Transcript LÍMITE DE UNA SUCESIÓN
LÍMITE DE UNA SUCESIÓN
LÍMITE DE UNA SUCESIÓN
Estudiar la convergencia de una sucesión es ver que sucede con los términos según la sucesión avanza, es decir, según n se hace más y más grande.
Pueden suceder varias cosas, por ejemplo, consideremos las sucesiones:
n
a n
Estudiemos lo que pasa con la sucesión 1 2 10 0,2 100 0,02 1000 0,002 10000 0,0002 100000 1000000 0,00002 0,000002 Observe que conforme n se hace cada vez mas grande, a
n
se va acercando cada vez mas a 0. si n siguiera tomando valores mas grandes (acercándose a infinito), los términos de la sucesión estarían cada vez mas cerca de cero. Lo cual nos dice que la sucesión converge a 0 (cero), es decir que su limite es cero. Matemáticamente, esto seria;
n
lim
a n
n
lim 2
n
0 Se lee “limite cuando n tiende a infinito de a n es igual a cero”
Estudiemos lo que pasa con la sucesión
n
1
a n
No existe 10 100 1000 10000 100000 11,11… 101,01… 1001,001… 10001,001… 100001 1000000 1000001 Observe que conforme n se hace cada vez mas grande, b
n
se va haciendo cada vez mas grande también. si n siguiera tomando valores mas grandes (acercándose a infinito), los términos de la sucesión también se estarían acercando cada vez mas a infinito. Lo cual nos dice que la sucesión converge a ∞ (infinito), es decir que su limite es infinito. Matemáticamente, esto seria; 2
n
lim
b n
n
lim
n n
1 Se lee “limite cuando n tiende a infinito de a n es igual a infinito”
Estudiemos lo que pasa con la sucesión
n
1
a n
No existe 10 100 1000 10000 100000 11,11… 101,01… 1001,001… 10001,001… 100001 1000000 1000001 Observe que conforme n se hace cada vez mas grande, b
n
se va haciendo cada vez mas grande también. si n siguiera tomando valores mas grandes (acercándose a infinito), los términos de la sucesión también se estarían acercando cada vez mas a infinito. Lo cual nos dice que la sucesión diverge a ∞ (infinito), es decir que su limite es infinito. Matemáticamente, esto seria; 2
n
lim
b n
n
lim
n n
1 Se lee “limite cuando n tiende a infinito de b n es igual a infinito”
n
10
a n
1 Estudiemos lo que pasa con la sucesión 11 -1 100 1 101 -1 1000 1 1001 -1 10000 1 Observe que de acuerdo al valor que toma n (par o impar), b
n
se va alternando entre -1 si n es impar y 1 si n es par. Lo cual nos dice que la sucesión no converge a algún valor determinado ni tampoco diverge a ∞ o - ∞, es decir que su limite no existe. Matemáticamente, esto seria; Se lee “limite cuando n tiende a infinito de c n no existe”
Ya sabemos que significa ser convergente pero: • ¿Cómo podemos saber si una sucesión tiene o no límite?
• ¿Cómo se calculan los límites?
CUIDADO!!!
Para ver si una sucesión tiene límite, una tabla como las anteriores puede ayudar, pero no es definitiva. Observa que hubiera sucedido si completases la 1ª tabla con la sucesión c n ¿qué hubieras pensado?
DEFINICIÓN DE LIMITE DE UNA SUCESIÓN
Una sucesión a
n
tiene por límite L si y sólo si para cualquiera número positivo ε que tomemos, existe un término a
k
, a partir del cual todos los términos de a n , siguientes a a k cumplen que |a
n
−L| < ε.
EJEMPLO
La sucesión a n 1 𝐾 = 1/n tiene por límite 0. − 0 < 𝜀 ; 1 𝐾 < 𝜀; 𝐾 > 1 𝜀 Se puede determinar a partir de que término de la sucesión, su distancia a 0 es menor que un número positivo (ε), por pequeño que éste sea.
1 𝑠𝑒𝑎 𝜀 = 0.1; 𝐾 > ; 𝐾 > 10 0.1
Como k>10 a partir del a 11 se cumplirá que su distancia a 0 es menor que 0.1.
1 − 0 < 0.1 ; 0.09090 < 0.1
11
Vamos a determinar a partir de que término la distancia a 0 es menor que 0.001.
1 𝜀 = 0.001; 𝑘 > ; 0.001
𝐾 > 1000
A partir del a
1
1001 se cumplirá que su distancia a 0 es menor que 0.001.
1001 − 0 < 0.001; 0.000999 < 0.001
También podemos definir el límite de una sucesión mediante entornos : Una sucesión a
n
tiene por límite L si y sólo si para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio ε, existe un término de la sucesión, a partir del cual, los términos que siguen pertenecen a dicho entorno.
EJERCICIOS RESUELTOS
Demuestra que la sucesión
2𝑛+4 𝑎 𝑛 =
tiene límite 2.
𝑛
Averigua los términos cuya distancia a 2 es menor que 0.1.
Aplicamos la definición de limite de sucesiones Resta de fracciones cancelamos términos , aplicamos la definición de valor absoluto y resolvemos la inecuación
A partir de a 41 la distancia a 2 será menor que una decima.
Demuestra que la sucesión
𝑎 𝑛 = 𝑛 2 𝑛 2 +3
tiene por limite 1 y averigua cuántos términos de la sucesión están fuera del E (1 , 0.001).
Aplicamos la definición de limite de sucesiones Resta de fracciones Definición de valor absoluto Resolvemos la inecuación
Los primeros 54 términos quedan fuera del entorno.
EJERCICIOS PROPUESTOS
• • • Probar que lim 𝑛→∞ 3𝑛−8 4𝑛+1 = 3 4 . Averigua los términos cuya distancia al límite es menor que 0.01.
Probar que .Averigua los términos cuya distancia al límite es menor que 0.001.
Probar que .Averigua los términos cuya distancia al límite es menor que 0.01.