Transcript R - Erwin Sitompul

Kuliah 5
3. MATRIKS, RELASI, DAN FUNGSI
Matematika Diskrit
Dr.-Ing. Erwin Sitompul
http://zitompul.wordpress.com
Pekerjaan Rumah (PR 4)
Buktikan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B
berlaku:
a) A  (A  B) = A  B
b) A  (A  B) = A  B
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
5/2
Solusi Pekerjaan Rumah (PR 4)
Solusi:
a)
b)
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
5/3
Matriks
 Matrix adalah susunan elemen-elemen skalar dalam bentuk
baris dan kolom.
 Ukuran suatu matriks A dinyatakan dengan jumlah baris m
dan jumlah kolom n, (m,n).
 a11 a12
a
a22
21

A


 am1 am 2
a1n 
a2 n 


amn 
 Matriks bujursangkar adalah matriks yang berukuran nn.
 Contoh matriks, yang berukuran 34, adalah:
2 5 0 6
A  8 7 5 4 
 3 1 1 8 
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
5/4
Matriks
 Matrix simetri adalah matriks dengan aij = aji untuk setiap i
dan j.
2
6
A
6

 4
6 4 
7 3 
0 2

2 8
6
3
7
3
 Matriks zero-one (0/1) adalah matriks yang setiap
elemennya hanya bernilai 0 atau 1.
0
0
A
0

1
1
1
0
0
Erwin Sitompul
1
1
0
0
0
1 
0

1
Matematika Diskrit
5/5
Relasi
 Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan
bagian (improper subset) dari A  B.
 Notasi: R  (A  B)
 a R b adalah notasi untuk (a,b)  R, yang artinya relasi R
menghubungkan a dengan b.
 a R b adalah notasi untuk (a,b)  R, yang artinya relasi R
tidak menghubungkan a dengan b.
 Himpunan A adalah daerah asal (domain) dari R.
Himpunan B adalah daerah hasil (range) dari R.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
5/6
Relasi
Contoh:
Misalkan
A = { Amir, Budi, Cora }
B = { Discrete Mathematics (DM), Data Structure and Algorithm
(DSA), State Philosophy (SP), English III (E3) }
AB = { (Amir,DM), (Amir, DSA), (Amir,SP), (Amir,E3),
(Budi,DM), (Budi, DSA), (Budi,SP), (Budi,E3),
(Cora,DM), (Cora, DSA), (Cora,SP), (Cora,E3) }
Misalkan R adalah relasi yang menyatakan mata kuliah yang
diambil oleh mahasiswa IT pada semester Mei-Agustus, yaitu:
R = { (Amir,DM), (Amir, SP), (Budi,DM), (Budi,E3),
(Cora,SP) }
Dapat dilihat bahwa:
 R  (A  B)
 A adalah daerah asal R, B adalah daerah hasil R
 (Amir,DM)  R atau Amir R DM
 (Amir,DSA)  R atau Amir R DSA
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
5/7
Relasi
Contoh:
Misalkan
P = { 2,3,4 }
Q = { 2,4,8,9,15 }
Jika didefinisikan relasi R dari P ke Q dengan:
(p,q)  R jika p habis membagi q,
maka akan diperoleh:
R = { (2,2),(2,4),(2,8),(3,9),(3,15),(4,4),(4,8) }.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
5/8
Relasi
 Relasi pada satu himpunan adalah suatu relasi yang khusus.
 Relasi pada himpunan A adalah relasi dari A  A.
 Relasi pada himpunan A adalah himpunan bagian dari A  A.
Contoh:
Misalkan R adalah relasi pada A = { 2,3,4,8,9 } yang
didefinisikan oleh (x,y)  R jika x adalah faktor prima dari y,
maka akan diperoleh:
R = { (2,2),(2,4),(2,8),(3,3),(3,9) }.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
5/9
Representasi Relasi
1. Representasi dengan Diagram Panah
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
5/10
Representasi Relasi
2. Representasi dengan Tabel
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
5/11
Representasi Relasi
3. Representasi dengan Matriks
 Misalkan R adalah relasi dari A = { a1,a2, …,am } dan
B = { b1,b2, …,bn }.
 Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [mij]
b1 b2
a1  m11 m12
a2  m21 m22
M


am  mm1 mm 2
bn
m1n 
m2 n 


mmn 
dimana:
1, ( ai , b j )  R
mij  
0, (ai , b j )  R
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
5/12
Representasi Relasi
M A B
1 0 1 0 
 1 0 0 1 
0 0 1 0 
M PQ
1 1 1 0 0 
p1 = 2, p2 = 3, p3 = 4, dan


 0 0 0 1 1  q = 2, q = 4, q = 8, q = 9, q = 15
1
2
3
4
5
0 1 1 0 0 
M A A
1
0

 0

0
0
Erwin Sitompul
a1 = Amir, a2 = Budi, a3 = Cora, dan
b1 = DM, b2 = DSA, b3 = SP, dan b4 = E3
0 1 1 0
1 0 0 1 
0 0 0 0  a1 = 2, a2 = 3, a3 = 4, a4 = 8, a5 = 9

0 0 0 0
0 0 0 0 
Matematika Diskrit
5/13
Representasi Relasi
4. Representasi dengan Graf (Graph) Berarah
 Relasi pada satu himpunan dapat direpresentasikan secara
grafis dengan graf berarah (directed graph atau digraph).
 Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan
relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain.
 Tiap anggota himpunan dinyatakan dengan sebuah simpul
(vertex), dan tiap relasi dinyatakan dengan busur (arc).
 Jika (a,b)  R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke
simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan
simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex).
 Pasangan relasi (a,a) dinyatakan dengan busur dari simpul
a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut gelang
(loop).
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
5/14
Representasi Relasi
Contoh:
Misalkan R = { (a,a),(a,b),(b,a),(b,c),(b,d),(c,a),(c,d),(d,b) }
adalah relasi pada himpunan { a,b,c,d },
maka R dapat direpresentasikan dengan graf berarah sbb:
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
5/15
Relasi Biner
 Relasi-relasi pada satu himpunan disebut juga relasi biner.
 Relasi biner memiliki sifat-sifat:
1.Refleksif (reflexive)
2.Menghantar (transitive)
3.Simetris (symmetric) dan anti simetris (antisymmetric)
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
5/16
Relasi Biner
1. Refleksif (Reflexive)
 Relasi R pada himpunan A disebut refleksif
jika (a,a)  R untuk setiap a  A.
 Relasi R pada himpunan A tidak refleksif
jika ada a  A sedemikian sehingga (a,a)  R.
Contoh:
Misalkan A = { 1,2,3,4 }, dan relasi R di bawah ini didefinisikan
pada himpunan A, maka:
(a) Relasi R = { (1,1),(1,3),(2,1),(2,2),(3,3),(4,2),(4,3),(4,4) }
bersifat refleksif karena terdapat anggota relasi yang
berbentuk (a,a) untuk tiap a yang mungkin, yaitu
(1,1), (2,2), (3,3), dan (4,4).
(b) Relasi R = { (1,1),(2,2),(2,3),(4,2),(4,3),(4,4) }
tidak refleksif karena (3,3)  R.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
5/17
Relasi Biner
Contoh:
Diberikan relasi “habis membagi” untuk himpunan bilangan
bulat positif. Apakah relasi ini bersifat refleksif atau tidak?
Setiap bilangan bulat positif habis dibagi dengan dirinya
sendiri  (a,a)  R untuk setiap a  A
 relasi bersifat refleksif
Contoh:
Diberikan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N:
S : x + y = 4,
T : 3x + y = 10
Apakah relasi ini bersifat refleksif atau tidak?
S tidak refleksif, karena walaupun (2,2) adalah anggota S,
ada (a,a)  S untuk a  N, seperti (1,1), (3,3).
T tidak refleksif karena bahkan tidak ada satu pun (a,a)  T
yang memenuhi relasi tersebut.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
5/18
Relasi Biner
 Relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks yang
elemen diagonal utamanya semua bernilai 1, atau mii = 1,
untuk i = 1, 2, …, n.
 Graf berarah dari relasi yang bersifat refleksif dicirikan
dengan adanya gelang pada setiap simpulnya.
1
 1





Erwin Sitompul





1 
1
Matematika Diskrit
5/19
Relasi Biner
2. Menghantar (Transitive)
 Relasi R pada himpunan A disebut menghantar
jika (a,b)  R dan (b,c)  R,
maka (a,c)  R untuk semua a, b, c  A.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
5/20
Relasi Biner
Contoh:
Misalkan A = { 1, 2, 3, 4 }, dan relasi R di bawah ini
didefinisikan pada himpunan A, maka:
(a) R = { (2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3) }
bersifat menghantar.
(b) R = { (1,1),(2,3),(2,4),(4,2) }
tidak manghantar karena (2,4) dan
(4,2)  R, tetapi (2,2)  R, juga (4,2)
dan (2,3)  R, tetapi (4,3)  R.
(c) R = { (1, 2), (3, 4) }
bersifat menghantar karena tidak ada pelanggaran untuk
aturan { (a,b)  R dan (b,c)  R }  (a,c)  R.
Relasi yang hanya berisi satu elemen seperti
R = { (4,5) } selalu menghantar.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
5/21
Relasi Biner
Contoh:
Apakah relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan
bulat positif bersifat menghantar atau tidak?
Bersifat menghantar.
Misalkan bahwa a habis membagi b dan b habis membagi c,
maka pasti a habis membagi c.
{aRb  bRc}  aRc
Contoh:
Diberikan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N:
S : x + y = 4,
T : 3x + y = 10
Apakah relasi ini bersifat menghantar atau tidak?
S tidak menghantar, karena misalkan (3,1) dan (1,3) adalah
anggota S, tetapi (3,3) dan (1,1) bukan anggota S.
T = { (1,7),(2,4),(3,1) }  tidak menghantar karena (3,7)  R.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
5/22
Relasi Biner
3. Simetris (Symmetric) dan Anti Simetris
(Antisymmetric)
 Relasi R pada himpunan A disebut
simetris jika (a,b)  R, maka (b,a)  R
untuk semua a,b  A.
 Relasi R pada himpunan A tidak simetris
jika (a,b)  R sedemikian sehingga
(b,a)  R.
Relasi Simetris
 Relasi R pada himpunan A sedemikian sehingga (a,b)  R dan
(b,a)  R hanya jika a = b untuk
a,b  A disebut anti simetris.
 Relasi R pada himpunan A tidak anti
simetris jika ada elemen berbeda a dan b
sedemikian sehingga (a,b)  R dan
(b,a)  R.
Erwin Sitompul
Relasi Anti
Simetris
Matematika Diskrit
5/23
Relasi Biner
Contoh:
Misalkan A = { 1,2,3,4 }, dan relasi R di bawah ini didefinisikan
pada himpunan A, maka:
(a) R = { (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4) }
bersifat simetris,
karena jika (a,b)  R maka juga (b,a)  R.
Disini, (1,2) dan (2,1)  R, begitu juga (2,4) dan (4,2)  R.
bersifat tidak anti simetris,
karena misalnya (1,2)  R dan (2,1)  R padahal 1  2.
(b) R = { (1,1),(2,3),(2,4),(4,2) }
bersifat tidak simetris,
karena (2,3)  R, tetapi (3,2)  R.
bersifat tidak anti simetris,
karena terdapat (2,4)  R dan (4,2)  R padahal 2  4.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
5/24
Relasi Biner
Contoh:
Misalkan A = { 1,2,3,4 }, dan relasi R di bawah ini didefinisikan
pada himpunan A, maka:
(c) R = { (1,1),(2,2),(3,3) }
bersifat simetris dan anti simetris,
karena (1,1)  R dan 1 = 1, (2,2)  R dan 2 = 2,
dan (3,3)  R dan 3 = 3.
(d) R = { (1,1),(1,2),(2,2),(2,3) }
bersifat tidak simetris,
karena (2,3)  R, tetapi (3,2)  R.
bersifat anti simetris,
karena (1,1)  R dan 1 = 1 dan, (2,2)  R dan 2 = 2.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
5/25
Relasi Biner
Contoh:
Misalkan A = { 1,2,3,4 }, dan relasi R di bawah ini didefinisikan
pada himpunan A, maka:
(e) R = { (1,1),(2,4),(3,3),(4,2) }
bersifat simetris.
bersifat tidak anti simetris,
karena terdapat (2,4) dan (4,2) pada R padahal 2  4.
(f) R = { (1,2),(2,3),(1,3) }
bersifat tidak simetris.
bersifat anti simetris,
karena tidak ada elemen berbeda a dan b sedemikian
sehingga (a,b)  R dan (b,a)  R.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
5/26
Relasi Biner
Relasi R = { (1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(4,2),(4,4)} tidak
simetris dan tidak anti simetris.
R tidak simetris,
karena (4,2)  R tetapi (2,4)  R.
R tidak anti simetris,
karena (2,3)  R dan (3,2)  R tetapi 2  3.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
5/27
Relasi Biner
Contoh:
Apakah relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat
positif bersifat simetris? Anti simetris?
Bersifat tidak simetris,
karena jika a habis membagi b, maka b tidak habis membagi
a, kecuali jika a = b. Contohnya, 2 habis membagi 4, tetapi 4
tidak habis membagi 2. Karena itu, (2,4)  R tetapi (4,2)  R.
Bersifat anti simetris,
karena jika a habis membagi b, dan b habis membagi a, maka
hanya berlaku untuk a = b. Contohnya, 3 habis membagi 3,
maka (3,3)  R dan 3 = 3.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
5/28
Relasi Biner
Contoh:
Diberikan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N:
S : x + y = 4,
T : 3x + y = 10
Apakah relasi ini bersifat simetris? Anti simetris?
S bersifat simetris, karena misalkan (3,1) dan (1,3) adalah
anggota S.
S bersifat tidak anti simetris, karena walaupun terdapat
(2,2)  R, terdapat pula { (3,1),(1,3) }  R padahal 3  1.
T = { (1,7),(2,4),(3,1) }  tidak simetris.
T = { (1,7),(2,4),(3,1) }  anti simetris.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
5/29
Inversi Relasi
Misalkan
R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B,
maka Inversi dari relasi R, dilambangkan dengan R–1,
adalah relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh:
R–1 = { (b,a) | (a,b)  R }.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
5/30
Inversi Relasi
Contoh:
Misalkan
P = { 2,3,4 }
R = { 2,4,8,9,15 }.
Jika didefinisikan relasi R dari P ke Q dengan:
(p,q)  R jika p habis membagi q,
maka akan diperoleh:
R = { (2,2),(2,4),(2,8),(3,9),(3,15),(4,4),(4,8) }.
R–1 adalah inversi dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P
dengan:
(q,p)  R–1 jika q adalah kelipatan dari p.
Maka akan diperoleh:
R–1 = { (2,2),(4,2),(8,2),(9,3),(15,3),(4,4),(8,4) }.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
5/31
Inversi Relasi
Jika M adalah matriks yang merepresentasikan R,
M PQ
1 1 1 0 0 
 0 0 0 1 1 
0 1 1 0 0 
maka matriks yang merepresentasikan R–1, misalkan N,
adalah transpose dari matriks M.
N Q P   M PQ 
Erwin Sitompul
T
1
1

 1

0
 0
0 0
0 1 
0 1

1 0
1 0 
N = MT berarti bahwa barisbaris dari M menjadi kolomkolom dari N
Matematika Diskrit
5/32
Pekerjaan Rumah (PR5)
No.1:
Untuk tiap-tiap relasi berikut pada himpunan A = { 1,2,3,4 },
tentukanlah apakah relasi tersebut refleksif, apakah
menghantar, apakah simetris, dan apakah anti simetris:
(a) R = { (2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4) }
(b) S = { (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,4) }
(c) T = { (1,2),(2,3),(3,4) }
No.2:
Representasikan relasi R, S, dan T dengan menggunakan
matriks dan graf berarah.
Erwin Sitompul
Matematika Diskrit
5/33