Transcript Slide 1

DETERMINAN
MATRIKS
Esti Prastikaningsih
Before :
1 0  2
 3 0




1.Diketahui matriksG   3 2 1  dan H   1 - 1
 2 2 1 
- 2 4 




Hitunglaha) GH b)HG
Jawab :
a) G3 x3 . H 3 x 2
 1 0  2   3 0  (1)(3)+(0)(1)+(-2)(-2) (1)(0)+(0)(-1)+(-2)(4) 

 
 

(3)(3)+(2)(1)+(1)(-2)
(3)(0)+(2)(-1)+(1)(4)
GH   3 2 1   1 - 1  

 2 2  1   - 2 4  (2)(3)+(2)(1)+(-1)(-2) (2)(0)+(2)(-1)+(-1)(4) 

 
 

 3  0  4 0  0  8   7  8

 

 9  2  2 0  2  4   9 2 
 6  2  2 0  2  4  10 6 

 

b) H 3 x 2 . G3 x3
HG ≠
 4 5
1 0
 ; B  
 ; tentukanAxB
2. Jika A  
1
2
3
4




Jawab:
 4 5   1 0  (4)(1)+(5)(3)
 
  
AB  
 1 2   3 4  (1)(1)+(2)(3)
 4  15 0  20

 
 1 6 0  8 
19 20

 
7 8
(4)(0)+(5)(4)

(1)(0)+(2)(4)
Determinan
Determinan dari matriks bujursangkar n x n ditulis | An |
yang didefinisikan sebagai berikut :
An
n
An
=
a
i 1
a11
a 21
=

a n1
 a1n
 a2n


 a nn
n
(1) .M ij   aij .Kij
i j
ij
a12
a 22

an2
i 1
M ij disebut minordari elemena ij
K ij  (-1)i  j .Mij disebut Kofakt ordari elemena ij
Contoh :
 a11 a12 a13 


Jika diketahui matriks A = a 21 a 22 a 23  maka tentukan :
a31 a32 a33 
a ). M 21
b). M 33
c ). K 21
d ).K 33
Jawab :
 a11 a12 a13 


A = a21 a22 a23 
 a31 a32 a33 
a) M 21 
b) M 33 
a12
a13
a32 a33
a11
a12
a21 a22
K ij  (-1)i j .Mij
d ) K 21  (1) 21.
e) K 33  ( 1) 3 3 .
a12
a13
a32
33
a11
a12
a21
22
  1(a12 .a33  a13 .a32 )

1(a11.a22  a12 .a21 )
Determinan matriks ordo 2x2
Jika A suatu matriks persegi berordo 2x2, secara umum dapat ditulis sebagai berikut :
a b 
 c d 


A =
ad adalah diagonal utama
bc adalah diagonal sekunder
Hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dikurangi dengan hasil kali elemenelemen pada diagonal sekunder, yaitu ad – bc disebut determinan matriks A dan
biasanya dinotasikan dengan det A = | A |
Jika A =  a
b  maka |A | = a b
 c d 
c d


= ad –bc
Contoh :
 5 1
 maka A  5x3 - 2x1 = 15 – 2 = 13
A  
2
3


 4 3
 maka B  4x5 - 10x3= 20 – 30 = -10
B  
10 5 
Determinan matriks ordo 3x3
Metode “Sarrus”
Metode “Sarrus” dapat digunakan untuk menghitung determinan matriks ordo 3x3
+ a + a + a - a -a 11
12
11
12
13
a21
a31
a22
a32
a23 a21 a22
a33 a31 a32
 a11.a22 .a33  a12 .a23 .a31  a13 .a21.a32 a13 .a22 .a31  a11.a23 .a32  a12 .a21.a33
  a11.a22 .a33  a12 .a23 .a31  a13 .a21.a32
  (a13.a22 .a31  a11.a23.a32  a12 .a21.a33 )
Contoh:
Hitunglah determinan dari matriks
Jawab:
+
+
+ -
-
7
3
8
7 3
|E| 4
9
2
6
5
1
4 2
9 6
7

E  4
9

3 8

2 5
6 1 
dengan metode Sarrus
-
= (7x2x1) +(3x5x9) + (8x4x6) -(8x2x9) -(7x5x4) -(3x4x1)
=14 + 135 + 192 - 144 - 210 – 12 = -25
Determinan matriks ordo 3x3
Ekspansi baris 1
Hitunglah determinan dari matriks
Jawab:
7

E  4
9

3 8

2 5
6 1 
dengan metode Ekspansi
Ekspansi baris 1
 a11.(1)11.M11  a12 .(1)12 .M12  a13.(1)13.M13
2 5 4 5
4 2
7
3
8
6 1 9 1
9 6
 196  123  48
 25
Adjoin Matriks
Adjoin matriks An adalah transpose dari matriks kofaktor-kofaktornya. Adjoin
matriks A ditulis ditulis adj A = (Kij)T dengan Kij = (-1)i+j. Mij
Ordo 2x2
a b

DiketahuimatriksA  
c d
 d - b

Adj A  
c
a


Contoh:
 4 - 7
. T entukanAdj A
DiketahuimatriksA  
2 5 
 5 7
Adj A =  - 2 4 


Ordo 3x3
2
6
5
1
4
9
4
K13 = (-1)1+3 .
9
5
1
2
6
3
6
8
1
K22 = (-1)2+2 . 7
9
8
1
7
9
3
= - (42 – 27) = -15
6
K11 = (-1)1+1 .
Diketahui sebuah
matriks:
 7 3 8
A =  4 2 5 
 9 6 1


Tentukan Adj A
K12 = (-1)1+2 .
K21 = (-1)2+1
K23 = (-1)2+3 .
6 
  28 41


K ij   45  65  15
 1  3
2 

  28 45  1 


AdjoinA  ( K ij )   41  65  3 
 6
 15 2 

T
= 2 – 30 =-28
K31 = (-1)3+1 .
3
2
8
5
= 15 – 16 = -1
= - (4 – 45) = 41
= 24 – 18 = 6
= - (3 – 48) = 45
= 7 – 72 = -65.
7
K32 = (-1)3+2 . 4
K33 = (-1)3+3 .
7
4
8 = - (35 – 32) = -3
5
3
2
= 14 – 12 = 2