Transcript Навчальна презентація до уроку

Профільна інформатика
11 клас. АТП
Основи теорії графів
Тема: Основні поняття теорії графів. Способи представлення графів.
Пошук у ширину та глибину.
Способи представлення графів
Узагальнююче повторення
Теорія графів — це розділ дискретної математики,
особливістю якого є геометричний підхід до вивчення
об'єктів. Основне поняття теорії — граф. Поняття графа
опирається на основні поняття теорії множин, тому що
граф можна розглядати як об'єкт, що складається із двох
множин — множини крапок (вершин) X і множини ліній
(ребер) W, які з'єднують деякі вершини, кожне ребро
являє собою неупорядковану пару вершин із множини X.
При цьому зовсім несуттєво, чи з'єднані вершини графа
відрізками прямих ліній або криволінійних дуг, яка
довжина ліній, як розташовані вершини графа на
площини й інші геометричні характеристики графа.
Останнім часом графи і пов’язані з ними методи
досліджень використовуються практично в усіх розділах
сучасної математики і, зокрема, дискретної математики.
Узагальнююче повторення
Граф є математичною моделлю найрізноманітніших об’єктів, явищ і
процесів, що досліджуються і використовуються в науці, техніці та на
практиці. Коротко опишемо найвідоміші застосування теорії графів.
Наприклад, у вигляді графа можуть бути зображені:
 електричні і транспортні мережі;
 інформаційні і комп’ютерні мережі;
 карти автомобільних, залізничних і повітряних шляхів, газо- і
нафтопроводів;
 моделі кристалів;
 структури молекул хімічних речовин;
 моделі ігор;
 різні математичні об’єкти (відношення, частково впорядковані
множини, решітки, автомати, ланцюги Маркова, алгоритми і програми
тощо);
 лабіринти;
 плани діяльності або плани виконання певних робіт (розклади);
 генеалогічні дерева тощо.
Узагальнююче повторення
Приклади застосування теорії графів:
 пошук зв’язних компонентів у комунікаційних мережах;
 пошук найкоротших, “найдешевших” та “найдорожчих” шляхів у
комунікаційних мережах;
 побудова кістякового дерева: зв’язність з найменшою можливою
кількістю ребер;
 пошук максимальної течії для транспортної мережі, в якій визначено
вхідні та вихідні вершини та пропускні спроможності ребер;
 ізоморфізм графів: ідентичність структур молекул (ізометрія);
 знаходження циклів графів:
 гамільтонів цикл: обійти всі вершини графа, побувавши в кожній з них
лише один раз (задача комівояжера);
 ейлерів цикл: обійти всі ребра (контроль дієздатності мережі);
 розфарбування графів: розфарбування географічних карт, укладання
розкладів, розміщення ресурсів тощо;
 планарність графів: проектування друкованих електронних та
електричних схем, транспортних розв’язок тощо;
 знаходження центрів графа: вершин, максимальна відстань від яких до
всіх інших вершин графа є мінімальною (“столиць”).
Ейлеровий граф
Ейлеровий граф — це граф, який містить ейлеровий
цикл (замкнений ланцюг, що містить всі вершини та всі
ребра). Ейлеровий граф має бути зв’язним.
Для зв’язного графа G еквівалентними є такі
твердження:
 G — ейлеровий граф;
 кожна вершина G має парний степінь;
 множину ребер графа G можна розділити на прості
цикли.
Дерева
Існує один дуже простий і важливий тип графів,
якому різні автори дали однакову назву, це — дерева.
Дерева важливі не лише тому, що вони
застосовуються в різних галузях знань, а й з огляду на
особливе місце їх у самій теорії графів. Останнє
зумовлено простотою дерев.
Часто при розв’язанні задачі про графи її спочатку
досліджують на деревах.
1. Яка кількість математичних характеристик визначає граф?
а) 0;
б) 1;
в) 2;
г) точної кількості не існує.
2. Виберіть неправильне твердження:
а) дві суміжні вершини інциденті одному ребру;
б) два суміжні ребра інциденті одній вершині;
в) ребро, інцидентне деякій вершині, має суміжне ребро;
г) вершина, інцидентна деякому ребру, має суміжну вершину.
3. Виберіть правильне твердження:
а) граф — це графічне зображення відношень на множині;
б) ізоморфізм графів є відношенням еквівалентності;
в) лише скінченні графи можна пронумерувати;
г) графи можуть мати лише графічне зображення.
4. Нехай  означає напрямок від загальнішого поняття до
менш загального (наприклад, людина  чоловік).
Виберіть з нижченаведених варіантів правильний:
а) маршрут  ланцюг  цикл  простий цикл;
б) маршрут  цикл  ланцюг  простий ланцюг;
в) маршрут  ланцюг  простий ланцюг  цикл;
г ) маршрут  цикл  простий цикл  ланцюг.
5. Які з наведених понять не стосуються безпосередньо
орграфів?
а) шлях;
б) сильна зв’язність;
в) симетрична пара;
г) показник всесуміжності;
д) остов;
е) всі стосуються.
Способи подання графів
Матриця інцидентності. Це прямокутна матриця
розмірності n * m, де n – кількість вершин, а m кількість ребер.
Матриця суміжностей. Це квадратна матриця
розмірності n * n, де n – кількість вершин.
Список суміжності (інцидентності). Являє собою
структуру даних, яка для кожної вершини графа
зберігає список суміжних з нею вершин. Список
являє собою масив покажчиків, i-ий елемент якого
містить вказівник на список вершин, суміжних з iою вершиною.
Список списків. Являє собою деревоподібну
структуру даних, в якій одна гілка містить списки
вершин, суміжних для кожної.
Представлення графів
Ми розглядали графічне
представлення графів. А як
бути при складанні
алгоритмів роботи з
графами?
Вважається, що граф
однозначно заданий, якщо
задані множини його
вершин та ребер і вказані
всі зв'язки цих елементів
графа (тобто відомо, які
вершини і якими ребрами
з'єднанні).
Найпоширеніші способи
представлення графів
Задання матриці
суміжності
Списки суміжних
вершин
Помічений граф та його матриця суміжностей
На рис. показані помічений граф G та його матриця
суміжностей А. Легко помітити, що суми елементів
матриці за стовпцями дорівнюють степеням відповідних
вершин графа G. Взагалі, завдяки відповідності між
графами та матрицями будь-яке поняття теорії графів
можна зіставити з деяким аналогом, пов’язаним з
матрицею суміжностей.
1
1. Перший спосіб передбачає задання матриці
суміжності, яка для графа з n вершинами
представляється двовимірним масивом n*n.
Якщо матриця суміжності представляє неорієнтований
незважений граф (а), то за наявності вершин I та j відповідні
елементи матриці дорівнюють 1, тобто a[i,j]=a[j,i]=1, а у разі
відсутності ребра між вершинами i та j – 0, тобто a[i,j]=a[j,i]=0
(б). Для неорієнтованого графа матриця симетрична, значення
діагональних елементів дорівнюють 0 (оскільки у графі
відсутні петлі)
В матриці суміжності зваженого графа можлива
відсутність симетричності.
Особливістю незваженого орграфа, у якому присутні
ребра-петлі, є те, що для відповідних вершин
діагональні елементи матриці суміжності не
дорівнюють 0.
У випадку зваженого графа елементи матриці
суміжності a[i,j], що відповідає такому графу,
збігатимуться зі значеннями “ваги” ребер між
вершинами i та j.
Другий спосіб представлення графа є списки
суміжних вершин.
У цьому разі для кожної вершини записується список
суміжних вершин, який у довільному порядку містить
усі суміжні з нею вершини. Графам, зображеним на
розглянутих малюнках (а) відповідають списки
суміжних вершин, зображених на малюнках (в).
Подання графа за допомогою списку суміжних вершин
забезпечує більш компактне подання розріджених
графів. Представлення за допомогою матриці
суміжностей краще у разі щільних графів або коли
необхідна можливість швидко визначити, чи існує ребро,
що з'єднує дві даних вершини.
Наприклад:
Подання у вигляді списку суміжних вершин для
наведеного прикладу виглядає таким чином:
1|2 5
2| 1 345
3|24
4|235
5|124
Для кожної вершини u із V список містить всі вершини v, такі що (u,
v) належать Е, тобто список складається з усіх вершин, суміжних з u.
Вершини у кожному списку зазвичай зберігаються в довільному
порядку. Як для орієнтованих, так і для неорієнтованих графів
представлення у вигляді списків вимагає обсяг пам'яті, рівний O (V + E).
Представлення у вигляді матриці суміжностей:
01001
10111
01010
01101
11010
Передбачається, що вершини пронумеровані в певному порядку 1,
2,..., V. У такому разі подання графа являє собою матрицю розміром VxV,
що таку:
 A [i,j] = 1 - якщо є ребро від i до j (або навпаки, якщо не орієнтований
граф).
 A [i,j] = 0 в іншому випадку.
Способи подання графа в пам'яті
Вибір структури даних для зберігання графа в пам'яті має
принципове значення при розробці ефективних алгоритмів.
При подальшому будемо припускати, що вершини графа
пронумеровані від 1 до N, а ребра - від 1 до M. Кожному ребру і
кожній вершині зіставлена вага - ціле додатне число.
Для кожного способу зберігання будемо визначати
просторову складність і часову складність наступних операцій:
 перевірка суміжностей вершин x і y;
 перерахування всіх вершин суміжних з x;
 визначення ваги ребра (x, y);
 визначення ваги вершини x;
 перерахування всіх ребер (x, y);
 перерахування ребер, інцидентних вершині x;
 перерахування вершин, інцидентних ребру s.
Матриця суміжностей це двовимірний
масив розміром N*N:
Операції над матрицями суміжностей
Перевірка суміжності вершин x і y
Перерахування всіх вершин суміжних з x
Визначення ваги ребра (x, y)
Визначення ваги вершини x
Перерахування всіх ребер (x, y)
Перерахування ребер, інцидентних вершині x
Перерахування вершин, інцидентних ребру s
Списки суміжних
Списки суміжних це одновимірний масив розміром N,
що містить список вершин суміжних з даною.
Зберігання списків в динамічній пам'яті дозволяє
скоротити обсяг затраченої пам'яті, оскільки в цьому
випадку не буде резервуватися місце під N сусідів для
кожної вершини.
Цей спосіб зберігання краще всіх інших підходить для
операції «перерахування всіх вершин суміжних з x»
Типи задач
Під час дослідження задач, що пов'язані з обробкою
інформації, яку можна представити у вигляді графів,
постає питання пошуку:
пошук шляху від однієї заданої вершини до іншої :
• пошук у ширину,
• пошук у довжину
тощо.
Завдання 1
Розробити і реалізувати у вигляді програми
алгоритм, який за заданими вхідними даними, що
описують деякий граф (кількість вершин,
кількість ребер і пар вершин, які задають ці
ребра), створює відповідну матрицю суміжності.
Завдання 2
Виконати завдання 1 для неорієнтованого
незваженого графа, що немає петель та з
кількістю вершин N=5, вивівши результат
виконання програми.
Завдання 3
Виконати завдання 1 для орієнтованого
незваженого графа, що немає петель та з
кількістю вершин N=5, вивівши результат
виконання програми.
Завдання 4
Виконати завдання 1 для неорієнтованого
зваженого графа, що немає петель та з кількістю
вершин N=5, вивівши результат виконання
програми.
Завдання 5
Виконати завдання 1 для орієнтованого
зваженого графа, що немає петель та з кількістю
вершин N=5, вивівши результат виконання
програми.