

C

2

C

2 ,..

lepas atau mutually exclusive  sedemikian sehingga  ...



C



C k



C



C k

 saling

 Berarti berlaku :     

C

1   

C

2   ...

 

C k

  Sudah diketahui bahwa :  

C i

   

i



i

 ,

i

 1, 2,...,

k



P C

Dengan demikian maka :     1    2   ...

  

k

 

i k

  1   

i

  Persamaan diatas disebut “law of total probability”

     Selanjutnya misalkan P(C)>0. Berdasarkan definisi probabilitas bersyarat dan dengan menggunakan law of total probability diperoleh : 

i

  

i

  

C

 

k

      

i

 1 Persamaan diatas disebut Teorema Bayes

i



i

 Contoh : Misalkan terdapat 2 mangkok C 1 dan C 2 yang berisi bola. Mangkok C 1 berisi 3 bola merah dan 7 bola biru. Mangkok C 2 berisi 8 bola merah dan 2 bola biru. Pemilihan mangkok C 1 dan C 2 tergantung dari hasil pelemparan sebuah dadu. Apabila dari hasil pelemparan dadu muncul muka 5

 atau muka 6, maka mangkok C 1 yang terpilih Kalau yang muncul muka yang lain, maka mangkok C 2 yang terpilih. Setelah mangkok terpilih, dilakukan pengambilan secara acak sebuah bola dari mangkok tersebut.  Misalkan yang terambil adalah bola merah. Tentukan probabilitas bersyarat mangkok C 2 yang terpilih jika diberikan bahwa bola merah yang terambil.

    Jawab : P(C 1 ) = 2/6, P(C 2 ) = 4/6 Misalkan kejadian bola merah terambil dinotasikan C Ini berarti  1   3 10 dan  Probabilitas bersyarat mangkok C 2 2   8 10 yang terpilih jika diberikan bahwa bola merah yang terambil =  2 

 2        1    2   2   4   8 10 2   3 10 8 10 Probabilitas P(C 1 ) = 2/6 dan P(C 2 ) = 4/6) disebut probabilitas prior Sedangkan  2  disebut probabilitas posterior  16 19

BAB 2 : DISTRIBUSI MULTIVARIAT

Distribusi dari 2 variabel random

 Perhatikan ilustrasi berikut ini ;  Misalkan sebuah koin dilemparkan sebanyak 3 kali  C Ruang sampelnya adalah : = {c :

c c

7 1   , 2 , 8   , 3

HHH

}  , 4  , 5  , 6 

HTH

   Selanjutnya misalkan terdapat variabel random X 1 dan variabel random X 2 , dimana : X 1 X 2 : jumlah Head pada 2 lemparan pertama : jumlah Head pada seluruh lemparan

X

1

X

1

X

1

X

1

X

1

X

1

X

1

X

1   1   2   3   4   5   6   7   8         1  1 

X

1 1  

X

1 1  

X

1 

X

1 

HTT HTH HHT HHH

               0  1 0 1 1 1 2 3

X

2

X X X

2 2 2   1   2     3   4  

X X X X

2 2 2 2   5   6   7   8    

X X

2 2  

TTT

  0

X X

2 

TTH

2 

THT

    1 1

HTT

  1

X

2 

THH

  2

X

2 

HTH

  2

X X

2 2  

HHT HHH

    2 3

   Berikut ini akan dibentuk pasangan terurut (x 1 ,x 2 ) dimana x 1 = X 1 (c) dan x 2 = X 2 (c) untuk c ε C Jadi pemetaannya adalah : C → A Jadi untuk kasus diatas : A = {(0,0),(0,1),(1,1),(1,2),(2,2),(2,3)}    Berikut akan didefinisikan ruang A Definisi : Diberikan sebuah percobaan random dengan ruang sampel C . Ditentukan 2 var random X 1 dan variabel random X 2 dimana pasangan fungsi tersebut memetakan setiap elemen c ε C ke satu dan hanya satu pasangan berurut (X 1 (c)=x 1 , X 2 (c) =x 2 )

 Dengan demikian ruang dari (X 1 ,X 2 ) adalah himpunan pasangan berurut : A = {(x 1 ,x 2 ) : x 1 =X 1 (c), x 2 =X 2 (c), c ε C  Misalkan A adalah ruang dari variabel random X 1 dan variabel random X 2 misalkan

A

 A dan }   Akan didefinisikan probabilitas dari kejadian A, dinotasikan dengan Pr((X 1 ,X 2 ) ε A ) Ambil C={c : c ε C dan (X 1 ,X 2 ) ε A }, maka Pr((X 1 ,X 2 ) ε A)=P(C) dimana adalah fungsi himpunan probabilitas yang didefinisikan pada C

 Pr((X 1 ,X 2 ) ε P(A) A) ditulis sebagai

P

, 2  P(A) juga merupakan fungsi himpunan probabilitas yang didefinisikan pada atau

A

 A  Contoh :  Dari ilustrasi sebelumnya diperoleh : A = {(0,0),(0,1),(1,1),(1,2),(2,2),(2,3)}  }  Jadi P(A) = Pr((X 1 ,X 2 ) ε

C





c c c atau c

3 , 4 , 5 6



A)=P(C) dimana

P P

 

P P

 Pr 

THT

  1 1 1 . .

2 2 2  1 8  Pr 

HTT

  1 1 1 . .

2 2 2  1 8  Pr 

THH

  1 1 1 . .

2 2 2  1 8  Pr 

HTH

  1 1 1 . .

2 2 2  1 8 1 1 1 4 8 8 8 8 8  Pr  

X X

1 , 2  

A

   4 8

 Berikut ini adalah tabel probabilitas untuk setiap elemen di A

(x 1 , x 2 )

Pr(x 1 , x 2 )

(0,0)

1/8

(0,1)

1/8

(1,1)

2/8

(1,2)

2/8

(2,2)

1/8

(2,3)

1/8  Tabel diatas merupakan distribusi probabilitas dari elemen-elemen pada A  Sifat-sifat fungsi himpunan probabilitas pada 1 var random juga berlaku disini  Misalkan f(x,y) didefinisikan pada A dan f(x,y)=0 untuk yang lainnya, maka berlaku :

 Pr



  Pr



  

A



  

A







A



A

     P( A 

A

) = 1, yaitu :    1 

A

     0           1

untuk X dan Y diskrit

 Contoh : Misalkan