Transcript Distribusi normal - IFI TALKS SOMETHING
Distribusi Normal Luas di Bawah Kurva Normal Hampiran Normal terhadap Binomial Distribusi Gamma dan Eksponensial Distribusi Khi-Kuadrat Distribusi Weibull
Distribusi suatu data dari sebuah sample yang memiliki kurva normal (normal curve) yang berbentuk lonceng. Ditemukan oleh Abraham DeMoivere (1733). Sering disebut distribussi Gauss (Gaussian distribution)
Distribusi Normal, Fungsi Penuh peubah acak normal X, dengan rataan µ dan variansi σ 2 adalah Dengan : 3,14159… dan e=2,71828…
m
1.
2.
3.
4.
Kurva berbentuk genta ( m = Md= Mo) Kurva berbentuk simetris Kurva mencapai puncak pada saat X= m Luas daerah di bawah kurva adalah 1; ½ di sisi kanan nilai tengah dan ½ di sisi kiri
Distribusi kurva normal dengan m sama dan berbeda 10 9 8 3 2 1 0 7 6 5 4 Mesokurtic m Platykurtic
Distribusi kurva normal dengan m berbeda dan sama 150 300 450
Distribusi dengan m dan yang berbeda 85 850
Luas dibawah kurva normal dengan batas x 1 =a dan x 2 = b
a
m
b x
P(x 1 < X < x 2 ) = = x x 2 1 n 1 ( x 2 x x 2 1 ; m , e ) dx ( 1 / 2 ) ( x m ) / 2 dx I ntegral di atas tidak dapat diselesaikan secara analitis. Untuk memudahkan perhitungan tersedia tabel normal yang berisikan luas dibawah area kurva normal baku
Z
x
m
Diketahui nilai mata kuliah Probabilitas dan Statistika kelas C, berdistribusi normal dengan mean m = 55 dan deviasi standar = 15. Tentukan nilai peluang a) b) 55 ≤ X ≤ 75 60 ≤ X ≤ 80X ≤ 40
Answer a) 55 < X < 75 P(55 Atau = 0,4082 b) P(60≤x≤80) = = P(0,33≤Z≤1,67) = P(0≤Z≤1,67) – P(0≤Z≤0,33) = 0,4525 – 0,1293 = 0,3232 atau : Z1 = = 0,33 B = 0,1293 Z2 = C = A – B = 0,3232 = 1,67 A = 0,4525 Tinggi badan mahasiswa UGM berdistribusi normal dengan rata-rata 165 cm dan deviasi standar 10 cm. Tentukan berapa problabilitas mahasiswa UGM dengan tinggi lebih dari 180 cm? Answer: P(180 Diketahui rata-rata hasil adalah 74 dengan simpangan baku 7. Jika nilai-nilai peserta ujian berdistribusi normal dan 12% peserta nilai tertinggi mendapat nilai A, berapa batas nilai A yang terendah ? Persamaan distribusi binomial b(x;n,p) Review : Z x m m = simpangan = rataan Distribusi Normal : m = np dan 2 npq dengan q= (1-p) Hampiran normal paling berguna dalam perhitungan dengan nilai n yang besar Ex: peluang yang tepat diberikan oleh P ( 7 X 9 ) x 9 7 b ( x ; 15 ; 0 , 4 ) x 9 0 b ( x ; 15 ; 0 , 4 ) 0 , 9662 0 , 3564 x 0 , 60989 6 0 b ( x ; 15 ; 0 , 4 ) ( see table ) Untuk hampiran normal : x1= 6,5 dan x2 = 9,5 Selanjutnya =P(Z<1,85)-P(Z<0,26) =0,9678 – 0,6026 =0,3652 Hasil ini mendekati dengan hasil yang sebenarnya 1. 2. Peluang seorang mahasiswa sembuh dari hepatitis A adalah 0,4. Bila ada 100 mahasiswa yang terkena penyakit ini, berapa peluang bahwa kurang dari 30 mhs yang sembuh. Saat UM UGM terdapat 200 soal pilihan ganda dengan 4 pilihan dan hanya 1 pilihan yang benar. Seorang siswa mengerjakan soal tanpa membaca soal sedikitpun, berapa peluang siswa tadi menjawab 25 sampai 30 soal dengan benar untuk 80 dari 200 soal??? Penyelesaian : Misal : peubah binomial X menyatakan banyaknya penderita yang sembuh, Karena n = 100 maka µ = np = 100 x 0,4 = 40 Dan Untuk mendapatkan peluang yang dicari digunakan x= 29,5 Peluang ≤ 30 pasien yang sembuh dari 100 pasien : P(X<30) ≈ P(Z < ─ 2.14) = 0,0162 Fungsi gamma didefinisikan sebagai: ( ) Untuk Jadi 0 0 e x dx ; untuk e x 0 1 0 (1) 1 Sifat penting fungsi gamma : ( ) 2 Jika di integralkan per bagian (parsial) dengan m x 1 dan dv e x dx Diperoleh u v x 1 e x du dv e x dx Maka 0 x ( x e e x x dx 0 0 0 u dv e x ( 1 0 x x uv 1 )x 2 dx 2 dx ; untuk 0 v du 1 1 ) Jadi diperoleh ( 1 ) Dengan formula (rumus) berulang diperoleh ( 1) ( 1) ( 1) ( 2) ( 1)( 1)( 2) ( ( 2) 3) ( : 1)( 2)( 3) : dan seterusnya Jika dengan bilangan n bulat positif, maka n (n) (n 1 )(n 2 )(n 3 1 1 (n) (n 1 )(n 2 )(n 3 )......... 1 (n 1 )! 1 1 atau (n) (n 1 )! Perubah acak kontinu X berdistribusi gamma dengan f(x) 0 1 x 1 e x ; x 0 ; x yanglain distribusi Eksponensial Distribusi Gamma 0 2 4 x 6 8 10 Perubah acak kontinu X terdistribusi padatnya berbentuk : f(x) 0 1 dengan e x 0 ; x 0 ; x yanglain Rata-rata dan variansi distribusi gamma : dan 2 2 Rata-rata dan variansi distribusi eksponensial : dan 2 2 Suatu sistem memuat sejenis komponen yang mempunyai daya tahan pertahun dinyatakan oleh perubah acak T yang berdistribusi eksponensial dengan parameter waktu rata-rata sampai gagal 5 Bila sebanyak 5 komponen tersebut dipasangkan dalam sistem yang berlainan, berapa pobabilitas bahwa paing sedikit 2 masih akan berfungsi pada akir tahun ke delapan. Jawab: Probabilitas bahwa suatu komponen tertentu masih akan berfungsi setelah 8 tahun adalah: P(T 8 ) 1 5 8 e t 5 dt e 8 5 Hubungan saluran telepon tiba i suatu gardu (sentral) memrnuhi proses poisson dengan rata-rata 5 hubungan yang masuk per menit. Berapa probabilitasnya bahwa setelah semenit berlalu baru 2 sambungan telepon masuk ke gardu tadi Jawab: Proses poisson berlaku dengan waktu sampai kejadian poisson memenuhi distribusi gamma dengan parameter 1 5 dan 2 Misalkan X perubah acak yang menyatakan waktu dalam menit yang berlalu sebelum 2 hubungan masuk,probabilitasnya adalah: P(T 8 ) 1 5 e t 5 dt e 8 5 8 Distribusi ini adalah kasus spesial dari distribusi gamma : f(x) 0 1 x Lalu disubstitusi dengan : 1 e x ; x 0 ; x yanglain v 2 dan 2 ;v bilangan bulat positif Menjadi : f(x) 2 v / 0 1 2 x v 2 e x 2 dengan v bilangan bulat positif ; x 0 ; x yanglain Parameter V merupakan derajat kebebasan Rataan distribusi chi kuadrat : m v Variansi distribusi chi kuadrat : 2 2 v Perubah acak kontinyu X terdistribusi Weibull dengan parameter dan , jika fungsi padatnya berbentuk: f(x) 0 dengan x 0 e dan 0 ; x 0 ; x yanglain eksponensial. normal tetapi agak mencong. Distribusi Weibull 0.0 0.5 1.0 x 1.5 2.0 2.5 Rata-rata : Variansi : 1 / 2 2 / 1 ) 2 ) ( 1 1 ) 2 Seperti distribusi gamma dan eksponensial, distribusi weibull juga dipakai pada persoalan keandalan dan pengujian panjang umur misal misal panjang umur suatu komponen, diukur dari suatu waktu tertentu sampai rusak.c). P(x ≤ 40) = 0,5 – A = 0,5 – 0,3412 = 0,1588
answer