Transcript Kütle varyans* için hipotez testi

Kütle varyansı için hipotez testi
• Bilindiği gibi normla bir kütleden alınan n birimlik bir örneğin
varyansı için
 n 1 
2
( n  1) S

2
2
• n-1 serbestlik derecesi ile Ki-kare dağılımına uymaktadır.
• Ki-kare dağılımı kullanılarak varyanslar test edilir.
• Problem: Bir makinede üretilen millerin çapının varyansının 0,002
mm olduğu bildirilmiştir.Atölye şefi bu makinenin ayarının
bozulması sebebiyle varyansının arttığını düşünmektedir. Bunun
için makinenin ürettiği millerden rasgele 20 tanesi seçilip çapları
ölçülüyor ve varyansının 0,004 mm olduğu görülüyor. Buna göre
makinenin ayarı bozulmuş mudur? Yani varyans artmış mıdır? %5
anlam düzeyinde karar veriniz.
Problem - Çözüm
•
•
•
•
•
H0 : 2 = 0,002
H1 : 2 > 0,002
Anlam düzeyi : = 0,05
Kritik dağılım değeri: 20,05,20-1 20,05,19 = 30,1
Test istatistiği:

2

( n  1) S

2
2

( 20  1) 0 , 004
 
2
 38
0 , 002
• Karar: 2deneysel =38 > 20,05,19=30,1
olduğundan H0 hipotezi reddedilir.
Yani makinenin ayarı bozulmuş,
dolayısıyla varyans artmıştır.
Varyans oranlarının testi
• Bir çok araştırmada incelenen iki anakütlenin
varyanslarının birbirine eşit olup olmadığı kontrol edilmek
istenir. İki farklı ölçme yönteminin hassasiyetlerinin
karşılaştırılması, iki farklı yöntemle üretilen mamullerin
değişkenliklerinin homojenliğinin karşılaştırılmaları hep iki
varyansın birbirine eşit olup olmadığına ilişkin hipotezlerin
kontrolü ile yapılır. Ayrıca daha önceki kısımlarda
incelediğimiz iki kütle ortalamasının farkının test
edilmesinde varyansların eşit olup olmamasına göre farklı
uygulama yapılmaktaydı. Bu ve benzer sebeplerle iki
kütlenin varyanslarının karşılaştırılması istenebilir.
Varyans oranlarının testi
• İki kütleden çekilen X11, X12,........, X1m ve X21, X22,........,
X2n iki örneğin varyansları 12 ve 22 olan normal bir
dağılıma sahip kütleden alınmış m ve n birimlik rassal
örnekler olsun. S12 ve S22; 12 ve 22 nin eğilimsiz tahmin
edicileri ise;
2
2
•
S 
F 
1
1
S2  2
2
2
• nin dağılımı m-1 ve n-1 serbestlik dereceli F dağılımına
uyar. Elde edilen bu F değeri m-1 ve n-1 serbestlik
dereceli F teorik dağılım değeri ile karşılaştırılarak
hipotezler hakkında karar verilir.
Problem
• Aynı işi yapan iki işçinin bu işi yapım sürelerinin
varyanslarının eşit olup olmadığı karşılaştırılmak isteniyor.
Bu amaçla 1. işçinin yaptığı rasgele 13 iş gözlemlenmiş
varyansının 25 dk. olduğu görülmüştür. Aynı şekilde 2.
işçinin yaptığı 16 iş gözlemlenmiş varyansının 40 dk.
olduğu görülmüştür. İki işçinin bu işi yapım sürelerinin
varyanslarının farklı olup olmadığını %5 anlam düzeyinde
test edip karar veriniz.
Problem - Çözüm
H0 : 12 = 22
H1 : 12 ≠ 22
Anlam düzeyi: = 0,05 olup hipotez çift taraflıdır.
F/2,m-1,n-1= F0,05/2,13-1,16-1 F0,025,12,15= 2,96
F1- /2,m-1,n-1= F0,975,12,15= 1/F0,025,15,12= 1/3,18 F=0,314
olur.
• Test istatistiği:
•
•
•
•
•
2
F 
S1
S
2
2

25
40
 F deneysel  0 , 625
Problem - Çözüm
• Karar: Fdeneysel = 0,625 > F0,975,12,15 = 0,314 olduğundan H0
kabul edilir. Yani iki işçinin bu işi yapma varyanslarının farklı
olduğunu söylemek mümkün değildir.
Problem
• A marka ve model otomobillerin 100 Km yolda
tükettikleri yakıt miktarının şehir içi ve şehir dışı
ortamlarda farklı olup olmadığı araştırılıyor. Bu
amaçla şehir içinde yapılan 20 denemede tüketilen
yakıt miktarının ortalamasının 10,7 litre, varyansının
6,76 litre olduğu gözlemlenmiştir. Aynı araçların şehir
dışında tükettikleri yakıt miktarının belirlenmesi için
22 gözlem yapılmış ve ortalaması 9,3, varyansı 12,96
litre olduğu görülmüştür.
• Yukarıdaki verilere göre bu araçların şehir içi yakıt
tüketiminin şehir dışı tüketiminden fazla olup
olmadığını %5 anlam düzeyinde test ederek karar
veriniz. (kütle varyanslarını eşit kabul ederek)
Problem
• Şehir dışı yakıt tüketiminin varyansı için üretici
firma yetkilileri 7,7 litre olduğunu bildirmişlerdir.
Yukarıdaki örnekte yapılan gözlemlere dayanarak
bu iddianın geçerliliğini %5 anlam düzeyinde test
ederek karar veriniz.
• Hipotez kabul edilebilir olması için %5 anlam
düzeyinde örnek varyansı en fazla ne malıdır?
Problem
• Üretici firma yetkilileri bu araçların şehir içi ve
şehir dışında tükettikleri yakıt miktarının aynı
olduğunu bildirmiştir. Yukarıdaki örnekteki
verileri dikkate alarak şehir içi yakıt tüketiminin
varyansının şehir dışı yakıt tüketiminin
varyansından farklı olup olmadığının %5 anlam
düzeyinde test ederek karar veriniz.
• Verilen karara göre şehir içi ve şehir dışı yakıt
tüketiminin ortalamalarının farkını %95 güvenle
belirleyiniz.