Relasi dan Fungsi
Download
Report
Transcript Relasi dan Fungsi
Pertemuan 10
Sub Topik
Invers
Komposisi
Refleksif
Relasi R pada himpunan X disebut refleksif
jika (x,x) R untuk setiap x X
Digraf dari refleksif mempunyai sebuah loop
pada setiap ujungnya.
Contoh :
X = {1,2,3,4}
R = {(1,1),(1,2),(1,3),
(1,4),(2,2),(2,3),
(2,4),(3,3),(3,4),
(4,4)}
10/26/2014
4
Tidak Refleksif
Salah
satu atau lebih vertex tidak
mempunyai loop
Contoh :
X = {1,2,3,4}
R = {(1,1),(2,3),(3,2),(4,4)}
10/26/2014
5
Transitif
Penentuan sebuah relasi R transitif :
1. jika (x,y) dan (y,z) R, maka (x,z) R
2. x = y dan (x,z) = (y,z) di R
Contoh :
R1 = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,4),(4,1),(4,4)} tidak transitif
R2 = {(1,1),(1,2),(2,1)} tidak transitif
R3 = {(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(3,3),(4,1),(4,4)} tidak transitif
R4 = {(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)} transitif
6
Simetris
Contoh :
X = {1,2,3,4}
R = {(1,1),(2,3),(3,2),(4,4)}
(2,3) di R dan (3,2)
di R
10/26/2014
7
Antisimetris
Contoh :
X = {1,2,3,4}
R = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),
(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)}
(2,3) R tetapi
(3,2) R
10/26/2014
8
Latihan
Jika diketahui X = {1,2,3,4}
Tentukan relasi berikut memiliki sifat transitif atau tidak
:
1.
R1 = {(1,1),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(4,2)}
2.
R2 = {(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(4,4)}
3.
R3 = {(1,1),(1,3),(2,2),(2,4),(3,1),(3,2)}
4.
R4 = {(1,3),(2,1),(2,3),(3,2),(3,3)}
5.
R5 = {(1,2),(1,4),(2,2),(2,3),(3,4),(3,2),(4,1)}
9
Invers
Misalkan R adalah relasi dari X ke Y maka
invers dari R adalah relasi dari Y ke X
Notasi : R-1
Invers didefinisikan :
R-1 = {(y,x) | (x,y) R}
Digambarkan relasi ini sebagai “terbagi oleh”
Contoh :
R = {(2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4)}
R-1 = {(4,2), (6,2), (3,3), (6,3), (4,4)}
10
Komposisi (Composite)
Misalkan R1 adalah relasi dari X ke Y dan R2
adalah relasi dari Y ke Z, maka komposisi dari R1
dan R2 adalah relasi dari X ke Z
Notasi : R2 R1
Komposisi didefinisikan :
R2 R1 = {(x,z) | (x,y) R1 dan (y,z) R2 untuk beberapa y Y}
Contoh :
R1 = {(1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8)}
R2 = {(2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u)}
R2 R1 = {(1,u),(1,t),(2,s),(2,t),(3,s),(3,t),(3,u)}
11
Relasi Keekuivalenan
Misalkan S adalah partisi dari himpunan X.
Definisikan xRy untuk mengartikan bahwa
untuk beberapa himpunan S di S, baik x
maupun y berada di S, maka R refleksif,
simetris dan transitif
Sebuah relasi yang refleksif, simetris dan
transitif pada himpunan X disebut relasi
keekuivalenan pada X (equivalence
relation on X)
12
Relasi Keekuivalenan (Cont.)
Contoh :
S = {{1,3,5},{2,6},{4}}
X = {1,2,3,4,5,6}
R = {(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),(2,2),
(2,6),(6,2),(6,6),(4,4)}
Digraf relasi dari R harus :
Refleksif :
terdapat sebuah loop pada setiap ujungnya
Simetris :
untuk setiap rusuk berarah dari v ke w juga terdapat
rusuk berarah dari w ke v
Transitif :
jika terdapat sebuah rusuk berarah dari x ke y dan
rusuk berarah dari y ke z maka terdapat rusuk berarah
dari x ke z
13
Relasi Keekuivalenan (Cont.)
14
Klosur Relasi
Klosur relasi terjadi jika :
Relasi tidak refleksif menjadi refleksif
Klosur refleksif (Reflexive Closure)
Relasi tidak simetris menjadi simetris
Klosur simetris (Symmetric Closure)
Relasi tidak transitif menjadi transitif
Klosur transitif (Transitive Closure)
15
Klosur refleksif (Reflexive Closure)
Klosur refleksif dari R adalah :
R , dimana = {(a,a)|a A}
Contoh :
1. A = {1, 2, 3}
R = {(1,1), (1,3), (2,3), (3,2)} tidak refleksif
Supaya bersifat refleksif maka = {(1,1), (2,2), (3,3)}
Sehingga klosur refleksif dari R adalah :
R = {(1,1), (1,3), (2,3), (3,2)} (1,1), (2,2), (3,3)}
= {(1,1), (1,3), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3)}
2. R = {(a,b)|a b} pada himpunan bilangan bulat
Maka klosur refleksif dari R adalah :
R = {(a,b)|a b} {(a,a)|a Z}
= {(a,b)|a Z}
16
Klosur Simetris (Symmetric Closure)
Klosur simetris dari R adalah :
R R-1 , dimana R-1 = {(a,b)| (b,a) a R}
Contoh :
1. A = {1, 2, 3}
R = {(1,3), (1,2), (2,1), (3,2), (3,3)}
Supaya bersifat simetris maka R-1 = {(3,1), (2,1), (1,2), (2,3), (3,3)}
Sehingga klosur simetris adalah :
R R-1 = {(1,3), (1,2), (2,1), (3,2), (3,3)} {(3,1), (2,1), (1,2), (2,3), (3,3)}
= {(1,3), (3,1), (1,2), (2,1), (3,2), (2,3), (3,3)}
2. R = {(a,b)|a habis membagi b} pada himpunan bilangan bulat
Maka klosur simteris dari R adalah :
R R-1 = {(a,b)|a habis membagi b} {(b,a)|b habis membagi a}
= {(a,b)|a habis membagi b atau b habis membagi a}
17
REFERENSI
Rinaldi Munir, 2005, “Matematika
diskrit”, INFORMATIKA Bandung
10/26/2014
18