Poset - TriLiuS SeptAlianA KusuMa rUkmaNa
Download
Report
Transcript Poset - TriLiuS SeptAlianA KusuMa rUkmaNa
Disampaikan Oleh :
Malalina
Trilius Septaliana KR
POSET ( Partially Ordered Set )
Himpunan Terurut Parsial
DEFINISI
Suatu relasi biner dinamakan sebagai
suatu relasi pengurutan tak lengkap
atau relasi pengurutan parsial / POSET
(partial ordering relation) jika ia bersifat
refleksif, antisimmetris, dan transitif.
REFLEKSIF
Relasi
R
pada
himpunan
A
disebut
refleksif jika (a, a) R untuk setiap a A.
Relasi R pada himpunan A tidak refleksif
jika ada a A sedemikian sehingga (a, a)
R.
CONTOH REFLEKSIF
Diketahui A = {-5,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
Suatu relasi R didefinisikan sebagai berikut :
Periksa apakah R refleksif atau tidak.
Penyelesaian
Ambil x = 0. Karena 0.0 = 0, maka
Dengan demikian ada
Ini berarti bahwa R tidak refleksif.
sedemikian hingga
CONTOH REFLEKSIF
Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini
didefinisikan pada himpunan A, maka
a. Relasi R = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2),
(4, 3), (4, 4) }
b. Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) }
Apakah relasi ini refleksif ?
CONTOH REFLEKSIF
Penyelesaian :
a. Relasi bersifat refleksif karena terdapat elemen
relasi yang berbentuk (a, a), yaitu (1, 1), (2, 2),
(3, 3), dan (4, 4).
b. Relasi tidak bersifat refleksif karena (3, 3) R.
CONTOH REFLEKSIF
Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada
himpunan bilangan bulat positif N.
R : lebih besar dari y
S: x+y=5
T : 3x + y = 10
Penyelesaian :
Tidak satupun dari ketiga relasi di atas yang refleksif
karena, misalkan (2, 2) bukan anggota R, S, maupun T.
SIMMETRIS DAN ANTISIMMETRIS
• Relasi R pada himpunan A disebut SIMETRIS jika (a, b)
R, maka (b, a) R untuk a, b A.
• Relasi R pada himpunan A TIDAK SIMETRIS jika (a, b)
R sedemikian sehingga (b, a) R.
• Relasi R pada himpunan A sedemikian sehingga (a, b)
R dan (b, a) R hanya jika a = b untuk a, b A disebut
ANTISIMMETRIS
• Relasi R pada himpunan A TIDAK ANTISIMMETRIS jika
ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a, b)
R dan (b, a) R.
CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRIS
Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan
pada himpunan A, maka
a. Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4) }
b. Relasi R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) }
c. Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}
d. Relasi R = {(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2)}
e. Relasi R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3) }
f.
Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 2), (4, 4)}
CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRIS
Penyelesaian :
a. Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4,
2), (4, 4) } bersifat simetris karena jika (a, b)
R maka (b, a) juga R. Di sini (1, 2) dan (2, 1)
R, begitu juga (2, 4) dan (4, 2) R.
b. Relasi R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak
simetris karena (2, 3) R, tetapi (3, 2) R.
CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRIS
c. Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3) } antisimetris
karena 1 = 1 dan (1, 1) R, 2 = 2 dan (2, 2) R,
dan 3 = 3 dan (3, 3) R. Perhatikan bahwa R
juga simetris.
d. Relasi R = {(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2) } tidak
antisimetris, karena 2 4 tetapi (2, 4) dan (4, 2)
anggota R.
CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRIS
e. Relasi R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3) } tidak simetris
dan tidak antisimetris,
f. Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 2),
(4, 4)} tidak simetris dan tidak antisimetris. R
tidak simetris karena (4, 2) R tetapi (2, 4)
R. R tidak antisimetris karena (2, 3) R dan
(3, 2) R tetap 2 3.
CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRIS
Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada
himpunan bilangan bulat positif N.
R : x lebih besar dari y,
S : x + y = 6,
T : 3x + y = 10
Apakah simmetris atau antisimmetris
CONTOH SIMETRISS DAN ANTISIMMETRIS
Penyelesaian :
- R bukan relasi simetris karena, misalkan 5 lebih besar
dari 3 tetapi 3 tidak lebih besar dari 5.
- S relasi simetris karena (4, 2) dan (2, 4) adalah
anggota S.
- T tidak simetris, karena misalkan (3, 1) adalah anggota
T tetapi (1, 3) bukan anggota T.
- S bukan relasi antisimetris karena, misalkan (4, 2) S
dan (4, 2) S tetapi 4 2.
TRANSITIF
Relasi
R
pada
himpunan
A
disebut
TRANSITIF jika (a, b) R dan (b, c) R,
maka (a, c) R, untuk a, b, c A.
CONTOH TRANSITIF
Diketahui A = {–1, 0, 1} Relasi R didefinisikan sebagai berikut
R = {(x,y); x,y A, x ≤ y}
Periksa apakah R transitif atau tidak.
Penyelesaian
A x A = {(–1,–1), (–1,0), (–1,1), (0, –1), (0, 0), (0,1), (1, –1), (1,0), (1,1)}
Karena R = {(x,y); x,y A, x ≤ y}dan R merupakan himpunan bagian
dari A x A, maka R dapat dinyatakan sebagai berikut
R = {(–1,–1), (–1,0), (–1,1), (0, 0), (0,1), (1, –1)}
Dari sini jelas terlihat bahwa untuk setiap x, y , z A dengan xRy dan
yRz, maka xRz. Dengan demikian R adalah relasi yang transitif.
CONTOH TRANSITIF
Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah
ini didefinisikan pada himpunan A, maka
a. R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) }
b. R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) }
c. R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)
Apakah R bersifat transitif ?
CONTOH TRANSITIF
Penyelesaian :
a. bersifat transitif. Lihat tabel berikut:
CONTOH TRANSITIF
b. R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak
transitif karena (2, 4) dan (4, 2) R, tetapi
(2, 2) R, begitu juga (4, 2) dan (2, 3) R,
tetapi (4, 3) R.
c.
Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } jelas
transitif
CONTOH TRANSITIF
Dua buah relasi di bawah ini
menyatakan relasi pada himpunan
bilangan bulat positif N.
R : x lebih besar dari y,
S : x + y = 6,
CONTOH TRANSITIF
Penyelesaian :
- R adalah relasi transitif karena jika x > y
dan y > z maka x > z.
- S tidak transitif, karena misalkan (4, 2) dan
(2, 4) adalah anggota S tetapi (4, 4) S.
DEFINISI
Misalkan (P, ≤) sebuah poset.
Jika untuk setiap x, y P,
berlaku x ≤ y atau y ≤ x, maka
(P, ≤) disebut rantai
CONTOH SOAL
Misalkan Z adalah himpunan semua
bilangan bulat positif. Relasi ≤ (kurang
dari atau sama dengan) adalah sebuah
relasi pada Z. periksa apakah
himpunan Z dengan relasi atau
dinotasikan (Z, ≤) merupakan poset
atau bukan?
PENYELESAIAN
1. Karena untuk setiap x Z berlaku x ≤ x, maka sifat
refleksif terpenuhi.
2. Karena untuk setiap x, y Z dengan x ≤ y dan y ≤ x,
berarti bahwa x = y, maka sifat antisimetris terpenuhi.
3. Karena untuk setiap a, b, c Z, dengan a ≤ b, b ≤ c,
berlaku a ≤ c, maka sifat transitif terpenuhi.
Dengan demikian, karena ketiga sifat terpenuhi, maka
(Z, ≤) adalah sebuah poset.
LATIHAN
1. A = {a,b,c,d} dan relasi R didefinisikan pada A
sebagai R = {(a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (a,b), (a,c),
(a,d), (b,d), (b,c) }. Apakah R sebuah poset?
2. Misalakan R adalah himpunan semua bilangan
real. Periksalah apakah (R, ≤) sebuah poset ?