Transcript Recta y circunferencia

Intersección de la recta con una
Circunferencia.
Prof. César Lozano Díaz
Mtro. J. S. Beltrán León
UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA
ESCUELA PREPARATORIA No. 2
Intersección de una recta y una circunferencia.
Lo que se pretende es “intersecar ambas ecuaciones”, y buscar una
solución , que satisfaga la nueva ecuación obtenida .
Existen solo 3 casos que nos encontraremos al buscar una solución a este
problema.
Caso 1:
La intersección se da en dos puntos, esto es existen dos raíces !!!!!!
raíces
x1  x2
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Intersección de una recta y una circunferencia.
Caso 2:
La intersección se da en solo un punto, esto es existen una raíz !!!!!!
raíz
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x1  x2
Intersección de una recta y una circunferencia.
Caso 3:
No existe intersección, esto se da cuando no se puede determinar cuál es la
raíz, es decir nos topamos con un signo negativo en la raíz cuadrada, (raíces
imaginarias, que hasta este punto no vamos a ver).!!!!
Por lo general, en estos casos, se nos pedirá sólo encontrar dónde se
intersecan una línea recta y una circunferencia.
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Intersección de una recta y una circunferencia.
CONCEPTOS + ALGEBRA + GEOMETRIA
Hasta este punto se tiene que tener bien claro:
 Ecuación de una circunferencia.
 Ecuación de una recta.
 Cómo graficarlas.
 Qué se pretende obtener con la intersección de una recta y una
circunferencia.
 Por último, mucha algebra!!!!!!
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Ejemplo.
Encuentre los puntos de intersección de la recta
y = 2x - 10 y la
circunferencia con centro en el punto (4,-1) y radio 23 .
Nota: recuerda que si se te dan los puntos y el radio debes determinar la
ecuación; en este caso se usa la formula (x  h )2  ( y  k )2  r 2.
Sustituyendo punto de origen y radio:
(x  (4))2  ( y  (1))2  ( 23)2
2
2
Desarrollando: (x  4)  ( y  1)  23
cuidado con el cuadrado!!!!!!
x 2  8x  16  y 2  2 y  1  23  0
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Solo falta agrupar.
Recuerda que se busca tener la forma: x 2  y 2  Dx  Ey  F  0 .
Ya tenemos la ecuación de la circunferencia:
x 2  y 2  8x  2 y  6  0
Sigamos los siguientes pasos:
Paso 1: Despejar la ecuación de la recta para “y” (siempre para “y”) y sustituir
en la ecuación de la circunferencia las ‘y’:
y  2x  10
x 2  y 2  8x  2 y  5  0
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Obtenemos una ecuación cuadrática.
y  2x  10
x 2  y 2  8x  2 y  6  0
x2  (2x 10)2  8x  2(2 x 10)  6  0
2
2
Desarrollando!!!! x  4x  40x  100  8x  4x  20  6  0
2
Agrupando!!!!!!! 5x  44 x  74  0
Paso 2: obtener las raíces del polinomio.
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Los puntos de intersección de la recta con la circunferencia se
obtienen con la fórmula general:
x
b  b  4ac
2a
a
2
donde:
Sustituyendo en la fórmula general:
b
c
5x2  44 x  74  0
(44)  (44) 2  4(5)(74)
x
2(5)
x
44  1936  1480
10
Por lo tanto existe una doble intersección, con coordenadas en x de:
x
44  456 44  21.35

10
10
x1  6.54
x2  2.27
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Pero con eso todavía no se puede graficar nada.
Paso 3:
Faltan las “y” que se obtienen con la ecuación de la recta.
Basta sustituir los valores de x1 y x2 en la ecuación de la recta y de esta
manera tendremos los puntos de intersección, que en este caso son dos:
(x1, y1) y (x2, y2).
En la ecuación y  2x  10 sustituimos x1  6.54, x2  2.27
para obtener y1  2(6.54) 10  3.08,
y2  2(2.27) 10  5.46
Luego, los puntos de intersección son: P1 (6.54, 3.08) y P2 (2.27,  5.48)
Por último, se graficará para verificar que no se haya cometido algún error.
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FIN
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