Transcript 8.000 - Gentofte Ungdomsskole 10.A 2012-13

Annuitet
4 slags rentesregning
Afbetalingslån – Gryn-formlen
Opsparing - Opsparingsformlen
Eksempler…
4 slags rentesregning
Når vi regner med rente, kan det ske på 4 forskellige måder – hver
med deres formler.
Hvis der er tale om ét beløb (et engangsbeløb) der indsættes eller
lånes og der tilskrives rente til dette ene beløb, er der tale om en
renteopgave.
4 slags rentesregning
Når vi regner med rente, kan det ske på 4 forskellige måder – hver
med deres formler.
Hvis der er tale om ét beløb (et engangsbeløb) der indsættes eller
lånes og der tilskrives rente til dette ene beløb, er der tale om en
renteopgave.
1.
Hvis der er tale om en periode
på mindre end en termin –
normalt højst ét år – er der tale
om simpel rentesregning med
renteformlen.
Se powerpointen:
Reg_Rent (Rentesregning)
4 slags rentesregning
Når vi regner med rente, kan det ske på 4 forskellige måder – hver
med deres formler.
Hvis der er tale om ét beløb (et engangsbeløb) der indsættes eller
lånes og der tilskrives rente til dette ene beløb, er der tale om en
renteopgave.
2.
Hvis der er tale om en periode
på flere terminer – f.eks. flere år
– er der tale om rentesregning
med vækstformlen, også kaldet
eksponentiel vækst.
Se powerpointen:
Reg_Vaek (Eksponentiel vækst)
4 slags rentesregning
Når vi regner med rente, kan det ske på 4 forskellige måder – hver
med deres formler.
Hvis der er tale om opsparing eller betaling af det samme beløb (en
ydelse) mange gange efter hinanden, f.eks. hver måned eller hvert
kvartal, er der tale om en annuitetsopgave.
3.
Hvis der er tale om, at et lån
afbetales med et fast beløb hver
termin, dvs. hver måned, hvert
kvartal eller hvert år, er der tale
om afbetalingsformlen, også
kaldet Gryn-formlen.
Se videre i denne powerpoint!
4 slags rentesregning
Når vi regner med rente, kan det ske på 4 forskellige måder – hver
med deres formler.
Hvis der er tale om opsparing eller betaling af det samme beløb (en
ydelse) mange gange efter hinanden, f.eks. hver måned eller hvert
kvartal, er der tale om en annuitetsopgave.
4.
Hvis der er tale om, at et fast
beløb indsættes på en konto
hver termin, dvs. hver måned,
hvert kvartal eller hvert år, er
der tale om opsparingsformlen.
Se denne powerpoint!
4 slags rentesregning
I oversigt:
Løbetid:
< 1 termin
Formel for
simpel rente
Løbetid:
> 1 termin
Formel for
Eksponentiel vækst
Et beløb falder
= afbetaling
Afbetalingsformlen
(Gryn-formlen)
Et beløb vokser
= opsparing
Opsparingsformlen
Renteopgave
Rente eller
Annuitet?
Annuitetsopgave
Afbetalingsformlen
Afbetalingsformlen
(Gryn-formlen)
Afbetalingsformlen
Der er forskellige måder at afvikle et lån på, men fælles for
dem alle er, at man som låner skal tilbagebetale hele det lånte
beløb samt de renter, der er påløbet i den tid, man har lånt
pengene.
Man tilbagebetaler hver termin noget af det lånte beløb +
noget rente.
Begreber:
Det beløb, man har lånt, kaldes hovedstolen
Det beløb, man tilbagebetaler hver termin, kaldes ydelsen
Den del af ydelsen, man betaler af på det lånte beløb, kaldes
afdraget. Afdraget er det beløb, som lånet nedskrives med,
når man betaler ydelsen.
Afbetalingsformlen
Som oftest vælger man at betale en fast ydelse hver termin
i hele tilbagebetalingsperioden, således at man over hele
perioden kender sine udgifter.
Ydelsen
I starten af tilbagebetalingsperioden udgør renterne en stor
del af ydelsen, mens afdraget på lånet er en lille del.
Rente
Afdrag
Ydelse = Afdrag + Rente
Afbetalingsformlen
Som oftest vælger man at betale en fast ydelse hver termin
i hele tilbagebetalingsperioden, således at man over hele
perioden kender sine udgifter.
Ydelsen
Senere udgør renterne en stadig mindre del af ydelsen, fordi
man har betalt noget af lånet tilbage og skal betale rente af et
stadig mindre beløb! Afdraget bliver omvendt stadig større!
Rente
Afdrag
Afbetalingsformlen
Som oftest vælger man at betale en fast ydelse hver termin
i hele tilbagebetalingsperioden, således at man over hele
perioden kender sine udgifter.
Ydelsen
Senere udgør renterne en stadig mindre del af ydelsen, fordi
man har betalt noget af lånet tilbage og skal betale rente af et
stadig mindre beløb! Afdraget bliver omvendt stadig større!
Rente
Afdrag
Afbetalingsformlen
Som oftest vælger man at betale en fast ydelse hver termin
i hele tilbagebetalingsperioden, således at man over hele
perioden kender sine udgifter.
Ydelsen
Senere udgør renterne en stadig mindre del af ydelsen, fordi
man har betalt noget af lånet tilbage og skal betale rente af et
stadig mindre beløb! Afdraget bliver omvendt stadig større!
Rente
Afdrag
Afbetalingsformlen
Et lån, der tilbagebetales med en fast ydelse hver termin,
kaldes for et annuitetslån.
For et annuitetslån gælder, at
… tilbagebetalingen begynder én termin efter, at man har fået
udbetalt lånet (hovedstolen)
… der tilskrives renter til lånet hver termin
… rentefoden er den samme i hele låneperioden. (Dette er
ikke altid tilfældet i virkelighedens verden, men det er vi nødt
til at forudsætte, ellers giver vores formel ingen mening!)
Afbetalingsformlen
Lad os se på et eksempel:
Hovedstolen = 50.000 kr (Altså man har lånt 50.000 kr)
Rentefoden pr. termin = 5 %
Ydelsen = 8.000 kr (Man tilbagebetaler 8.000 kr pr. termin)
Afbetalingsformlen
Lad os se på et eksempel:
Hovedstolen = 50.000 kr (Altså man har lånt 50.000 kr)
Rentefoden pr. termin = 5 %
Ydelsen = 8.000 kr (Man tilbagebetaler 8.000 kr pr. termin)
Termin
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Ydelse
Rente i kr
0
0
Afdrag
0
Restgæld
50.000
Afbetalingsformlen
Lad os se på et eksempel:
Hovedstolen = 50.000 kr (Altså man har lånt 50.000 kr)
Rentefoden pr. termin = 5 %
Ydelsen = 8.000 kr (Man tilbagebetaler 8.000 kr pr. termin)
1. termin beregnes…
Termin
Ydelse
Rente i kr
0
0
1
8.000
2
3
4
5
6
7
8
0
Afdrag
0
Restgæld
50.000
Afbetalingsformlen
Lad os se på et eksempel:
Hovedstolen = 50.000 kr (Altså man har lånt 50.000 kr)
Rentefoden pr. termin = 5 %
Ydelsen = 8.000 kr (Man tilbagebetaler 8.000 kr pr. termin)
1. termin beregnes…
Rente:
50.000·5
100
= 2.500
Termin
Ydelse
Rente i kr
0
0
0
1
8.000
2.500
2
3
4
5
6
7
8
Afdrag
0
Restgæld
50.000
Afbetalingsformlen
Lad os se på et eksempel:
Hovedstolen = 50.000 kr (Altså man har lånt 50.000 kr)
Rentefoden pr. termin = 5 %
Ydelsen = 8.000 kr (Man tilbagebetaler 8.000 kr pr. termin)
1. termin beregnes…
Rente:
50.000·5
100
= 2.500
Afdrag: 8.000 – 2.500
= 5.500
Termin
Ydelse
Rente i kr
Afdrag
0
0
0
0
1
8.000
2.500
5.500
2
3
4
5
6
7
8
Restgæld
50.000
Afbetalingsformlen
Lad os se på et eksempel:
Hovedstolen = 50.000 kr (Altså man har lånt 50.000 kr)
Rentefoden pr. termin = 5 %
Ydelsen = 8.000 kr (Man tilbagebetaler 8.000 kr pr. termin)
1. termin beregnes…
Rente:
50.000·5
100
= 2.500
Afdrag: 8.000 – 2.500
= 5.500
Restgæld: 50.000 – 5.500
= 44.500
Termin
Ydelse
Rente i kr
Afdrag
Restgæld
0
0
0
0
50.000
1
8.000
2.500
5.500
44.500
2
3
4
5
6
7
8
Afbetalingsformlen
Lad os se på et eksempel:
Hovedstolen = 50.000 kr (Altså man har lånt 50.000 kr)
Rentefoden pr. termin = 5 %
Ydelsen = 8.000 kr (Man tilbagebetaler 8.000 kr pr. termin)
2. termin beregnes…
Termin
Ydelse
Rente i kr
Afdrag
Restgæld
0
0
0
0
50.000
1
8.000
2.500
5.500
44.500
2
8.000
3
4
5
6
7
8
Afbetalingsformlen
Lad os se på et eksempel:
Hovedstolen = 50.000 kr (Altså man har lånt 50.000 kr)
Rentefoden pr. termin = 5 %
Ydelsen = 8.000 kr (Man tilbagebetaler 8.000 kr pr. termin)
2. termin beregnes…
Rente:
44.500·5
100
= 2.225
Termin
Ydelse
Rente i kr
Afdrag
Restgæld
0
0
0
0
50.000
1
8.000
2.500
5.500
44.500
2
8.000
2.225
3
4
5
6
7
8
Afbetalingsformlen
Lad os se på et eksempel:
Hovedstolen = 50.000 kr (Altså man har lånt 50.000 kr)
Rentefoden pr. termin = 5 %
Ydelsen = 8.000 kr (Man tilbagebetaler 8.000 kr pr. termin)
2. termin beregnes…
Rente:
44.500·5
100
= 2.225
Afdrag: 8.000 – 2.225
= 5.775
Termin
Ydelse
Rente i kr
Afdrag
Restgæld
0
0
0
0
50.000
1
8.000
2.500
5.500
44.500
2
8.000
2.225
5.775
3
4
5
6
7
8
Afbetalingsformlen
Lad os se på et eksempel:
Hovedstolen = 50.000 kr (Altså man har lånt 50.000 kr)
Rentefoden pr. termin = 5 %
Ydelsen = 8.000 kr (Man tilbagebetaler 8.000 kr pr. termin)
2. termin beregnes…
Rente:
44.500·5
100
= 2.225
Afdrag: 8.000 – 2.225
= 5.775
Restgæld: 44.500 – 5.775
= 38.725
Termin
Ydelse
Rente i kr
Afdrag
Restgæld
0
0
0
0
50.000
1
8.000
2.500
5.500
44.500
2
8.000
2.225
5.775
38.725
3
4
5
6
7
8
Afbetalingsformlen
Lad os se på et eksempel:
Hovedstolen = 50.000 kr (Altså man har lånt 50.000 kr)
Rentefoden pr. termin = 5 %
Ydelsen = 8.000 kr (Man tilbagebetaler 8.000 kr pr. termin)
… osv. for hver af de
følgende terminer, indtil
restgælden er 0 kr
Termin
Ydelse
Rente i kr
Afdrag
Restgæld
0
0
0
0
50.000
1
8.000
2.500
5.500
44.500
2
8.000
2.225
5.775
38.725
3
8.000
1.936
6.064
32.661
4
8.000
1.633
6.367
26.294
5
8.000
1.315
6.685
19.609
6
8.000
980
7.020
12.589
7
8.000
629
7.371
5.218
8
5.218
261
4.957
0
Afbetalingsformlen
Lad os se på et eksempel:
Hovedstolen = 50.000 kr (Altså man har lånt 50.000 kr)
Rentefoden pr. termin = 5 %
Ydelsen = 8.000 kr (Man tilbagebetaler 8.000 kr pr. termin)
Af tabellen til højre kan
vi se, at lånet er tilbagebetalt efter 8 terminer.
Termin
Ydelse
Rente i kr
Afdrag
Restgæld
0
0
0
0
50.000
1
8.000
2.500
5.500
44.500
2
8.000
2.225
5.775
38.725
3
8.000
1.936
6.064
32.661
4
8.000
1.633
6.367
26.294
5
8.000
1.315
6.685
19.609
6
8.000
980
7.020
12.589
7
8.000
629
7.371
5.218
8
5.218
261
4.957
0
Afbetalingsformlen
Lad os se nu opstille formlen for afbetaling af et lån, også
kaldet Gryn-formlen:
1 – (1 + r)–n
G=y·
r
- hvor:
G = Gælden/hovedstolen (det lånte beløb)
r = rentefoden pr. termin, skrevet som decimaltal
y = ydelsen, dvs. det beløb, der betales pr. termin
n = antallet af terminer
Afbetalingsformlen
Bemærk,
at rentefoden
opgives i
Lad os se nu opstille formlen
for afbetaling
af etnormalt
lån, også
procent, men at man i formlen skal
kaldet Gryn-formlen:
bruge den som decimaltal.
1 – (1 + r)–n
G = y5 %
· skrives som
r 0,05
Altså…
12,5 % skrives som 0,125 og
- hvor:
0,75 % skrives som 0,0075
G = Gælden/hovedstolen (det lånte beløb)
r = rentefoden pr. termin, skrevet som decimaltal
y = ydelsen, dvs. det beløb, der betales pr. termin
n = antallet af terminer
Afbetalingsformlen
Bemærk
også, at der
om rentefoden
Lad os se nu opstille formlen
for afbetaling
af tale
et lån,
også
pr. termin og ikke nødvendigvis pr. år.
kaldet Gryn-formlen:
Er rentefoden pr. år = 12 % og betales
ydelsen pr. måned, er–n
rentefoden pr.
1
–
(1
+
r)
termin = 1 %, og
G=y·
- hvor:
r
er rentefoden pr. år = 8 % og betales
ydelsen pr. kvartal, er rentefoden pr.
termin = 2 %,
G = Gælden/hovedstolen (det lånte beløb)
r = rentefoden pr. termin, skrevet som decimaltal
y = ydelsen, dvs. det beløb, der betales pr. termin
n = antallet af terminer
Afbetalingsformlen
Da Gryn-formlen indeholder 4 variable, vil der også være 4
mulige opgavetyper, når vi regner med afbetaling:
1 – (1 + r)–n
G=y·
r
1.
Vi skal beregne G – dvs. at vi skal finde hovedstolen (det
beløb, der oprindelig blev lånt). Vi kender vores ydelse (y),
rentesatsen (r) og tiden vi bruger på tilbagebetalingen (n).
Hvis jeg har råd til at betale 800 kr/måned (y) i 40 måneder
(n), og banken vil have 1 % i rente pr. måned (r) – hvor
stort et beløb kan jeg da låne?
Afbetalingsformlen
Da Gryn-formlen indeholder 4 variable, vil der også være 4
mulige opgavetyper, når vi regner med afbetaling:
1 – (1 + r)–n
G=y·
r
2.
Vi skal beregne y – dvs. at vi skal finde ydelsen. Vi kender
det lånte beløb (G), rentesatsen (r) og tiden vi skal bruge på
tilbagebetalingen (n).
Hvis jeg har låner 180.000 kr (G) i 64 måneder (n), og
banken vil have 0,75 % i rente pr. måned (r) – hvor meget
skal jeg da betale i ydelse pr. måned?
Afbetalingsformlen
Da Gryn-formlen indeholder 4 variable, vil der også være 4
mulige opgavetyper, når vi regner med afbetaling:
1 – (1 + r)–n
G=y·
r
3.
Vi skal beregne r – dvs. at vi skal finde den rentefod, vi
betaler. Vi kender hovedstolen (G), ydelsen (y) og tiden vi
bruger på tilbagebetalingen (n).
Hvis jeg har lånt 85.000 kr (G) og kan tilbagebetale lånet
over 30 måneder (n) med en ydelse på 3.500 kr pr. måned
(y), hvilken rentesats betaler jeg da?
Afbetalingsformlen
Da Gryn-formlen indeholder 4 variable, vil der også være 4
mulige opgavetyper, når vi regner med afbetaling:
1 – (1 + r)–n
G=y·
r
4.
Vi skal beregne n – dvs. den tid, vi bruger på tilbagebetalingen af lånet. Vi kender hovedstolen (G), vores ydelse
(y) samt rentesatsen (r).
Hvis jeg har lånt 120.000 kr (G) til 0,5 % pr. måned (r) og
betaler en ydelse på 2.400 kr. pr. måned (y), hvor mange
måneder går der da, inden jeg har betalt lånet tilbage?
Afbetalingsformlen
Eksempler
Beregning af G
Afbetalingsformlen
Eksempel 1:
Ibrahim har optaget et
lån i en bank, og betaler
hvert kvartal i 10 år en
ydelse på 5.500 kr.
Hvad var lånets
hovedstol, når bankens
kvartalsrente er 4 %?
1 – (1 + r)–n
G=y·
r
Afbetalingsformlen
Eksempel 1:
Ibrahim har optaget et
lån i en bank, og betaler
hvert kvartal i 10 år en
ydelse på 5.500 kr.
Hvad var lånets
hovedstol, når bankens
kvartalsrente er 4 %?
y = 5.500 kr
r = 4 % pr. kvartal
n = 10·4 = 40 kvartaler
1 – (1 + r)–n
G=y·
r
1 – (1 + 0,04)–40
G = 5.500·
0,04
Afbetalingsformlen
Eksempel 1:
Ibrahim har optaget et
lån i en bank, og betaler
hvert kvartal i 10 år en
ydelse på 5.500 kr.
Hvad var lånets
hovedstol, når bankens
kvartalsrente er 4 %?
y = 5.500 kr
r = 4 % pr. kvartal
n = 10·4 = 40 kvartaler
1 – (1 + r)–n
G=y·
r
1 – (1 + 0,04)–40
G = 5.500·
0,04
På lommeregneren tastes:
5500·(1–(1+0,04)
–40)/0,04
Afbetalingsformlen
Eksempel 1:
Ibrahim har optaget et
lån i en bank, og betaler
hvert kvartal i 10 år en
ydelse på 5.500 kr.
Hvad var lånets
hovedstol, når bankens
kvartalsrente er 4 %?
y = 5.500 kr
r = 4 % pr. kvartal
n = 10·4 = 40 kvartaler
1 – (1 + r)–n
G=y·
r
1 – (1 + 0,04)–40
G = 5.500·
0,04
På lommeregneren tastes:
5500·(1–(1+0,04)
–40)/0,04
Bemærk parenteserne!
De skal med, når du taster
ind på lommeregneren!
Afbetalingsformlen
Eksempel 1:
Ibrahim har optaget et
lån i en bank, og betaler
hvert kvartal i 10 år en
ydelse på 5.500 kr.
Hvad var lånets
hovedstol, når bankens
kvartalsrente er 4 %?
y = 5.500 kr
r = 4 % pr. kvartal
n = 10·4 = 40 kvartaler
1 – (1 + r)–n
G=y·
r
1 – (1 + 0,04)–40
G = 5.500·
0,04
På lommeregneren tastes:
5500·(1–(1+0,04)
G = 108.860,26
–40)/0,04
Afbetalingsformlen
Eksempel 1:
Ibrahim har optaget et
lån i en bank, og betaler
hvert kvartal i 10 år en
ydelse på 5.500 kr.
Hvad var lånets
hovedstol, når bankens
kvartalsrente er 4 %?
y = 5.500 kr
r = 4 % pr. kvartal
n = 10·4 = 40 kvartaler
1 – (1 + r)–n
G=y·
r
1 – (1 + 0,04)–40
G = 5.500·
0,04
På lommeregneren tastes:
5500·(1–(1+0,04)
–40)/0,04
G = 108.860,26
Lånets hovedstol var på 108.860 kr.
(Ibrahim lånte 108.860 kr.)
Afbetalingsformlen
Eksempel 2:
1 – (1 + r)–n
G=y·
r
Jens betaler 1.250 kr. af
hver måned i 5 år på et
lån, hvor renten er 1 %
pr. måned.
Hvor mange penge havde
Jens oprindelig lånt?
1 – (1 + 0,01)–60
G = 1.250·
0,01
y = 1.250 kr
r = 1 % pr. måned
n = 5·12 = 60 måneder
G = 56.193,80
På lommeregneren tastes:
1250·(1–(1+0,01)
Jens havde lånt 56.194 kr.
–60)/0,01
Afbetalingsformlen
Eksempler
Beregning af y
Afbetalingsformlen
Vi skal nu ændre formlen, idet
y skal isoleres (stå alene)
1 – (1 + r)–n
G=y·
r
Afbetalingsformlen
Vi skal nu ændre formlen, idet
y skal isoleres (stå alene)
1 – (1 + r)–n
G=y·
r
Dette gøres ved at gange med
”r” på begge sider, altså…
G·r = y·(1 – (1 + r)–n)
Afbetalingsformlen
Vi skal nu ændre formlen, idet
y skal isoleres (stå alene)
1 – (1 + r)–n
G=y·
r
Dette gøres ved at gange med
”r” på begge sider, altså…
G·r = y·(1 – (1 + r)–n)
Dernæst divideres med
parentesen på begge sider…
G·r
=y
(1 – (1 + r)–n)
Afbetalingsformlen
Vi skal nu ændre formlen, idet
y skal isoleres (stå alene)
1 – (1 + r)–n
G=y·
r
Dette gøres ved at gange med
”r” på begge sider, altså…
G·r = y·(1 – (1 + r)–n)
Dernæst divideres med
parentesen på begge sider…
G·r
=y
(1 – (1 + r)–n)
- hvilket giver følgende formel
til at finde ydelsen…
y=
G·r
1 – (1 + r)–n
Afbetalingsformlen
Eksempel 1:
Kris optager et lån på
50.000 kr. i en bank, og
skal tilbagebetale det
over 20 måneder med et
fast beløb pr. måned.
Hvor stor en ydelse
betaler han, når renten er
0,6 % pr. måned?
y=
G·r
1 – (1 + r)–n
Afbetalingsformlen
Eksempel 1:
Kris optager et lån på
50.000 kr. i en bank, og
skal tilbagebetale det
over 20 måneder med et
fast beløb pr. måned.
Hvor stor en ydelse
betaler han, når renten er
0,6 % pr. måned?
G = 50.000 kr
r = 0,6 % pr. måned
n = 20 måneder
y=
y=
G·r
1 – (1 + r)–n
50.000·0,006
1 – (1 + 0,006)–20
Afbetalingsformlen
Eksempel 1:
Kris optager et lån på
50.000 kr. i en bank, og
skal tilbagebetale det
over 20 måneder med et
fast beløb pr. måned.
Hvor stor en ydelse
betaler han, når renten er
0,6 % pr. måned?
G = 50.000 kr
r = 0,6 % pr. måned
n = 20 måneder
y=
y=
G·r
1 – (1 + r)–n
50.000·0,006
1 – (1 + 0,006)–20
På lommeregneren tastes:
50000·0,006/(1–(1+0,006)
–20)
Afbetalingsformlen
Eksempel 1:
Kris optager et lån på
50.000 kr. i en bank, og
skal tilbagebetale det
over 20 måneder med et
fast beløb pr. måned.
Hvor stor en ydelse
betaler han, når renten er
0,6 % pr. måned?
G = 50.000 kr
r = 0,6 % pr. måned
n = 20 måneder
y=
y=
G·r
1 – (1 + r)–n
50.000·0,006
1 – (1 + 0,006)–20
På lommeregneren tastes:
50000·0,006/(1–(1+0,006)
Bemærk parenteserne!
De skal med, når du taster
ind på lommeregneren!
–20)
Afbetalingsformlen
Eksempel 1:
Kris optager et lån på
50.000 kr. i en bank, og
skal tilbagebetale det
over 20 måneder med et
fast beløb pr. måned.
Hvor stor en ydelse
betaler han, når renten er
0,6 % pr. måned?
G = 50.000 kr
r = 0,6 % pr. måned
n = 20 måneder
y=
y=
G·r
1 – (1 + r)–n
50.000·0,006
1 – (1 + 0,006)–20
På lommeregneren tastes:
50000·0,006/(1–(1+0,006)
y = 2.660,48
–20)
Afbetalingsformlen
Eksempel 1:
y=
Kris optager et lån på
50.000 kr. i en bank, og
skal tilbagebetale det
over 20 måneder med et
fast beløb pr. måned.
Hvor stor en ydelse
betaler han, når renten er
0,6 % pr. måned?
G = 50.000 kr
r = 0,6 % pr. måned
n = 20 måneder
y=
G·r
1 – (1 + r)–n
50.000·0,006
1 – (1 + 0,006)–20
På lommeregneren tastes:
50000·0,006/(1–(1+0,006)
–20)
y = 2.660,48
Kris tilbagebetaler lånet med en
ydelse på 2.660,48 kr. pr. måned.
Afbetalingsformlen
Eksempel 2:
y=
Mia låner 125.000 kr. i en
bank, og tilbagebetaler
lånet over 6 år med et
fast beløb pr. måned.
Hvor stor en ydelse
betaler hun, når renten er
1 % pr. måned?
G = 125.000 kr
r = 1 % pr. måned
n = 6·12 = 72 måneder
y=
G·r
1 – (1 + r)–n
125.000·0,01
1 – (1 + 0,01)–72
På lommeregneren tastes:
125000·0,01/(1–(1+0,01)
–72)
y = 2.443,77
Mia tilbagebetaler lånet med en
ydelse på 2.443,77 kr. pr. måned.
Afbetalingsformlen
Eksempler
”Beregning” af r
Afbetalingsformlen
Vi skal nu ændre på formlen,
således at r skal isoleres (stå
alene), fordi det er netop r, der
skal beregnes.
Problemet er bare, at det ikke
er muligt at isolere r i Grynformlen.
Derfor er vi nødt til at prøve
os frem med forskellige
værdier af r – eller komme med
kvalificerede gæt.
1 – (1 + r)–n
G=y·
r
Afbetalingsformlen
Eksempel:
Malou optager et lån på
10.690 kr. i en bank, og
tilbagebetaler lånet over
15 måneder med en fast
ydelse på 777 kr. pr.
måned.
Hvor mange procent
betaler hun i rente pr.
måned?
G = 10.690 kr
y = 777 kr
n = 15 måneder
1 – (1 + r)–n
G=y·
r
Afbetalingsformlen
Eksempel:
Malou optager et lån på
10.690 kr. i en bank, og
tilbagebetaler lånet over
15 måneder med en fast
ydelse på 777 kr. pr.
måned.
Hvor mange procent
betaler hun i rente pr.
måned?
G = 10.690 kr
y = 777 kr
n = 15 måneder
1 – (1 + r)–n
G=y·
r
Gæt (r =)
1%
giver hovedstol (G)
Afbetalingsformlen
Eksempel:
Malou optager et lån på
10.690 kr. i en bank, og
tilbagebetaler lånet over
15 måneder med en fast
ydelse på 777 kr. pr.
måned.
Hvor mange procent
betaler hun i rente pr.
måned?
G = 10.690 kr
y = 777 kr
n = 15 måneder
1 – (1 + r)–n
G=y·
r
Gæt (r =)
giver hovedstol (G)
1%
HUSK: På lommeregneren tastes:
777·(1–(1+0,01)
–15)/0,01
- Og husk parenteserne!
Afbetalingsformlen
Eksempel:
Malou optager et lån på
10.690 kr. i en bank, og
tilbagebetaler lånet over
15 måneder med en fast
ydelse på 777 kr. pr.
måned.
Hvor mange procent
betaler hun i rente pr.
måned?
G = 10.690 kr
y = 777 kr
n = 15 måneder
1 – (1 + r)–n
G=y·
r
Gæt (r =)
giver hovedstol (G)
1%
HUSK: På lommeregneren tastes:
777·(1–(1+0,01)
–15)/0,01
- Og husk parenteserne!
Afbetalingsformlen
Eksempel:
Malou optager et lån på
10.690 kr. i en bank, og
tilbagebetaler lånet over
15 måneder med en fast
ydelse på 777 kr. pr.
måned.
Hvor mange procent
betaler hun i rente pr.
måned?
G = 10.690 kr
y = 777 kr
n = 15 måneder
1 – (1 + r)–n
G=y·
r
Gæt (r =)
giver hovedstol (G)
1%
HUSK: På lommeregneren tastes:
777·(1–(1+0,01)
–15)/0,01
- Og husk parenteserne!
Afbetalingsformlen
Eksempel:
Malou optager et lån på
10.690 kr. i en bank, og
tilbagebetaler lånet over
15 måneder med en fast
ydelse på 777 kr. pr.
måned.
Hvor mange procent
betaler hun i rente pr.
måned?
G = 10.690 kr
y = 777 kr
n = 15 måneder
1 – (1 + r)–n
G=y·
r
Gæt (r =)
1%
giver hovedstol (G)
10.773,15 kr
HUSK: På lommeregneren tastes:
777·(1–(1+0,01)
–15)/0,01
- Og husk parenteserne!
Afbetalingsformlen
Eksempel:
Malou optager et lån på
10.690 kr. i en bank, og
tilbagebetaler lånet over
15 måneder med en fast
ydelse på 777 kr. pr.
måned.
Hvor mange procent
betaler hun i rente pr.
måned?
G = 10.690 kr
y = 777 kr
n = 15 måneder
1 – (1 + r)–n
G=y·
r
Gæt (r =)
giver hovedstol (G)
1%
10.773,15 kr
2%
9.983,88 kr
1,5 %
10.367,69 kr
1,2 %
10.608,28 kr
1,1 %
10.690,25 kr
Og sådan fortsættes med at
gætte, indtil G (hovedstolen) er
”nøjagtig nok”!
Afbetalingsformlen
Eksempel:
Malou optager et lån på
10.690 kr. i en bank, og
tilbagebetaler lånet over
15 måneder med en fast
ydelse på 777 kr. pr.
måned.
Hvor mange procent
betaler hun i rente pr.
måned?
G = 10.690 kr
y = 777 kr
n = 15 måneder
1 – (1 + r)–n
G=y·
r
Gæt (r =)
giver hovedstol (G)
1%
10.773,15 kr
2%
9.983,88 kr
1,5 %
10.367,69 kr
1,2 %
10.608,28 kr
1,1 %
10.690,25 kr
Malou betaler altså 1,1 % pr. måned.
Afbetalingsformlen
Eksempler
”Beregning” af n
Afbetalingsformlen
Vi skal nu ændre på formlen,
således at n skal isoleres (stå
alene), fordi det er netop n, der
skal beregnes.
For at isolere n i Gryn-formlen,
skal vi have gang i logaritmer.
Det er derfor nemmere – som
da vi skulle finde r – at prøve
os frem med forskellige værdier
af n – eller komme med
kvalificerede gæt.
1 – (1 + r)–n
G=y·
r
Afbetalingsformlen
Eksempel:
Asmaa optager et lån på
25.175 kr. i en bank, og
tilbagebetaler lånet med
3.300 kr. pr. år.
Hvor mange år går der
før lånet er tilbagebetalt,
når hun betaler 10 % i
årlig rente?
G = 25.175 kr
y = 3.300 kr
r = 10 %
1 – (1 + r)–n
G=y·
r
Afbetalingsformlen
Eksempel:
Asmaa optager et lån på
25.175 kr. i en bank, og
tilbagebetaler lånet med
3.300 kr. pr. år.
Hvor mange år går der
før lånet er tilbagebetalt,
når hun betaler 10 % i
årlig rente?
G = 25.175 kr
y = 3.300 kr
r = 10 %
1 – (1 + r)–n
G=y·
r
Gæt (n =)
20 år
giver hovedstol (G)
Afbetalingsformlen
Eksempel:
Asmaa optager et lån på
25.175 kr. i en bank, og
tilbagebetaler lånet med
3.300 kr. pr. år.
Hvor mange år går der
før lånet er tilbagebetalt,
når hun betaler 10 % i
årlig rente?
G = 25.175 kr
y = 3.300 kr
r = 10 %
1 – (1 + r)–n
G=y·
r
Gæt (n =)
giver hovedstol (G)
20 år
HUSK: På lommeregneren tastes:
3300·(1–(1+0,10)
–20)/0,10
- Og husk parenteserne!
Afbetalingsformlen
Eksempel:
Asmaa optager et lån på
25.175 kr. i en bank, og
tilbagebetaler lånet med
3.300 kr. pr. år.
Hvor mange år går der
før lånet er tilbagebetalt,
når hun betaler 10 % i
årlig rente?
G = 25.175 kr
y = 3.300 kr
r = 10 %
1 – (1 + r)–n
G=y·
r
Gæt (n =)
giver hovedstol (G)
20 år
HUSK: På lommeregneren tastes:
3300·(1–(1+0,10)
–20)/0,10
- Og husk parenteserne!
Afbetalingsformlen
Eksempel:
Asmaa optager et lån på
25.175 kr. i en bank, og
tilbagebetaler lånet med
3.300 kr. pr. år.
Hvor mange år går der
før lånet er tilbagebetalt,
når hun betaler 10 % i
årlig rente?
G = 25.175 kr
y = 3.300 kr
r = 10 %
1 – (1 + r)–n
G=y·
r
Gæt (n =)
giver hovedstol (G)
20 år
HUSK: På lommeregneren tastes:
3300·(1–(1+0,10)
–20)/0,10
- Og husk parenteserne!
Afbetalingsformlen
Eksempel:
Asmaa optager et lån på
25.175 kr. i en bank, og
tilbagebetaler lånet med
3.300 kr. pr. år.
Hvor mange år går der
før lånet er tilbagebetalt,
når hun betaler 10 % i
årlig rente?
G = 25.175 kr
y = 3.300 kr
r = 10 %
1 – (1 + r)–n
G=y·
r
Gæt (n =)
giver hovedstol (G)
20 år
28.094,76 kr
HUSK: På lommeregneren tastes:
3300·(1–(1+0,10)
–20)/0,10
- Og husk parenteserne!
Afbetalingsformlen
Eksempel:
Asmaa optager et lån på
25.175 kr. i en bank, og
tilbagebetaler lånet med
3.300 kr. pr. år.
Hvor mange år går der
før lånet er tilbagebetalt,
når hun betaler 10 % i
årlig rente?
G = 25.175 kr
y = 3.300 kr
r = 10 %
1 – (1 + r)–n
G=y·
r
Gæt (n =)
giver hovedstol (G)
20 år
28.094,76 kr
10 år
20.277,07 kr
15 år
25.100.06 kr
15,1 år
25.175,00 kr
Og sådan fortsættes med at
gætte, indtil G (hovedstolen) er
”nøjagtig nok”!
Afbetalingsformlen
Eksempel:
Asmaa optager et lån på
25.175 kr. i en bank, og
tilbagebetaler lånet med
3.300 kr. pr. år.
Hvor mange år går der
før lånet er tilbagebetalt,
når hun betaler 10 % i
årlig rente?
G = 25.175 kr
y = 3.300 kr
r = 10 %
1 – (1 + r)–n
G=y·
r
Gæt (n =)
giver hovedstol (G)
20 år
28.094,76 kr
10 år
20.277,07 kr
15 år
25.100.06 kr
15,1 år
25.175,00 kr
Asmaa betaler altså lånet tilbage i
løbet af 15,1 år.
Opsparingsformlen
Opsparingsformlen
Opsparingsformlen
Der er mange måder at spare op på, og en af disse (og den
mest almindelige) er den såkaldte annuitetsopsparing, hvor
man hver termin indsætter et fast beløb på en konto.
En termin er oftest en måned, et kvartal, et halvår eller et år.
Hver termin – samtidig med indbetalingen på kontoen –
tilskrives der rente af det beløb, der allerede står på kontoen.
Kontoens saldo (indeståendet) findes som seneste indbetaling
plus renten af den seneste saldo.
Bemærk, at vi regner med, at rentefoden er den samme i hele
opsparingsperioden.
(Dette er ikke altid tilfældet i virkeligheden, men det er vi
nødt til at forudsætte, for at kunne bruge formlen!)
Opsparingsformlen
Lad os se på et eksempel:
Indbetaling pr. termin =
2.000 kr
Rentefoden pr. termin =
8%
Opsparingsformlen
Lad os se på et eksempel:
Termin
Indbetaling pr. termin =
2.000 kr
Rentefoden pr. termin =
8%
0
Efter den 1. indbetaling er
der naturligvis ingen
rentetilskrivning, da
beløbet først lige er indsat.
5
1
2
3
4
6
7
8
Indbetaling
Rente i kr
Saldo (S)
2.000,00
0,00
2.000,00
Opsparingsformlen
Lad os se på et eksempel:
Termin
Indbetaling
Rente i kr
Saldo (S)
Indbetaling pr. termin =
2.000 kr
Rentefoden pr. termin =
8%
0
2.000,00
0,00
2.000,00
1
2.000,00
160,00
Efter den 2. indbetaling er
der rentetilskrivning af den
første indbetaling samt
yderligere én indbetaling.
5
2
3
4
6
7
8
R = 2.000,00 · 0,08 = 160,00
Opsparingsformlen
Lad os se på et eksempel:
Termin
Indbetaling
Rente i kr
Saldo (S)
Indbetaling pr. termin =
2.000 kr
Rentefoden pr. termin =
8%
0
2.000,00
0,00
2.000,00
1
2.000,00
160,00
4.160,00
Efter den 2. indbetaling er
der rentetilskrivning af den
første indbetaling samt
yderligere én indbetaling.
5
2
3
4
6
7
8
S = 2.000 + 2000 · 1,08 = 4.160,00
Opsparingsformlen
Lad os se på et eksempel:
Termin
Indbetaling
Rente i kr
Saldo (S)
Indbetaling pr. termin =
2.000 kr
Rentefoden pr. termin =
8%
0
2.000,00
0,00
2.000,00
1
2.000,00
160,00
4.160,00
2
2.000,00
332,80
Efter den 3. indbetaling er
der rentetilskrivning af
indeståendet efter de første
to indbetalinger samt
yderligere én indbetaling.
5
3
4
6
7
8
R = 4.160,00 · 0,08 = 332,80
Opsparingsformlen
Lad os se på et eksempel:
Termin
Indbetaling
Rente i kr
Saldo (S)
Indbetaling pr. termin =
2.000 kr
Rentefoden pr. termin =
8%
0
2.000,00
0,00
2.000,00
1
2.000,00
160,00
4.160,00
2
2.000,00
332,80
6.492,80
Efter den 3. indbetaling er
der rentetilskrivning af
indeståendet efter de første
to indbetalinger samt
yderligere én indbetaling.
5
3
4
6
7
8
S = 2.000 + 4.160 · 1,08 = 6.492,80
Opsparingsformlen
Lad os se på et eksempel:
Termin
Indbetaling
Rente i kr
Saldo (S)
Indbetaling pr. termin =
2.000 kr
Rentefoden pr. termin =
8%
0
2.000,00
0,00
2.000,00
1
2.000,00
160,00
4.160,00
2
2.000,00
332,80
6.492,80
3
2.000,00
519,42
Efter den 4. indbetaling er
der rentetilskrivning af
indeståendet efter de første
tre indbetalinger samt
yderligere én indbetaling.
5
4
6
7
8
R = 6.492,80 · 0,08 = 519,42
Opsparingsformlen
Lad os se på et eksempel:
Termin
Indbetaling
Rente i kr
Saldo (S)
Indbetaling pr. termin =
2.000 kr
Rentefoden pr. termin =
8%
0
2.000,00
0,00
2.000,00
1
2.000,00
160,00
4.160,00
2
2.000,00
332,80
6.492,80
3
2.000,00
519,42
9.012,22
Efter den 4. indbetaling er
der rentetilskrivning af
indeståendet efter de første
tre indbetalinger samt
yderligere én indbetaling.
5
4
6
7
8
S = 2.000 + 6.492,80 · 1,08 = 9.012,22
Opsparingsformlen
Lad os se på et eksempel:
Termin
Indbetaling
Rente i kr
Saldo (S)
Indbetaling pr. termin =
2.000 kr
Rentefoden pr. termin =
8%
0
2.000,00
0,00
2.000,00
1
2.000,00
160,00
4.160,00
2
2.000,00
332,80
6.492,80
3
2.000,00
519,42
9.012,22
4
2.000,00
720,98
11.733,20
… osv. for de følgende
terminer, indtil man har
nået det ønskede
indestående
5
2.000,00
938,66
14.671,86
6
2.000,00
1.173,75
17.845,61
7
2.000,00
1.427,65
21.273,26
8
2.000,00
1.701,86
24.975,12
Opsparingsformlen
Lad os se på et eksempel:
Termin
Indbetaling
Rente i kr
Saldo (S)
Indbetaling pr. termin =
2.000 kr
Rentefoden pr. termin =
8%
0
2.000,00
0,00
2.000,00
1
2.000,00
160,00
4.160,00
2
2.000,00
332,80
6.492,80
3
2.000,00
519,42
9.012,22
4
2.000,00
720,98
11.733,20
Man ser, et kontoen efter
blot 8 terminer har nået et
indestående på næsten
25.000 kr, selv om der kun
er indsat i alt 18.000 kr på
kontoen!
5
2.000,00
938,66
14.671,86
6
2.000,00
1.173,75
17.845,61
7
2.000,00
1.427,65
21.273,26
8
2.000,00
1.701,86
24.975,12
Man har med andre ord fået næsten
7.000 kr i rentetilskrivning!
Opsparingsformlen
Lad os se nu opstille formlen for opsparing, også kaldet
opsparingsformlen:
(1 + r)n – 1
S=b·
r
- hvor:
S = saldoen (indeståendet) på kontoen lige efter sidste
indbetaling er foretaget
b = beløbet, der indbetales hver termin
r = rentefoden pr. termin, skrevet som decimaltal
n = antallet af terminer/indbetalinger
Opsparingsformlen
Lad os se nu opstille formlen
for opsparing, også kaldet
Bemærk, at rentefoden normalt opgives i
opsparingsformlen:
procent, men at man i formlen skal
S=b·
- hvor:
bruge den som decimaltal.
n
(1
+
r)
–1
Altså…
r som 0,05
5 % skrives
12,5 % skrives som 0,125 og
% skrives
som
0,0075
S = saldoen (indeståendet) 0,75
på kontoen
lige
efter
sidste
indbetaling er foretaget
b = beløbet, der indbetales hver termin
r = rentefoden pr. termin, skrevet som decimaltal
n = antallet af terminer/indbetalinger
Opsparingsformlen
Lad os se nu opstille formlen
for opsparing, også kaldet
Bemærk også, at der tale om rentefoden
opsparingsformlen:
pr. termin og ikke nødvendigvis pr. år.
S=b·
Er rentefoden
n pr. år = 12 % og tilskrives
(1 +
–1
rente
pr. r)
måned,
er rentefoden pr. termin
= 1 %, og r
er rentefoden pr. år = 8 % og tilskrives
- hvor:
rente pr. kvartal, er rentefoden pr. termin
%,
S = saldoen (indeståendet) =på2 kontoen
lige efter sidste
indbetaling er foretaget
b = beløbet, der indbetales hver termin
r = rentefoden pr. termin, skrevet som decimaltal
n = antallet af terminer/indbetalinger
Opsparingsformlen
Da opsparingsformlen indeholder 4 variable, vil der også være
4 mulige opgavetyper, når vi regner med opsparing:
(1 + r)n – 1
S=b·
r
1.
Vi skal beregne S – dvs. at vi skal finde værdien af
opsparingen. Vi kender vores indbetaling pr. termin (b),
rentesatsen (r) og tiden vi bruger på opsparingen (n).
Hvor stort et beløb opspares, hvis man indbetaler 5.000 kr.
pr. år (b) i 10 år (n), og banken giver 5 % i rente pr. år (r)?
Opsparingsformlen
Da opsparingsformlen indeholder 4 variable, vil der også være
4 mulige opgavetyper, når vi regner med opsparing:
(1 + r)n – 1
S=b·
r
2.
Vi skal beregne b – dvs. at vi skal finde indbetalingen pr.
termin. Vi ved, hvilket beløb, vi vil opspare (S), rentesatsen
(r) og tiden vi bruger på opsparingen (n).
Hvor stort et beløb skal indsættes pr. kvartal på en konto,
hvis man på 5 år (n) vil opspare 125.000 kr. (S) når banken
giver 1,5 % i rente pr. kvartal (r)?
Opsparingsformlen
Da opsparingsformlen indeholder 4 variable, vil der også være
4 mulige opgavetyper, når vi regner med opsparing:
(1 + r)n – 1
S=b·
r
3.
Vi skal beregne r – dvs. at vi skal finde procentsatsen, vores
penge forrentes med. Vi kender beløbet, der skal opspares
(S), indbetalingen pr. termin (r) og opsparingstiden (n).
Hvor mange procent får man i årlig rente, hvis man årligt
indsætter 4.000 kr (b) på en konto og efter 12 år (n) har
400.000 kr (S) på kontoen?
Opsparingsformlen
Da opsparingsformlen indeholder 4 variable, vil der også være
4 mulige opgavetyper, når vi regner med opsparing:
(1 + r)n – 1
S=b·
r
4.
Vi skal beregne n – dvs. at vi skal finde opsparingstiden. Vi
ved, hvilket beløb, vi vil opspare (S), det beløb, der
indsættes pr. termin (b) samt rentesatsen (r).
Hvor mange måneder skal der gå, hvis man med en
månedlig indbetaling på 200 kr (b) kan opspare 100.000 kr
(S), når man får 0,25 % i rente pr. måned (r)?
Opsparingsformlen
Eksempler
Beregning af S
Opsparingsformlen
Eksempel 1:
Esra indsætter hver
måned 600 kr i en bank,
der giver en månedlig
rente på 0,7 %.
Hvor mange penge har
Esra opsparet efter 36
måneder?
S=b·
(1 + r)n – 1
r
Opsparingsformlen
Eksempel 1:
Esra indsætter hver
måned 600 kr i en bank,
der giver en månedlig
rente på 0,7 %.
Hvor mange penge har
Esra opsparet efter 36
måneder?
b = 600 kr
r = 0,7 % pr. måned
n = 36 måneder
S=b·
(1 + r)n – 1
r
(1 + 0,007)36 – 1
S = 600 ·
0,007
Opsparingsformlen
Eksempel 1:
Esra indsætter hver
måned 600 kr i en bank,
der giver en månedlig
rente på 0,7 %.
Hvor mange penge har
Esra opsparet efter 36
måneder?
b = 600 kr
r = 0,7 % pr. måned
n = 36 måneder
S=b·
(1 + r)n – 1
r
(1 + 0,007)36 – 1
S = 600 ·
0,007
På lommeregneren tastes:
600·((1+0,007)
36-1)/0,007
Opsparingsformlen
Eksempel 1:
Esra indsætter hver
måned 600 kr i en bank,
der giver en månedlig
rente på 0,7 %.
Hvor mange penge har
Esra opsparet efter 36
måneder?
b = 600 kr
r = 0,7 % pr. måned
n = 36 måneder
S=b·
(1 + r)n – 1
r
(1 + 0,007)36 – 1
S = 600 ·
0,007
På lommeregneren tastes:
600·((1+0,007)
36-1)/0,007
Bemærk parenteserne!
De skal med, når du taster
ind på lommeregneren!
Opsparingsformlen
Eksempel 1:
Esra indsætter hver
måned 600 kr i en bank,
der giver en månedlig
rente på 0,7 %.
Hvor mange penge har
Esra opsparet efter 36
måneder?
b = 600 kr
r = 0,7 % pr. måned
n = 36 måneder
S=b·
(1 + r)n – 1
r
(1 + 0,007)36 – 1
S = 600 ·
0,007
På lommeregneren tastes:
600·((1+0,007)
S = 24.468,60
36-1)/0,007
Opsparingsformlen
Eksempel 1:
Esra indsætter hver
måned 600 kr i en bank,
der giver en månedlig
rente på 0,7 %.
Hvor mange penge har
Esra opsparet efter 36
måneder?
b = 600 kr
r = 0,7 % pr. måned
n = 36 måneder
S=b·
(1 + r)n – 1
r
(1 + 0,007)36 – 1
S = 600 ·
0,007
På lommeregneren tastes:
600·((1+0,007)
36-1)/0,007
S = 24.468,60
Esra har opsparet 24.468,60 kr.
Opsparingsformlen
Eksempel 2:
Per indsætter hvert
halvår 2.960 kr i en bank,
der giver en halvårlig
rente på 7,5 %.
Hvad er kontoens saldo
efter 25 år?
b = 2.960 kr
r = 7,5 % pr. halvår
n = 25·2 = 50 halvår
S=b·
(1 + r)n – 1
r
(1 + 0,075)50 – 1
S = 2.960 ·
0,075
På lommeregneren tastes:
2960·((1+0,075)
50-1)/0,075
S = 1.428.288,64
Saldoen er på 1.428.288,64 kr.
Opsparingsformlen
Eksempler
Beregning af b
Opsparingsformlen
Vi skal nu ændre formlen, idet
b skal isoleres (stå alene)
S=b·
(1 + r)n – 1
r
Opsparingsformlen
Vi skal nu ændre formlen, idet
b skal isoleres (stå alene)
S=b·
Dette gøres ved at gange med
”r” på begge sider, altså…
S·r = b·((1 + r)n – 1)
(1 + r)n – 1
r
Opsparingsformlen
Vi skal nu ændre formlen, idet
b skal isoleres (stå alene)
S=b·
Dette gøres ved at gange med
”r” på begge sider, altså…
S·r = b·((1 + r)n – 1)
Dernæst divideres med
parentesen på begge sider…
(1 + r)n – 1
r
S·r
=b
((1 + r)n – 1)
Opsparingsformlen
Vi skal nu ændre formlen, idet
b skal isoleres (stå alene)
S=b·
Dette gøres ved at gange med
”r” på begge sider, altså…
S·r = b·((1 + r)n – 1)
(1 + r)n – 1
r
Dernæst divideres med
parentesen på begge sider…
S·r
=b
((1 + r)n – 1)
- hvilket giver følgende formel
til at finde indbetalingen, b…
b=
S·r
(1 + r)n – 1
Opsparingsformlen
Eksempel 1:
Ib vil spare 125.000 kr op
til en bil, som han vil
købe om 5 år.
Hvor meget skal han
indsætte pr. måned på en
konto, der giver 0,5 % pr.
måned i rente for at nå
dette beløb?
b=
S·r
(1 + r)n – 1
Opsparingsformlen
Eksempel 1:
Ib vil spare 125.000 kr op
til en bil, som han vil
købe om 5 år.
Hvor meget skal han
indsætte pr. måned på en
konto, der giver 0,5 % pr.
måned i rente for at nå
dette beløb?
S = 125.000 kr
r = 0,5 % pr. måned
n = 5·12 = 60 måneder
b=
S·r
(1 + r)n – 1
b = 125.000·0,005
60
(1 + 0,005)
–1
Opsparingsformlen
Eksempel 1:
Ib vil spare 125.000 kr op
til en bil, som han vil
købe om 5 år.
Hvor meget skal han
indsætte pr. måned på en
konto, der giver 0,5 % pr.
måned i rente for at nå
dette beløb?
S = 125.000 kr
r = 0,5 % pr. måned
n = 5·12 = 60 måneder
b=
S·r
(1 + r)n – 1
b = 125.000·0,005
60
(1 + 0,005)
–1
På lommeregneren tastes:
125.000·0,005/((1+0,005)
60-1)
Opsparingsformlen
Eksempel 1:
Ib vil spare 125.000 kr op
til en bil, som han vil
købe om 5 år.
Hvor meget skal han
indsætte pr. måned på en
konto, der giver 0,5 % pr.
måned i rente for at nå
dette beløb?
S = 125.000 kr
r = 0,5 % pr. måned
n = 5·12 = 60 måneder
b=
S·r
(1 + r)n – 1
b = 125.000·0,005
60
(1 + 0,005)
–1
På lommeregneren tastes:
125.000·0,005/((1+0,005)
60-1)
Bemærk parenteserne!
De skal med, når du taster
ind på lommeregneren!
Opsparingsformlen
Eksempel 1:
Ib vil spare 125.000 kr op
til en bil, som han vil
købe om 5 år.
Hvor meget skal han
indsætte pr. måned på en
konto, der giver 0,5 % pr.
måned i rente for at nå
dette beløb?
S = 125.000 kr
r = 0,5 % pr. måned
n = 5·12 = 60 måneder
b=
S·r
(1 + r)n – 1
b = 125.000·0,005
60
(1 + 0,005)
–1
På lommeregneren tastes:
125.000·0,005/((1+0,005)
b = 1.791,60
60-1)
Opsparingsformlen
Eksempel 1:
Ib vil spare 125.000 kr op
til en bil, som han vil
købe om 5 år.
Hvor meget skal han
indsætte pr. måned på en
konto, der giver 0,5 % pr.
måned i rente for at nå
dette beløb?
S = 125.000 kr
r = 0,5 % pr. måned
n = 5·12 = 60 måneder
b=
S·r
(1 + r)n – 1
b = 125.000·0,005
60
(1 + 0,005)
–1
På lommeregneren tastes:
125.000·0,005/((1+0,005)
60-1)
b = 1.791,60
Ib skal indsætte 1.791,60 kr.
Opsparingsformlen
Eksempel 2:
Muhammed vil om 10 år
købe en kiosk, der koster
85.000 kr.
Hvor meget skal han
indsætte pr. kvartal på en
konto, der giver 2 % pr.
kvartal i rente for at nå
dette beløb?
S = 85.000 kr
r = 2 % pr. kvartal
n = 10·4 = 40 kvartaler
b=
b=
S·r
(1 + r)n – 1
85.000·0,02
(1 + 0,02)40 – 1
På lommeregneren tastes:
85.000·0,02/((1+0,02)
40-1)
b = 1.407,24
Muhammed skal indsætte
1.407,24 kr.
Opsparingsformlen
Eksempler
”Beregning” af r
Opsparingsformlen
Vi skal nu ændre på formlen,
således at r skal isoleres (stå
alene), fordi det er netop r, der
skal beregnes.
Problemet er bare, at det ikke
er muligt at isolere r i
opsparingsformlen.
Derfor er vi nødt til at prøve
os frem med forskellige
værdier af r – eller komme med
kvalificerede gæt.
S=b·
(1 + r)n – 1
r
Opsparingsformlen
Eksempel:
Hans ønsker at opspare
56.600 kr. ved at indsætte
500 kr. pr. måned i en bank
i en periode på 2½ år (30
måneder).
Hvor mange procent pr.
måned skal banken give i
rente for at det kan lade
sig gøre?
S = 56.600 kr
b = 500 kr
n = 2½·12 = 30 måneder
S=b·
(1 + r)n – 1
r
Opsparingsformlen
Eksempel:
Hans ønsker at opspare
56.600 kr. ved at indsætte
500 kr. pr. måned i en bank
i en periode på 2½ år (30
måneder).
Hvor mange procent pr.
måned skal banken give i
rente for at det kan lade
sig gøre?
S = 56.600 kr
b = 500 kr
n = 2½·12 = 30 måneder
S=b·
Gæt (r =)
1%
(1 + r)n – 1
r
giver saldo (S) på
Opsparingsformlen
Eksempel:
Hans ønsker at opspare
56.600 kr. ved at indsætte
500 kr. pr. måned i en bank
i en periode på 2½ år (30
måneder).
Hvor mange procent pr.
måned skal banken give i
rente for at det kan lade
sig gøre?
S = 56.600 kr
b = 500 kr
n = 2½·12 = 30 måneder
S=b·
Gæt (r =)
(1 + r)n – 1
r
giver saldo (S) på
1%
HUSK: På lommeregneren tastes:
500·((1+0,01)
30-1)/0,01
- Og husk parenteserne!
Opsparingsformlen
Eksempel:
Hans ønsker at opspare
56.600 kr. ved at indsætte
500 kr. pr. måned i en bank
i en periode på 2½ år (30
måneder).
Hvor mange procent pr.
måned skal banken give i
rente for at det kan lade
sig gøre?
S = 56.600 kr
b = 500 kr
n = 2½·12 = 30 måneder
S=b·
Gæt (r =)
(1 + r)n – 1
r
giver saldo (S) på
1%
HUSK: På lommeregneren tastes:
500·((1+0,01)
30-1)/0,01
- Og husk parenteserne!
Opsparingsformlen
Eksempel:
Hans ønsker at opspare
56.600 kr. ved at indsætte
500 kr. pr. måned i en bank
i en periode på 2½ år (30
måneder).
Hvor mange procent pr.
måned skal banken give i
rente for at det kan lade
sig gøre?
S = 56.600 kr
b = 500 kr
n = 2½·12 = 30 måneder
S=b·
Gæt (r =)
(1 + r)n – 1
r
giver saldo (S) på
1%
HUSK: På lommeregneren tastes:
500·((1+0,01)
30-1)/0,01
- Og husk parenteserne!
Opsparingsformlen
Eksempel:
Hans ønsker at opspare
56.600 kr. ved at indsætte
500 kr. pr. måned i en bank
i en periode på 2½ år (30
måneder).
Hvor mange procent pr.
måned skal banken give i
rente for at det kan lade
sig gøre?
S = 56.600 kr
b = 500 kr
n = 2½·12 = 30 måneder
S=b·
Gæt (r =)
1%
(1 + r)n – 1
r
giver saldo (S) på
17.392,45
HUSK: På lommeregneren tastes:
500·((1+0,01)
30-1)/0,01
- Og husk parenteserne!
Opsparingsformlen
Eksempel:
Hans ønsker at opspare
56.600 kr. ved at indsætte
500 kr. pr. måned i en bank
i en periode på 2½ år (30
måneder).
Hvor mange procent pr.
måned skal banken give i
rente for at det kan lade
sig gøre?
S = 56.600 kr
b = 500 kr
n = 2½·12 = 30 måneder
S=b·
Gæt (r =)
(1 + r)n – 1
r
giver saldo (S) på
1%
17.392,45
10 %
82.247,01
7%
47.230,39
9%
68.153,77
8%
56.641,61
Og sådan fortsættes med at
gætte, indtil S (saldoen) er
“nøjagtig nok”!
Opsparingsformlen
Eksempel:
Hans ønsker at opspare
56.600 kr. ved at indsætte
500 kr. pr. måned i en bank
i en periode på 2½ år (30
måneder).
Hvor mange procent pr.
måned skal banken give i
rente for at det kan lade
sig gøre?
S = 56.600 kr
b = 500 kr
n = 2½·12 = 30 måneder
S=b·
Gæt (r =)
(1 + r)n – 1
r
giver saldo (S) på
1%
17.392,45
10 %
82.247,01
7%
47.230,39
9%
68.153,77
8%
56.641,61
Hans skal altså håbe på, at
banken vil give 8 % pr. måned!
Opsparingsformlen
Eksempler
”Beregning” af n
Opsparingsformlen
Vi skal nu ændre på formlen,
således at n skal isoleres (stå
alene), fordi det er netop n, der
skal beregnes.
For at isolere n i opsparingsformlen, skal vi have gang i
logaritmer.
Det er derfor nemmere – som
da vi skulle finde r – at prøve
os frem med forskellige værdier
af n – eller komme med
kvalificerede gæt.
S=b·
(1 + r)n – 1
r
Opsparingsformlen
Eksempel:
Ismail vil opspare 36.500 kr.
ved at indsætte 900 kr. pr.
kvartal i en bank, der giver
2 % pr. kvartal i rente.
Hvor mange kvartaler skal
Ismail blive ved med at
spare, for at det kan lade sig
gøre?
S = 36.500 kr
b = 900 kr
r=2%
S=b·
(1 + r)n – 1
r
Opsparingsformlen
Eksempel:
Ismail vil opspare 36.500 kr.
ved at indsætte 900 kr. pr.
kvartal i en bank, der giver
2 % pr. kvartal i rente.
Hvor mange kvartaler skal
Ismail blive ved med at
spare, for at det kan lade sig
gøre?
S = 36.500 kr
b = 900 kr
r=2%
S=b·
Gæt (n =)
5 år
(1 + r)n – 1
r
giver saldo (S) på
Opsparingsformlen
Eksempel:
Ismail vil opspare 36.500 kr.
ved at indsætte 900 kr. pr.
kvartal i en bank, der giver
2 % pr. kvartal i rente.
Hvor mange kvartaler skal
Ismail blive ved med at
spare, for at det kan lade sig
gøre?
S = 36.500 kr
b = 900 kr
r=2%
S=b·
Gæt (n =)
(1 + r)n – 1
r
giver saldo (S) på
5 år
HUSK: På lommeregneren tastes:
900·((1+0,02)
20-1)/0,02
- Og husk parenteserne!
Opsparingsformlen
Eksempel:
Ismail vil opspare 36.500 kr.
ved at indsætte 900 kr. pr.
kvartal i en bank, der giver
2 % pr. kvartal i rente.
Hvor mange kvartaler skal
Ismail blive ved med at
spare, for at det kan lade sig
gøre?
S = 36.500 kr
b = 900 kr
r=2%
S=b·
Gæt (n =)
(1 + r)n – 1
r
giver saldo (S) på
5 år
HUSK: På lommeregneren tastes:
900·((1+0,02)
20-1)/0,02
- Og husk parenteserne!
Opsparingsformlen
Eksempel:
Ismail vil opspare 36.500 kr.
ved at indsætte 900 kr. pr.
kvartal i en bank, der giver
2 % pr. kvartal i rente.
Hvor mange kvartaler skal
Ismail blive ved med at
spare, for at det kan lade sig
gøre?
S = 36.500 kr
b = 900 kr
r=2%
S=b·
Gæt (n =)
(1 + r)n – 1
r
giver saldo (S) på
20 kvart.
HUSK: På lommeregneren tastes:
900·((1+0,02)
20-1)/0,02
- Og husk parenteserne!
Opsparingsformlen
Eksempel:
Ismail vil opspare 36.500 kr.
ved at indsætte 900 kr. pr.
kvartal i en bank, der giver
2 % pr. kvartal i rente.
Hvor mange kvartaler skal
Ismail blive ved med at
spare, for at det kan lade sig
gøre?
S = 36.500 kr
b = 900 kr
r=2%
S=b·
Gæt (n =)
20 kvart.
(1 + r)n – 1
r
giver saldo (S) på
21.867,63
HUSK: På lommeregneren tastes:
900·((1+0,02)
20-1)/0,02
- Og husk parenteserne!
Opsparingsformlen
Eksempel:
Ismail vil opspare 36.500 kr.
ved at indsætte 900 kr. pr.
kvartal i en bank, der giver
2 % pr. kvartal i rente.
Hvor mange kvartaler skal
Ismail blive ved med at
spare, for at det kan lade sig
gøre?
S = 36.500 kr
b = 900 kr
r=2%
S=b·
Gæt (n =)
(1 + r)n – 1
r
giver saldo (S) på
20 kvart.
21.867,63
40 kvart.
54.361,78
30 kvart.
36.511,27
Og sådan fortsættes med at
gætte, indtil S (saldoen) er
”nøjagtig nok”!
Opsparingsformlen
Eksempel:
Ismail vil opspare 36.500 kr.
ved at indsætte 900 kr. pr.
kvartal i en bank, der giver
2 % pr. kvartal i rente.
Hvor mange kvartaler skal
Ismail blive ved med at
spare, for at det kan lade sig
gøre?
S = 36.500 kr
b = 900 kr
r=2%
S=b·
Gæt (n =)
(1 + r)n – 1
r
giver saldo (S) på
20 kvart.
21.867,63
40 kvart.
54.361,78
30 kvart.
36.511,27
Ismail kan spare beløbet op over
30 kvartaler (= 7½ år).
(1 + r)n – 1
S=b·
r
Annuitet
1 – (1 + r)–n
G=y·
r