Transcript Презентация

Работу выполнил:
Субботин Антон
Ученик 10 класса
МБОУ «Тирянская СОШ»
Цель исследовательской работы
 Объект исследования: тригонометрия и
тригонометрические уравнения.
 Предмет исследования: практическое применение
тригонометрии .
 Цель исследования: установить картину
возникновения понятий тригонометрии и
выявить примеры применения.
История возникновения
тригонометрии
 Слово «тригонометрия» впервые встречается в 1505 г. в
заглавии книги немецкого теолога и математика
Бартоломеуса Питискуса (Bartholomäus Pitiscus, 1561—
1613), а сама наука ещё в глубокой древности
использовалась для расчётов в астрономии, геодезии и
архитектуре.
 Происхождение этого слова греческое: τρίγωνον —
треугольник, μετρεω — мера. Иными словами,
тригонометрия — наука об измерениях треугольников.
Возникновение тригонометрии связано с
землемерением, астрономией и строительным делом.
Хотя название возникло сравнительно недавно, многие
относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты
были известны уже 2000 лет назад
Синус
 Длительную историю имеет понятие синуса.
Фактически различные отношения отрезков
треугольника и окружности (а по существу, и
тригонометрические функции) встречаются уже в 3 в.
до н.э. в работах великих математиков Древней Греции
— Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского. В
римский период эти отношения уже достаточно
систематично исследовались Менелаем (I в. н. э.), хотя
и не приобрели специального названия. Современный
синус угла α, например, изучается как полухорда, на
которую опирается центральный угол величиной α,
или как хорда удвоенной дуги.
Косинус
 Слово косинус намного моложе. Косинус — это
сокращение латинского выражения
complementlysinus, т.е. «дополнительный синус»
(или иначе «синус дополнительной дуги»;
вспомните cosα= sin( 90° - a)).
Тангенс
 Тангенсы возникли в связи с решением задачи об
определении длины тени. Тангенс (а также котангенс)
введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой,
который составил и первые таблицы для нахождения
тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время
оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы
были заново открыты лишь в XIV веке немецким
математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он
доказал теорему тангенсов. Региомонтан составил также
подробные тригонометрические таблицы.
 Название «тангенс», происходящее от латинского tanger
(касаться), появилось в 1583 г. Tangens переводится как
«касающийся» (линия тангенсов – касательная к единичной
окружности).
Тригонометрические уравнения





Простейшие тригонометрические уравнения.
Схема решения тригонометрических уравнений.
Введение вспомогательного аргумента.
Универсальная тригонометрическая подстановка.
Решение тригонометрических уравнений с помощью
формул.
 Решение тригонометрических уравнений с помощью
разложения на множители .
 Решение однородных тригонометрических уравнений.
 Решение нестандартных тригонометрических
уравнений.
Простейшие тригонометрические
уравнения
 Простейшие тригонометрические уравнения - это
уравнения вида f(kx + b) = a , где f - одна из
тригонометрических функций: sinx, cosx, tgx.
Элементарные тригонометрические уравнения
имеют бесконечно много корней.
Схема решения
тригонометрических уравнений
 Решение заданного уравнения сводится к
решению элементарных уравнений. Средства
решения - преобразования, разложения на
множители, замена неизвестных.
 Ведущий принцип: не терять корней.
Введение вспомогательного
аргумента
cos  =
a
a b
2
2
sin  =
b
a b
2
2
Универсальная
тригонометрическая подстановка
2 tg
x
1  tg
2
sin x =
1  tg
2
x
2
,
2
x
2
2 ,
x
cos x =
1  tg
2
Решение тригонометрических
уравнений с помощью формул
 Уравнения, сводящиеся к квадратным.
 Уравнения, допускающие понижение степени с
помощью формул:
cos2α =2cos2α – 1 и cos2α =1-2sin2α
Разложение на множители
sin2x+cosx=0
2sinxcosx+cosx=0
cosx (2sinx+1) =0
cosx=0 или sinx=1/2
x1 

2
 2 n , n  Z
x 2   1
n

6
 n, n  Z
Решение однородных
тригонометрических уравнений
 Однородные уравнения – это тригонометрические
уравнения, содержащие квадраты синуса, косинуса
и произведение синуса на косинус.
 Их решение основано на том, что синус и косинус
одновременно не могут равняться нулю.
 Делим обе части уравнения на квадрат косинуса. В
результате получаем квадратное уравнение
относительно тангенса.
Практические применения
тригонометрии
 Тригонометрические вычисления применяются практически во
всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Большое
значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять
расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами
в географии, контролировать системы навигации спутников.
Также следует отметить применение тригонометрии в таких
областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ
финансовых рынков, электроника, теория вероятностей,
статистика, медицина (включая ультразвуковое исследование
(УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия,
теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология,
метеорология, океанология, картография, многие разделы
физики, топография и геодезия, архитектура, экономика,
электронная техника, машиностроение, компьютерная графика,
кристаллография.
Заключение
 Я подробнее узнал об истории возникновения
тригонометрии.
 Систематизировал методы решения
тригонометрических уравнений.
 Узнал о применениях тригонометрии в
архитектуре, биологии, медицине.