DISTRIBUSI GAMMA

Agung Kurniawan 672009188 Resti Ekaningtyas 672009196 Sekar Pandanarum 672009280 Khairul Luqman 672009322 Galih Christian S. 672009214 Hanny Tuhuteru 672009252

Pengantar

• Dalam pokok bahasan disini memuat beberapa distribusi koninyu yang sangat penting di bidang staistika. diantaranya distribusi normal, distribusi gamma dan eksponensial, distribusi chi-kuadrat dan distribusi weibull.

• Distribusi-distribusi ini yang sangat berperan pada statistik inferensial yaitu dalam pengujian hipotesis, pengujian panjang umur (life testing) dan sebagianya.

Probabilitas Kontinyu

• • • • • • Distribusi Seragam Kontinyu Distribusi Normal (Gaussian) Distribusi Gamma dan Distribusi Eksponensial Distribusi Chi-kuadrat Distribusi Weibull Distribusi Lognormal

Distribusi Gamma

Tidak selamanya distribusi normal dapat digunakan untuk memecahkan masalah teknik dan sains. Contohnya dalam teori antrian dan keandalan, kurang tepat bila digunakan pendekatan dengan distribusi normal, distribusi Gamma lebih tepat menjadi solusinya. Distribusi eksponensial adalah sebuah kasus distribusi Gamma.

Distribusi Gamma

• • • Definisi 1: Distribusi Gamma adalah distribusi fungsi padat yang terkenal luas dalam bidang matematika.

Definisi 2 : Fungsi gamma didefinisikan oleh Untuk α > 0 dengan e= Fungsi gamma ini adalah fungsi rekursif di mana Γ(n) = (n-1)!

• Definisi 3: Perubah acak kontinu X berdistribusi gamma dengan parameter dan , jika fungsi padatnya berbentuk: f(x)       0 dengan  1    0 x   1 e  x  dan   0 ; x  0 ; x yanglain Grafik beberapa distribusi gamma dipelihatkan pada gambar 6.8.

Eksponensial (Lihat gambar 6.9)

Gmbar 6.8 Distribusi Gamma

Distribusi Gamma

  1,   1   2,   1   3,   1 0 2 4 6 8 10 x Dipelihatkan pada gambar 6.8, untuk beberapa nilai parameter  dan  7

Gmbar 6.9 Distribusi Eksponensial (Distribusi Gamma dengan  =1 ) Grafik distribusi gamma dengan  =1 dan beberapa nilai  8

Rata-rata dan variansi distribusi gamma adalah dan  2   2 Nilai e = 2,718281

Tabel Gamma

Contoh

 Misalkan variabel acak kontinu X yang menyatakan ketahanan suatu bantalan peluru (dalam ribuan jam) yang diberi pembebanan dinamik pada suatu putaran kerja tertentu mengikuti suatu distribusi gamma dengan  = 8 dan  = 15, maka probabilitas sebuah bantalan peluru dapat digunakan selama 60 ribu sampai 120 ribu jam dengan pembenan dinamik pada putaran kerja tersebut adalah:  *karena contoh soal ini dipengaruhi parameter  dan  , maka menggunakan definisi ke-3, kita cari peluang ketahanan pembebanan antara 60 ribu sampai 120 ribu jam, dan perhitungannya sesuai rumus pada definisi 3 dengan fungsi padat seperti di bawah ini:

P

(60 

X

 120)    

F F G G

 ( 120  15 120  ;8)  (120;8,15)   

F P X G F

( 

G

60  15  60 ;8)   (60;8,15) 0,4959

F G

(8;8) 

F G

(4;8)  Beberapa ukuran statistik deskriptif distribusi gamma di atas adalah: Mean Varians : 

x

:  2

x

   2 )     (8)(15)  120  1800  

x

 42,43

• Sebenarnya, rumus yang digunakan:

f

(

x

;  ,  )      1  (  ) 0

x

  1

e



x

/ 

x

 0

lainnya P

(

X

 60 ;   8 ,   10 )   60 0  1   (  )

x

  1

e



x

/ 

dx

 0  60 10 5 1  ( 8 )

x

7

e



x

/ 10

dx

• • • Integral ini sulit dievaluasi secara langsung. Akan tetapi dapat dievaluasi dengan perantaraan tabel fungsi gamma tak lengkap F.

Persamaan matematika distribusi peluang peubah normal kontinu bergantung pada dua parameter μ dan σ yaitu rataan dan simpangan baku. Jadi fungsi padat x akan dinyatakan dengan n (x; μ, σ). Begitu μ dan σ diketahui maka seluruh kurva normal diketahui. Sebagai contoh, bila μ = 50 dan σ = 5, maka ordinat n(x ; 50, 5) dapat dengan mudah dihitung untuk berbagai harga x.