Transcript Poset - TriLiuS SeptAlianA KusuMa rUkmaNa

Disampaikan Oleh :
Malalina
Trilius Septaliana KR
POSET ( Partially Ordered Set )
Himpunan Terurut Parsial
DEFINISI
Suatu relasi biner dinamakan sebagai
suatu relasi pengurutan tak lengkap
atau relasi pengurutan parsial / POSET
(partial ordering relation) jika ia bersifat
refleksif, antisimmetris, dan transitif.
REFLEKSIF
Relasi
R
pada
himpunan
A
disebut
refleksif jika (a, a)  R untuk setiap a  A.
Relasi R pada himpunan A tidak refleksif
jika ada a  A sedemikian sehingga (a, a)
 R.
CONTOH REFLEKSIF
Diketahui A = {-5,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
Suatu relasi R didefinisikan sebagai berikut :
Periksa apakah R refleksif atau tidak.
Penyelesaian
Ambil x = 0. Karena 0.0 = 0, maka
Dengan demikian ada
Ini berarti bahwa R tidak refleksif.
sedemikian hingga
CONTOH REFLEKSIF
Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini
didefinisikan pada himpunan A, maka
a. Relasi R = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2),
(4, 3), (4, 4) }
b. Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) }
Apakah relasi ini refleksif ?
CONTOH REFLEKSIF
Penyelesaian :
a. Relasi bersifat refleksif karena terdapat elemen
relasi yang berbentuk (a, a), yaitu (1, 1), (2, 2),
(3, 3), dan (4, 4).
b. Relasi tidak bersifat refleksif karena (3, 3)  R.
CONTOH REFLEKSIF
Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada
himpunan bilangan bulat positif N.
R : lebih besar dari y
S: x+y=5
T : 3x + y = 10
Penyelesaian :
Tidak satupun dari ketiga relasi di atas yang refleksif
karena, misalkan (2, 2) bukan anggota R, S, maupun T.
SIMMETRIS DAN ANTISIMMETRIS
• Relasi R pada himpunan A disebut SIMETRIS jika (a, b)
 R, maka (b, a)  R untuk a, b  A.
• Relasi R pada himpunan A TIDAK SIMETRIS jika (a, b) 
R sedemikian sehingga (b, a)  R.
• Relasi R pada himpunan A sedemikian sehingga (a, b) 
R dan (b, a)  R hanya jika a = b untuk a, b  A disebut
ANTISIMMETRIS
• Relasi R pada himpunan A TIDAK ANTISIMMETRIS jika
ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a, b)
 R dan (b, a)  R.
CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRIS
Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan
pada himpunan A, maka
a. Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4) }
b. Relasi R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) }
c. Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}
d. Relasi R = {(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2)}
e. Relasi R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3) }
f.
Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 2), (4, 4)}
CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRIS
Penyelesaian :
a. Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4,
2), (4, 4) } bersifat simetris karena jika (a, b) 
R maka (b, a) juga  R. Di sini (1, 2) dan (2, 1)
 R, begitu juga (2, 4) dan (4, 2)  R.
b. Relasi R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak
simetris karena (2, 3)  R, tetapi (3, 2)  R.
CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRIS
c. Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3) } antisimetris
karena 1 = 1 dan (1, 1)  R, 2 = 2 dan (2, 2)  R,
dan 3 = 3 dan (3, 3)  R. Perhatikan bahwa R
juga simetris.
d. Relasi R = {(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2) } tidak
antisimetris, karena 2  4 tetapi (2, 4) dan (4, 2)
anggota R.
CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRIS
e. Relasi R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3) } tidak simetris
dan tidak antisimetris,
f. Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 2),
(4, 4)} tidak simetris dan tidak antisimetris. R
tidak simetris karena (4, 2)  R tetapi (2, 4) 
R. R tidak antisimetris karena (2, 3)  R dan
(3, 2)  R tetap 2  3.
CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRIS
Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada
himpunan bilangan bulat positif N.
R : x lebih besar dari y,
S : x + y = 6,
T : 3x + y = 10
Apakah simmetris atau antisimmetris
CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRIS
Penyelesaian :
- R bukan relasi simetris karena, misalkan 5 lebih besar
dari 3 tetapi 3 tidak lebih besar dari 5.
- S relasi simetris karena (4, 2) dan (2, 4) adalah
anggota S.
- T tidak simetris, karena misalkan (3, 1) adalah anggota
T tetapi (1, 3) bukan anggota T.
- S bukan relasi antisimetris karena, misalkan (4, 2)  S
dan (4, 2)  S tetapi 4  2.
TRANSITIF
Relasi
R
pada
himpunan
A
disebut
TRANSITIF jika (a, b)  R dan (b, c)  R,
maka (a, c)  R, untuk a, b, c  A.
CONTOH TRANSITIF
Diketahui A = {–1, 0, 1} Relasi R didefinisikan sebagai berikut
R = {(x,y); x,y A, x ≤ y}
Periksa apakah R transitif atau tidak.
Penyelesaian
A x A = {(–1,–1), (–1,0), (–1,1), (0, –1), (0, 0), (0,1), (1, –1), (1,0), (1,1)}
Karena R = {(x,y); x,y A, x ≤ y}dan R merupakan himpunan bagian
dari A x A, maka R dapat dinyatakan sebagai berikut
R = {(–1,–1), (–1,0), (–1,1), (0, 0), (0,1), (1, –1)}
Dari sini jelas terlihat bahwa untuk setiap x, y , z  A dengan xRy dan
yRz, maka xRz. Dengan demikian R adalah relasi yang transitif.
CONTOH TRANSITIF
Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah
ini didefinisikan pada himpunan A, maka
a. R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) }
b. R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) }
c. R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)
Apakah R bersifat transitif ?
CONTOH TRANSITIF
Penyelesaian :
a. bersifat transitif. Lihat tabel berikut:
CONTOH TRANSITIF
b. R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak
transitif karena (2, 4) dan (4, 2)  R, tetapi
(2, 2)  R, begitu juga (4, 2) dan (2, 3)  R,
tetapi (4, 3)  R.
c.
Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } jelas
transitif
CONTOH TRANSITIF
Dua buah relasi di bawah ini
menyatakan relasi pada himpunan
bilangan bulat positif N.
R : x lebih besar dari y,
S : x + y = 6,
CONTOH TRANSITIF
Penyelesaian :
- R adalah relasi transitif karena jika x > y
dan y > z maka x > z.
- S tidak transitif, karena misalkan (4, 2) dan
(2, 4) adalah anggota S tetapi (4, 4)  S.
DEFINISI
Misalkan (P, ≤) sebuah poset.
Jika untuk setiap x, y  P,
berlaku x ≤ y atau y ≤ x, maka
(P, ≤) disebut rantai
CONTOH SOAL
Misalkan Z adalah himpunan semua
bilangan bulat positif. Relasi ≤ (kurang
dari atau sama dengan) adalah sebuah
relasi pada Z. periksa apakah
himpunan Z dengan relasi atau
dinotasikan (Z, ≤) merupakan poset
atau bukan?
PENYELESAIAN
1. Karena untuk setiap x  Z berlaku x ≤ x, maka sifat
refleksif terpenuhi.
2. Karena untuk setiap x, y  Z dengan x ≤ y dan y ≤ x,
berarti bahwa x = y, maka sifat antisimetris terpenuhi.
3. Karena untuk setiap a, b, c  Z, dengan a ≤ b, b ≤ c,
berlaku a ≤ c, maka sifat transitif terpenuhi.
Dengan demikian, karena ketiga sifat terpenuhi, maka
(Z, ≤) adalah sebuah poset.
LATIHAN
1. A = {a,b,c,d} dan relasi R didefinisikan pada A
sebagai R = {(a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (a,b), (a,c),
(a,d), (b,d), (b,c) }. Apakah R sebuah poset?
2. Misalakan R adalah himpunan semua bilangan
real. Periksalah apakah (R, ≤) sebuah poset ?