Transcript Distribusi Gamma dan Chi Square


Telah terbukti kebenarannya bahwa :  y 1e y dy
0



ada untuk  > 0
nilai dari integral tersebut adalah bilangan positif
untuk suatu  > 0.
Integral tersebut dinamakan fungsi gamma dari 
:

( )   y 1e y dy
0


Jika

=1 →
Jika  > 1 →



0
(1)   e y dy  1
0
y 1e  y dy
dv  e y dy
u  y 1
v  e y
du  (  1) y 2 dy

y
0

 1  y
e
M
dy  lim
M 
y
 1  y
e
dy
0
  1  y M M  y

 2
 lim    y e    e (  1) y dy 
0
M 
0


M


 1  M
 2  y
 lim    M e  0    (  1) y e dy 
M 
0


M

0
0
 1  y
 2  y
 2  y
y
e
dy

lim
(


1)
y
e
dy

(


1)
y


 e dy
0
M 
 1  y
y
 e dy  ( 1)( 1)
0

Berarti jika  suatu bilangan positif yang
lebih besar dari 1, diperoleh
( )= (  1)(  2)(  3)...(3)(2)(1)
( )  (  1)!

karena  (1)  1 atau 0!  1
Misalkan y  x /  dimana   0 maka

 1
x
( )    

0
( ) 


0
e
x
 
 
1
   dx
 
x 1
.
1
  1 
e  x /  dx

( )  

Karena
0
 1
x

e x /  dx
x 1
x/ 
1 
e
dx

( ) 
0
  0,   0 dan ( )  0 , maka :
1
 1  x / 
f ( x) 
x e

( ) 
dan
,
0 x
f(x) = 0 , x yang lainnya
adalah pdf dari suatu variabel random kontinu X yang
berdistribusi Gamma dengan parameter alpha dan beta.


Distribusi gamma sering dipakai di model
probabilitas untuk waktu tunggu. Contohnya
didalam “life testing”, waktu tunggu sampai
“mati” merupakan variabel random yang
berdistribusi gamma.
Akan ditunjukkan bahwa waktu tunggu adalah
benar berdistribusi gamma.
Dalam hal ini akan digunakan ketentuanketentuan dalam proses Poisson, dimana interval
dengan panjang w merupakan suatu interval
waktu.
Misalkan W merupakan suatu variabel random
yang menyatakan waktu yang dibutuhkan
untuk menentukan terdapat tepat k
perubahan (k kematian), dimana k adalah
bilangan positif yang tetap.
Maka fungsi distribusi dari W adalah:
G( w)  Pr(W  w)  1  Pr(W  w)
Kejadian W>w, untuk w>0, ekivalen dengan
kejadian:
 Terdapat 0 kematian dalam interval w, atau
 Terdapat 1 kematian dalam interval w, atau
 Terdapat 2 kematian dalam interval w, atau
…..
 Terdapat k-1 kematian dalam inerval w
Misalkan X menyatakan jumlah kematian
dalam suatu interval w maka:
Pr(W  w)  Pr(k X1  0)  Pr( X  1)  ....  Pr( X  k  1)
  Pr( X  x )
x 0
x w
( w) e

x!
x 0
k 1
Dapat dibuktikan bahwa:
( w) e

x!
x 0
k 1
x
w

k 1  z
z e

dz
 w (k  1)!
G ( w)  1  Pr(W  w)

k 1
z
z e
 1 
dz
 w ( k  1)!
w
G(w) 

0
Untuk
k 1  z
z e
dz
(k  1)!
w0
w  0  G ( w)  0
Misalkan
z  y
w
G ( w)  
 y
k
, maka:
k 1   y
e
( k )
dy
=0 0
Berarti p.d.f dari W adalah :
k 1   w
 w e
g (w)  G '( w) 
( k )
=0
k
w>0
w≤0
, 0 w
, w yang lainnya
Berarti W berdistribusi gamma dengan
parameter :
  k dan   1/ 
Jika W adalah waktu tunggu sampai terdapat
1 kematian, maka p.d.f dari W adalah:
,
 w
g ( w)   e
0 w
= 0,
w yang lainnya
W dikatakan mempunyai distribusi
eksponensial dengan mean   1/ 
MGF dari distribusi gamma adalah:

1
 1  x / 
M (t )   e
x e dx

( ) 
0

1
 1  x (1  t ) / 

x e
dx


(

)

0
Misal :
,
tx
y  x(1   t ) / 
x   y /(1   t )

dx 
dy
1  t
t  1/ 

1

 1  y
M (t )  
(  y /(1   t )) e
dy

( )
1 t
0

 1

1 t    y 

y
M t   
e
dy

 
     1   t  
0

 1
 /(1   t ) 
 1  y

y e dy

 1
( )  (1   t )
0

1
1
 1  y

y e dy
 
(1   t ) 0 ( )
M (t ) 
1
t  1/ 
(1   t )

M '(t )  ( )(1   t )
 1
(  )
M ''(t )  ( )( 1)(1   t )
 2
( )
2
  M '(0)  
  M "(0)    ( )(  1)     
2
2
2
2 2
2
Contoh:
1) Misalkan “waiting time” W mempunyai p.d.f
gamma dengan   k dan   1/ 
Maka E (W )    k / 
Jika k=1 maka E (W )  1/  artinya harapan
waktu tunggu untuk 1 perubahan adalah 1/ 
Tambahkan contoh dari buku lain
2) Misalkan X adalah suatu variabel random
sedemikian sehingga
(m  3)! m m  1, 2,3....
E( X ) 
3
3!
m
Tentukan distribusi dari X!
Deret Maclaurin untuk M(t) adalah:
M '(0) M "(0) 2
M ( m) (0) m
M (t )  M (0) 
t
t  ..... 
t  ....
1!
2!
m!
E( X ) E( X 2 ) 2
E( X m ) m
 1
t
t  ...... 
t  ....
1!
2!
m!
4!3 5!32 2
(m  3)!3m m
 1
t
t  ...... 
t  ......
3!1! 5!2!
3!m!
Bentuk tersebut merupakan deret Maclaurin
(1  3t )4 dengan 1  3t  1
Jadi X berdistribusi gamma dengan
parameter   4
dan   3
Pada distribusi gamma, apabila   r / 2 ,
dimana r bilangan bulat positif dan   2 ,
maka pdf dari variabel random kontinu X
adalah :
1
r / 2 1  x / 2 0  x  
f ( x) 
x
e
r/2
(r / 2)2

=0
MGF nya adalah
M (t )  (1  2t )

lainnya
r / 2
t 12
X dikatakan berdistribusi Chi-square.

Mean dan variansinya adalah:
    (r / 2)2  r

 2   2  (r / 2)22  2r
r merupakan parameter dari distribusi chisquare dan sering disebut sebagai derajat
bebas.
Apabila X berdistribusi chi-square 
derajat bebas r, maka ditulis X ~
2
dengan
(r )
Contoh:
2

1) Misalkan X ~
, tentukan Pr(3,25  X  20,5)
(10)
Dari tabel chi-square dengan r=10,
diperoleh:
Pr(3, 25  X  20,5)  Pr( X  20,5)  Pr( X  3, 25)
 0,975  0,025  0,95
2) Misalkan X berdistribusi gamma dengan   r / 2
dan   0 dimana r bilangan bulat positif.
Didefinisikan variabel random Y  2 X 
Tentukan p.d.f dari Y.
y
Jawab:
G ( y )  Pr(Y  y )  Pr( X  )
2
Jika y  0 maka G(y)=0
Jika y>0 maka
 y/2
G( y ) 

0
1
r / 21  x / 
x e dx
r/2
(r / 2)
Misal :x   z / 2
x=0
x  y/2
y
G( y)  
0
z  2x / 
z=0
2 y / 2
z
y

1
 z 


(r / 2)  r / 2  2 
 /2
 z 


r/2 

(
r
/
2)

2


0
y
r / 2 1
e z / 2
r 1  y / 2
1
2
y
e
r
2
(r / 2)2
2
2
dz
dz
r / 2 1
e  z / 2 dz
 /2
y
g ( y )  G '( y ) 


( r / 2)  r / 2  2 
g ( y) 

dx 

r / 2 1
e y / 2
0 y
p.d.f dari Y:

1
r / 2 1  y / 2
g ( y) 
y
e
r/2
(r / 2)2
=0
Y ~
 r2
0 y
lainnya