Transcript Slide 1
DETERMINAN
MATRIKS
Esti Prastikaningsih
Before :
1 0 2
3 0
1.Diketahui matriksG 3 2 1 dan H 1 - 1
2 2 1
- 2 4
Hitunglaha) GH b)HG
Jawab :
a) G3 x3 . H 3 x 2
1 0 2 3 0 (1)(3)+(0)(1)+(-2)(-2) (1)(0)+(0)(-1)+(-2)(4)
(3)(3)+(2)(1)+(1)(-2)
(3)(0)+(2)(-1)+(1)(4)
GH 3 2 1 1 - 1
2 2 1 - 2 4 (2)(3)+(2)(1)+(-1)(-2) (2)(0)+(2)(-1)+(-1)(4)
3 0 4 0 0 8 7 8
9 2 2 0 2 4 9 2
6 2 2 0 2 4 10 6
b) H 3 x 2 . G3 x3
HG ≠
4 5
1 0
; B
; tentukanAxB
2. Jika A
1
2
3
4
Jawab:
4 5 1 0 (4)(1)+(5)(3)
AB
1 2 3 4 (1)(1)+(2)(3)
4 15 0 20
1 6 0 8
19 20
7 8
(4)(0)+(5)(4)
(1)(0)+(2)(4)
Determinan
Determinan dari matriks bujursangkar n x n ditulis | An |
yang didefinisikan sebagai berikut :
An
n
An
=
a
i 1
a11
a 21
=
a n1
a1n
a2n
a nn
n
(1) .M ij aij .Kij
i j
ij
a12
a 22
an2
i 1
M ij disebut minordari elemena ij
K ij (-1)i j .Mij disebut Kofakt ordari elemena ij
Contoh :
a11 a12 a13
Jika diketahui matriks A = a 21 a 22 a 23 maka tentukan :
a31 a32 a33
a ). M 21
b). M 33
c ). K 21
d ).K 33
Jawab :
a11 a12 a13
A = a21 a22 a23
a31 a32 a33
a) M 21
b) M 33
a12
a13
a32 a33
a11
a12
a21 a22
K ij (-1)i j .Mij
d ) K 21 (1) 21.
e) K 33 ( 1) 3 3 .
a12
a13
a32
33
a11
a12
a21
22
1(a12 .a33 a13 .a32 )
1(a11.a22 a12 .a21 )
Determinan matriks ordo 2x2
Jika A suatu matriks persegi berordo 2x2, secara umum dapat ditulis sebagai berikut :
a b
c d
A =
ad adalah diagonal utama
bc adalah diagonal sekunder
Hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dikurangi dengan hasil kali elemenelemen pada diagonal sekunder, yaitu ad – bc disebut determinan matriks A dan
biasanya dinotasikan dengan det A = | A |
Jika A = a
b maka |A | = a b
c d
c d
= ad –bc
Contoh :
5 1
maka A 5x3 - 2x1 = 15 – 2 = 13
A
2
3
4 3
maka B 4x5 - 10x3= 20 – 30 = -10
B
10 5
Determinan matriks ordo 3x3
Metode “Sarrus”
Metode “Sarrus” dapat digunakan untuk menghitung determinan matriks ordo 3x3
+ a + a + a - a -a 11
12
11
12
13
a21
a31
a22
a32
a23 a21 a22
a33 a31 a32
a11.a22 .a33 a12 .a23 .a31 a13 .a21.a32 a13 .a22 .a31 a11.a23 .a32 a12 .a21.a33
a11.a22 .a33 a12 .a23 .a31 a13 .a21.a32
(a13.a22 .a31 a11.a23.a32 a12 .a21.a33 )
Contoh:
Hitunglah determinan dari matriks
Jawab:
+
+
+ -
-
7
3
8
7 3
|E| 4
9
2
6
5
1
4 2
9 6
7
E 4
9
3 8
2 5
6 1
dengan metode Sarrus
-
= (7x2x1) +(3x5x9) + (8x4x6) -(8x2x9) -(7x5x4) -(3x4x1)
=14 + 135 + 192 - 144 - 210 – 12 = -25
Determinan matriks ordo 3x3
Ekspansi baris 1
Hitunglah determinan dari matriks
Jawab:
7
E 4
9
3 8
2 5
6 1
dengan metode Ekspansi
Ekspansi baris 1
a11.(1)11.M11 a12 .(1)12 .M12 a13.(1)13.M13
2 5 4 5
4 2
7
3
8
6 1 9 1
9 6
196 123 48
25
Adjoin Matriks
Adjoin matriks An adalah transpose dari matriks kofaktor-kofaktornya. Adjoin
matriks A ditulis ditulis adj A = (Kij)T dengan Kij = (-1)i+j. Mij
Ordo 2x2
a b
DiketahuimatriksA
c d
d - b
Adj A
c
a
Contoh:
4 - 7
. T entukanAdj A
DiketahuimatriksA
2 5
5 7
Adj A = - 2 4
Ordo 3x3
2
6
5
1
4
9
4
K13 = (-1)1+3 .
9
5
1
2
6
3
6
8
1
K22 = (-1)2+2 . 7
9
8
1
7
9
3
= - (42 – 27) = -15
6
K11 = (-1)1+1 .
Diketahui sebuah
matriks:
7 3 8
A = 4 2 5
9 6 1
Tentukan Adj A
K12 = (-1)1+2 .
K21 = (-1)2+1
K23 = (-1)2+3 .
6
28 41
K ij 45 65 15
1 3
2
28 45 1
AdjoinA ( K ij ) 41 65 3
6
15 2
T
= 2 – 30 =-28
K31 = (-1)3+1 .
3
2
8
5
= 15 – 16 = -1
= - (4 – 45) = 41
= 24 – 18 = 6
= - (3 – 48) = 45
= 7 – 72 = -65.
7
K32 = (-1)3+2 . 4
K33 = (-1)3+3 .
7
4
8 = - (35 – 32) = -3
5
3
2
= 14 – 12 = 2