Transcript Relasi dan Fungsi

Pertemuan 10
Sub Topik
Invers
 Komposisi

Refleksif
Relasi R pada himpunan X disebut refleksif
jika (x,x)  R untuk setiap x  X
 Digraf dari refleksif mempunyai sebuah loop
pada setiap ujungnya.
 Contoh :
X = {1,2,3,4}
R = {(1,1),(1,2),(1,3),
(1,4),(2,2),(2,3),
(2,4),(3,3),(3,4),
(4,4)}

10/26/2014
4
Tidak Refleksif
 Salah
satu atau lebih vertex tidak
mempunyai loop
 Contoh :
X = {1,2,3,4}
R = {(1,1),(2,3),(3,2),(4,4)}
10/26/2014
5
Transitif
Penentuan sebuah relasi R transitif :
1. jika (x,y) dan (y,z)  R, maka (x,z)  R
2. x = y dan (x,z) = (y,z) di R
 Contoh :

 R1 = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,4),(4,1),(4,4)}  tidak transitif
 R2 = {(1,1),(1,2),(2,1)}  tidak transitif
 R3 = {(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(3,3),(4,1),(4,4)}  tidak transitif
 R4 = {(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)}  transitif
6
Simetris
 Contoh :
X = {1,2,3,4}
R = {(1,1),(2,3),(3,2),(4,4)}
(2,3) di R dan (3,2)
di R
10/26/2014
7
Antisimetris

Contoh :
X = {1,2,3,4}
R = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),
(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)}
(2,3)  R tetapi
(3,2)  R
10/26/2014
8
Latihan
Jika diketahui X = {1,2,3,4}
Tentukan relasi berikut memiliki sifat transitif atau tidak
:
1.
R1 = {(1,1),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(4,2)}
2.
R2 = {(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(4,4)}
3.
R3 = {(1,1),(1,3),(2,2),(2,4),(3,1),(3,2)}
4.
R4 = {(1,3),(2,1),(2,3),(3,2),(3,3)}
5.
R5 = {(1,2),(1,4),(2,2),(2,3),(3,4),(3,2),(4,1)}
9
Invers





Misalkan R adalah relasi dari X ke Y maka
invers dari R adalah relasi dari Y ke X
Notasi : R-1
Invers didefinisikan :
R-1 = {(y,x) | (x,y)  R}
Digambarkan relasi ini sebagai “terbagi oleh”
Contoh :
R = {(2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4)}
R-1 = {(4,2), (6,2), (3,3), (6,3), (4,4)}
10
Komposisi (Composite)
Misalkan R1 adalah relasi dari X ke Y dan R2
adalah relasi dari Y ke Z, maka komposisi dari R1
dan R2 adalah relasi dari X ke Z
 Notasi : R2  R1
 Komposisi didefinisikan :

R2  R1 = {(x,z) | (x,y)  R1 dan (y,z) R2 untuk beberapa y  Y}

Contoh :
R1 = {(1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8)}
R2 = {(2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u)}
R2  R1 = {(1,u),(1,t),(2,s),(2,t),(3,s),(3,t),(3,u)}
11
Relasi Keekuivalenan
Misalkan S adalah partisi dari himpunan X.
Definisikan xRy untuk mengartikan bahwa
untuk beberapa himpunan S di S, baik x
maupun y berada di S, maka R refleksif,
simetris dan transitif

Sebuah relasi yang refleksif, simetris dan
transitif pada himpunan X disebut relasi
keekuivalenan pada X (equivalence
relation on X)
12
Relasi Keekuivalenan (Cont.)

Contoh :
S = {{1,3,5},{2,6},{4}}
X = {1,2,3,4,5,6}
R = {(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),(2,2),
(2,6),(6,2),(6,6),(4,4)}

Digraf relasi dari R harus :
 Refleksif :
terdapat sebuah loop pada setiap ujungnya
 Simetris :
untuk setiap rusuk berarah dari v ke w juga terdapat
rusuk berarah dari w ke v
 Transitif :
jika terdapat sebuah rusuk berarah dari x ke y dan
rusuk berarah dari y ke z maka terdapat rusuk berarah
dari x ke z
13
Relasi Keekuivalenan (Cont.)
14
Klosur Relasi

Klosur relasi terjadi jika :
Relasi tidak refleksif menjadi refleksif
 Klosur refleksif (Reflexive Closure)
Relasi tidak simetris menjadi simetris
 Klosur simetris (Symmetric Closure)
Relasi tidak transitif menjadi transitif
Klosur transitif (Transitive Closure)
15
Klosur refleksif (Reflexive Closure)

Klosur refleksif dari R adalah :
R   , dimana  = {(a,a)|a  A}

Contoh :
1. A = {1, 2, 3}
R = {(1,1), (1,3), (2,3), (3,2)}  tidak refleksif
Supaya bersifat refleksif maka  = {(1,1), (2,2), (3,3)}
Sehingga klosur refleksif dari R adalah :
R   = {(1,1), (1,3), (2,3), (3,2)}  (1,1), (2,2), (3,3)}
= {(1,1), (1,3), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3)}
2. R = {(a,b)|a  b} pada himpunan bilangan bulat
Maka klosur refleksif dari R adalah :
R   = {(a,b)|a  b}  {(a,a)|a  Z}
= {(a,b)|a  Z}
16
Klosur Simetris (Symmetric Closure)

Klosur simetris dari R adalah :
R  R-1 , dimana R-1 = {(a,b)| (b,a) a  R}

Contoh :
1. A = {1, 2, 3}
R = {(1,3), (1,2), (2,1), (3,2), (3,3)}
Supaya bersifat simetris maka R-1 = {(3,1), (2,1), (1,2), (2,3), (3,3)}
Sehingga klosur simetris adalah :
R  R-1 = {(1,3), (1,2), (2,1), (3,2), (3,3)}  {(3,1), (2,1), (1,2), (2,3), (3,3)}
= {(1,3), (3,1), (1,2), (2,1), (3,2), (2,3), (3,3)}
2. R = {(a,b)|a habis membagi b} pada himpunan bilangan bulat
Maka klosur simteris dari R adalah :
R  R-1 = {(a,b)|a habis membagi b}  {(b,a)|b habis membagi a}
= {(a,b)|a habis membagi b atau b habis membagi a}
17
REFERENSI

Rinaldi Munir, 2005, “Matematika
diskrit”, INFORMATIKA Bandung
10/26/2014
18