「鋼材加熱炉の装入スケジューリングと燃焼制御の同時最適化」(2011.05
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Transcript 「鋼材加熱炉の装入スケジューリングと燃焼制御の同時最適化」(2011.05
慶應義塾大学 理工学部
管理工学科4年 曹研究室
60803571
遠藤 健司
論文「鋼材加熱炉の装入スケジューリン
グと燃焼制御同時最適化」
鉄と鋼 Vol.96 (2010) No.7
藤井奨、裏山晃史、加嶋健司、今村順一、黒
川哲明、足立修一
1.
2.
3.
4.
5.
はじめに
鋼材加熱炉モデリング
提案モデリング:炉帯ベースモデリング
連続加熱炉3基のコフィン型装入計画・
燃焼制御の同時最適化
おわりに
燃焼制御系
炉帯温度、鋼材温度、投入燃料
連続値
スラブ装入スケジューリング
スラブの装入順
離散値
「Hybrid System」モデル予測制御
混合論理動的(MLD)モデル→混合整数計画問題
連続式加熱炉
スラブ
・・・・
1帯(1ゾーン) 2帯(2ゾーン)
M帯(Mゾーン)
仮定
1.
2.
3.
鋼材の材質特性は同一とする。
初期温度、抽出目標温度、板幅等が同じ複数のスラ
ブを一つにまとめた、L個の鋼材を対象にする。
各帯への燃料投入量によって、各帯の炉温温度が一
次遅れ系を介して制御され、鋼材は各帯を移動しな
がら、その鋼材が存在する帯の炉温によって加熱さ
れる。
4.
5.
6.
7.
各帯内の鋼材は高々一個とする。
加熱炉の鋼材は同期して移動する。(ベルトコンベ
ア方式)
加熱炉内への鋼材装入は、加熱炉内の鋼材が移動す
るときのみ可能となる。
最終炉(M)帯内の鋼材が抽出温度に達する。or 最
終炉(M)帯内に鋼材がない場合のみ炉帯内鋼材が移
動する。
鋼材:上付き添え字
j帯:下付き添え字
i {1, 2 ,..., L }
j {1, 2 ,..., M }
j帯への燃焼投入量(連続値入力の決定変数)
k : ある時刻
T : 制御周期
T : 鋼材温度時定数
T : 燃料投入量時定数
K : 燃料投入量から炉帯温度へのプロセスゲイン
K : 炉帯温度から鋼材温度までのプロセスゲイン
fj :
f
SL
f
SL
仮定3:
各帯への燃料投入量によって、各帯の炉温温度が一次遅れ系を介し
て制御され、鋼材は各帯を移動しながら、その鋼材が存在する帯の
炉温によって加熱される。
j帯の炉帯温度: T j
T j ( k 1) T j ( k ) ( K f f j ( k ) T j ( k ))
Tf
燃料投入量
→炉帯温度
T j(k )
T
一次遅れ系の制御
T j(k ) K f
T
Tf
(1
T
)T j ( k ) ( K f
Tf
aT j ( k ) bf j ( k )
T
fj ( k )
Tf
T
Tf
) fj ( k )
鋼材iの鋼材温度: y i
y ( k 1) y ( k ) ( K SL T j ( k ) y ( k ))
i
i
i
T SL
炉帯温度
→鋼材温度
y (k )
i
T
T SL
(1
T
) y ( k ) ( K SL
i
T SL
cy ( k ) dT j ( k )
i
一次遅れ系の制御
y ( k ) K SL
i
T
T
T j(k )
T SL
T
T SL
) fj ( k )
j (k ) :
i
i
v (k ) :
(k ) :
鋼材iがj帯に存在する場合のみ1となる0-1変数
加熱炉に新たに鋼材iを装入する場合のみ1となる0-1
変数
加熱炉内の鋼材が次の帯or炉外に移動する場合のみ1
となる0-1変数
v (k ) (k ) :
i
L
仮定6:加熱炉内への鋼材装入は、加熱炉内の鋼材が移
動するときのみ可能となる。
v (k ) 1 :
i
i 1
仮定4:各帯内の鋼材は高々一個とする。
L
j (k ) 1 :
i
i 1
L
i
i
i
i
が鋼材iに対する変数である。
(
k
)
v
(
k
)
1
:
,
v
j
j
i 1
・ T j ( k 1) aT j ( k ) bf j ( k )
M
・ y ( k 1)
i
j ( k ){ cy ( k ) dT j ( k )} y ( k ) v ( k )
i
i
0
i
i 1
・ j ( k 1) ( I M ( k ) F 0 ) j ( k ) G 0 v ( k )
i
i
1
0
{
0
0
0
0
1
0
0
0
1
(k ) 1
0
1
0
0
M
i
i
1 ( k ) 1
i
} 2 ( k ) 0 v i ( k )
i
1 M ( k )
0
0
1
M M
B
M
M
→仮定5:加熱炉の鋼材は同期して移動する。(ベルトコンベア方式)
・ [ ( k ) 1] [ M ( k ) y ( k ) y
i
i
ref , i
, i ] [ M ( k ) 0 , i ]
i
→仮定7:最終炉(M)帯内の鋼材が抽出温度に達する。or 最終炉(M)帯内
に鋼材がない場合のみ炉帯内鋼材が移動する。
i
:鋼材iが時刻kまで未装入だった場合の鋼材温度であり、
所与の場合、外気温によって、y ( k 1) cy ( k ) dT ( k ) から一
意に与えられる時変係数として扱う。
( k ):抽出目標温度
y0 (k )
i
0
y
ref , i
例えば…
(k ) 1
i
0
のとき、
・ j 1
( k 1) (1 ( 1)) ( k ) v ( k ) v ( k )
i
1
i
i
j
・ M j2
j ( k 1) (1 ( 1)) j ( k )
i
i
i
j 1
(k )
i
j 1
(k )
0
補助変数: z j ( k ) j ( k ){ cy i ( k ) dT j ( k )}
i
i
j ( k ) ( k ) j ( k )
i
i
として、鋼材ベースモデリングをMLDモデルで書き表すと、
x ( k 1) Ax ( k ) Bv ( k )
差分方程式
混合0-1不等式
Cx ( k ) Dv ( k ) H
で与えられる。
n n
x(k )
: 状態変数
c
d
T v ( k ) [u ( k ) z ( k ) q ( k ) ]
u (k )
z (k )
q (k ) B
T
B
n1c
m2
T
:
m3
:
n1d
T
T
入力集合(決定変数)
入力変数
連続値における補助変数
離散値における補助変数
:
ここの離散値入力の次元が計
算量に大きく関与している。
つまり、m1d+m3 の次元
入力集合中の0-1変数(決定変数)の次元数
:m 1 d m 3 1
L LM
入力変数の次元:
(
m 1d 1
補助変数の次元:
m 3 L LM
当)
に相当)
i
i
(
に相
v , j
→0-1決定変数の次元数が炉帯数Mと鋼材数L
の積に比例して増加する。
→鋼材数Lが多い場合を想定するスケジュー
リングを扱う場合、多くの0-1変数を要す
る。
装入順はわかっている
移動はコンベア式
各炉帯には高々一つの鋼材しか存在しない
ベルトコンベアが動いたか否かで、鋼材がどの炉帯にいるかを判断
することができる。
j ( k ) : 時刻kで炉帯jに鋼材(鋼材は区別せず)が存在するか否かの0-1変数
y j ( k ) : 炉帯jにおける時刻kでのある鋼材の温度
L
j(k )
j (k )
i
i 1
L
yj(k )
i 1
j (k ) y (k )
i
i
v i (k ) (k ) 0
v i (k ) 0
・ T j ( k 1) aT j ( k ) bf j ( k )
L
・ y 1( k 1) (1 ( k )) 1( k )( cy 1( k ) dT 1( k ))
i
i
y0 (k )v (k )
i 1
・ y j ( k 1) ( k ) j
1
( k )( cy j
1
( k ) dT j
1
( k ))
(1 ( k )) j ( k )( cy j ( k ) dT j ( k )), j 2
( k ) 0 , 1( k ) 1 : y 1( k 1) cy 1( k ) dT 1( k ), y 2 ( k 1) cy 2 ( k ) dT 2 ( k )
ex.)
( k ) 1, 1( k ) 1 L
: y 1 ( k 1)
i 1
y 0 ( k ) v ( k ) , y 2 ( k 1) cy 1( k ) dT 1( k )
i
i
L
・ y 1 ( k 1) (1 ( k )) 1( k ) y 1 ( k )
ref
ref
y
ref , i
i
(k )v (k )
i 1
・ y j ( k 1) ( k ) j 1( k ) y j 1 ( k ) (1 ( k )) j ( k ) y j ( k ), j 2
ref
ref
ref
( k ) 0 , 1( k ) 1 : y 1( k 1) cy 1( k ) dT 1( k ), y 2 ( k 1) cy 2 ( k ) dT 2 ( k )
ex.)
( k ) 1, 1( k ) 1
L
: y 1 ( k 1)
y 0 ( k ) v ( k ) , y 2 ( k 1) cy 1( k ) dT 1( k )
i
i
i 1
L
・ 1( k 1) (1 ( k )) 1( k )
i
v (k )
i 1
・ j ( k 1) (1 ( k )) j ( k ) ( k ) j 1( k ), j 2
( k ) 0 , 1( k ) 1
: 1( k 1) 1( k ), 2 ( k 1) 2 ( k )
ex.)
( k ) 1, 1( k ) 1
L
: 1 ( k 1)
v ( k ) , 2 ( k 1) 1 ( k )
i
i 1
ref
・ [ ( k ) 1] [ y M ( k ) y M ( k )] [ M ( k ) 0 ]
補助変数: z 1 j ( k ) j ( k )( cy i ( k ) dT j ( k )), z 2 j ( k ) ( k ) z 1 j ( k )
z 1 j ( k ) j ( k ) y j ( k ), z 2 j ( k ) ( k ) z 1 j ( k ), j ( k ) ( k ) j ( k )
ref
ref
ref
ref
として、鋼材ベースモデリングをMLDモデルで書き表すと、
x ( k 1) Ax ( k ) Bv ( k )
Cx ( k ) Dv ( k ) H
で与えられる。
入力集合中の0-1変数(決定変数)の次元数
: m 1d m 3 1 L M
→計算時間の低減が期待できる!
入力変数の次元: m 1 d 1 ( に相当)
補助変数の次元: m 3 L M ( v i , j に相当)
比較:
0-1変数の次元
鋼材ベースモデリング
炉帯ベースモデリング
1+L+LM
1+L+M
鋼材L個、炉帯(M)3台
( a , b , c , d ) ( 0 . 9048 , 1 . 4274 , 0 . 8187 , 0 . 1813 )
T ( 0 ) [800 1100 1300 ]
初期時刻で炉帯内に鋼材はない
各鋼材の初期温度は[600,800]内の一様分布に従って与えられる
拘束条件 0 Tj ( k ) 1300 , 0 y i ( k ) 1250
y ( k 1)( cy ( k ) dyT 3 ( k )) 1200 ( k ) 1
制限時間内に少なくとも3つ鋼材を抽出する
i
T
i
0-1変数の次元
鋼材ベースモデリング
炉帯ベースモデリング
4L+1 (=1+L+LM)
L+4 (=1+L+M)
3基の並列した連続式加熱炉
1号炉
2号炉
スラブ
ヤード
3号炉
1帯
2帯
i {1, 2 ,..., L } : (まとまった)鋼材数
j {1, 2 ,3} : ゾーン
p {1, 2 ,3} : 加熱炉p号炉
3帯
x p , j ( k ) : [ y p , j ( k ) y p , j ( k ) w p , j ( k )]
p号炉のj帯にある鋼材の状態
ref
y p , j ( k )( ) : 鋼材温度
3
ref
y p , j ( k ) : 鋼材抽出目標温度
w p , j ( k ) : 鋼材板幅
T p , j ( k )( ) : p号炉j帯の炉帯温度
f p , j ( k )( ) : p号炉j帯への燃料投入量
p号炉j帯の炉帯温度、及びp号炉の鋼材iが移動しない場合の鋼材の状態式
・ T p , j ( k 1) aT p , j ( k ) bf p , j ( k )
連続値のみを考慮した場合のモデル
・ x p , j ( k 1) A 0 x p , j ( k ) B 0 T p , j ( k )
diag ( c ,1,1) x p , j ( k ) [ d 0 0] T p, j(k )
T
c
0
0
0
1
0
0 yp , j ( k ) d
ref
0 y p , j ( k ) 0 T p , j ( k )
1 w p , j ( k ) 0
y p , j ( k 1) cy p , j ( k ) dT p , j ( k )
ref
ref
y p , j ( k 1) y p , j ( k )
w p , j ( k 1) w p , j ( k )
i
v p ( k ) : 鋼材iをp号炉1帯に装入する場合のみ1となる0-1変数
p , j ( k ) : p号炉j帯内に鋼材が存在する場合のみ1となる0-1変数
p ( k ) : p号炉内にある鋼材が次の帯に移動する場合のみ1となる0-1変数
・ T ( k 1) aT ( k ) bf ( k )
~
・ x ( k 1) ( I 27 diag ( ( k )) F ) ( k ){ Ax ( k ) BT ( k )} ~
x 0(k )v (k )
~
・ ( k 1) ( I 9 diag ( ( k ) F ) ( k ) Gv ( k )
L
・ v ( k ) ( k ), ・
※
i
p
v
3
i
p
v
( k ) 1, ・
i 1
i
p
(k ) 1
p 1
・ [ p ( k ) 1] [ y p , 3 ( k ) y p , 3 ] [ p , 3 0 ]
ref
x [ x 1 x 2 x 3 ] x p [ x p ,1 x p , 2 x p , 3 ]
T
T
T [ T 1 T 2 T 3 ] T p [ T p ,1 T p , 2 T p , 3 ]
T
f [f
1 f 2 f 3 ] f p [ f p ,1 f p , 2 f p , 3 ]
T
T
[ 1 2 3 ] p [ p ,1 p , 2 p , 3 ]
T
T
T
連続値、離散値を考慮した
場合のモデル
~
x 0(k ) I 3
x0 (k )
1
06
x0 (k )
27 3 L
L
L
y 0i ( k )
v1 (k )
v 1p ( k )
ref , i
2
i
3
L
x0 (k ) y
(k ) , v (k ) v (k ) , vp(k ) B
w i (k )
v 3 (k )
v L (k )
p
A block diag ( A 0 , , A 0 )
27 27
B block diag ( B 0 , , B 0 )
27 9
1 (k )
~
( k ) 2 ( k ) 3 , diag ( ( k )) I 3 , F F I 3
3 ( k )
1
F
1
0
0
1
1
0
1TL
0 , G I3
0
1
※:混合0-1不等式として
表現できる
補助変数
z 1 ( k ) ( k ){ Ax ( k ) BT ( k )}
27
z 2 ( k ) { diag ( ( k )) I 9 } z 1 ( k )
※
27
, ( k ) { diag ( ( k )) I 3 } 1 ( k )
・ T ( k 1) aT ( k ) bf ( k )
~
・ x ( k 1) z 1 ( k ) ( I 3 F ) z 2 ( k ) ~
x0v (k )
・ ( k 1) ( k ) ( I 3 F ) ( k ) Gv ( k )
9
差分方程式で表現できる
圧延機のロール組み替え後、最初の10本程度はサーマルクラウン
(熱膨張量差)を安定化させるために、圧延材は幅狭材から徐々に
幅広材に移行し、以降約90本は圧延ロール摩耗による圧延材の品質
不良を避けるため、スラブの抽出順に対して、徐々にスラブの板幅
が狭くなる制約を課す。
→簡易化:鋼材の加熱炉抽出順が板幅単調減少とする制約
→時刻k=kcに抽出される鋼材の板幅と、時刻k=0,…,kc-1に抽出された鋼
材の板幅をすべて比較すると、不等式の数が膨大になる。
→補助的な変数; h M ( k )
[ p ( k 1) 1] [ p , 3 ( k 1) 1] [ h M ( k ) w p , 3 ( k 1)] p {1, 2 ,3}
h M ( k ) h M ( k 1)
→hM(k)は時刻k=0,…,kc-1に抽出された鋼の板幅以下の値である。
[ p ( k ) 1] [ p , 3 ( k ) 1] [ w p , 3 ( k ) h M ( k )] p {1, 2 , 3}
→加熱炉p号炉から鋼材が抽出されるならば、その板幅wp,3はhM(k)以下である。
鋼材の加熱炉からの抽出順が板幅単調減少となる。
鋼材加熱炉の燃焼制御周期は通常1~2分程度
鋼材加熱炉の抽出周期は通常3分程度
今回は複数(10本程度)の鋼材をi鋼材として扱っているので、実際
の分解能より粗くできる。
燃焼制御周期を10分、抽出周期は30分
装入スケジュール制御周期を燃焼周期系の3倍として扱う。
( 3 k ) ( 3 k 1) ( 3 k 2 )
( 3 k ) ( 3 k 1) ( 3 k 2 )
MLDモデルの計算量は、0-1変数の次元に
対して指数関数的に増加するため、離散
入力値を小さくすればよい。
今回の提案モデリングは、鋼材iを装入段
階で識別し、移動中は識別しないことで、
鋼材の位置を表す0-1変数の次元を減らし
た。
→連続式、ベルトコンベア式の特徴を有する
さまざまなプロセスにも適応できる。
ラグランジェ緩和の続きを読む。