Física: Repaso Matemático, Vectores y Sistemas de Referencia

Dictado por:

Profesor Aldo Valcarce 2 do semestre 2014 FIS109A – 2: Física 2 do semestre 2014

Fechas de pruebas

C1: Miércoles 13 de agosto (8:30 hrs cátedra ) C2: Viernes 29 de agosto (14:00 hrs) I1: Lunes 8 septiembre (18:30 hrs) C3: Viernes 26 de septiembre (14:00 hrs) C4: Viernes 3 de octubre (14:00 hrs) I2: Lunes 13 octubre (18:30 hrs) C5: Viernes 24 de octubre (14:00 hrs) I3: Lunes 10 noviembre (18:30 hrs) C6: Viernes 14 de noviembre (14:00 hrs) Ex: Martes 2 diciembre (8:30 hrs) FIS109A – 2: Física 2 do semestre 2014

Repaso Matemático

Notación científica:

es un modo conciso de representar números mediante la técnica llamada coma flotante aplicada al sistema decimal.

10 0 = 1 ; 10 1 = 10 ; 10 2 = 100 ; 10 3 = 1000 ; 10 4 = 10000 El resultado de la potencia 𝟏𝟎 𝒏 es igual a la unidad (𝟏) seguida de 𝒏 ceros.

En el caso de una potencia entera negativa 𝟏𝟎 −𝒏 es igual a 𝟏/𝟏𝟎 𝒏 , o equivalentemente ‘ 0, (𝑛 − FIS109A – 2: Física 2 do semestre 2014

Repaso Matemático

Notación científica – Operaciones Matemáticas

 Adición: se suman los coeficientes y se mantiene el exponente, por lo que siempre se debe tener el mismo exponente.

5 × 10 5 + 4 × 10 5 = 9 × 10 5 −8 × 10 3 + 3 × 10 4 = −8 × 10 3 + 30 × 10 3 = 22 × 10 3 = 2,2 × 10 4     Multiplicación: se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes (3 × 10 5 ) × (4 × 10 2 ) = 12 × 10 7 = 1,2 × 10 8 División: se dividen los coeficientes y se restan los exponentes (6 × 10 3 )/(8 × 10 7 ) = 0,75 × 10 −4 = 7,5 × 10 −5 Potenciación: se potencia el coeficiente y se multiplican los exponentes (5 × 10 3 ) 3 = 5 3 × 10 3×3 = 125 × 10 9 = 1,25 × 10 11 Radicación: se obtiene la raíz del coeficiente y se divide el exponente por el índice de la raíz 3 8 × 10 9 = 2 × 10 3 FIS109A – 2: Física 2 do semestre 2014

Repaso Matemático

Despejar variables de una ecuación

Muchas de las ecuaciones típicas que se verán en clases tienen las siguientes formas: 𝐸 𝑝 = 𝑚𝑔ℎ

Problema:

se quiere despejar ℎ 𝑣 𝑓 = 𝑣 𝑖 + 𝑎𝑡 se quiere despejar 𝑎 𝑎 𝑐 = 𝑣 2 𝑟 se quiere despejar 𝑣

Solución:

Nos damos cuenta que tanto 𝑚 y 𝑔 cual pasan dividiendo al otro lado: 𝐸 𝑝 ℎ = 𝑚𝑔 están multiplicando ℎ , por lo Sabemos que 𝑣 𝑓 − 𝑣 𝑖 = 𝑎𝑡 dividiendo: 𝑣 𝑖 que está sumando pasa al otro lado restando ; y ahora 𝑡  que está multiplicando pasa al otro lado 𝑣 𝑓 − 𝑣 𝑖 𝑎 = 𝑡 Como 𝑟 𝑣 2 está dividiendo pasa al otro lado multiplicando ; ahora sacando la raíz cuadrada a ambos lados:  𝑎 𝑐 𝑟 = 𝑣 = 𝑎 𝑐 𝑟 FIS109A – 2: Física 2 do semestre 2014

Repaso Matemático

Despejar variables de una ecuación

Muchas de las ecuaciones típicas que se verán en clases tienen las siguientes formas: 2𝑎 𝑥 = 𝑣 𝑓 2 − 𝑣 𝑖 2

Problema:

se quiere despejar 𝑣 𝑓

Solución:

Como el término 𝑣 𝑖 2 2𝑎 𝑥 + 𝑣 𝑖 2 quedando: = 𝑣 2 𝑓 está restando pasa al otro lado sumando  ; ahora se saca la raíz cuadrada a ambos lados 𝑣 𝑓 = 2𝑎𝑥 + 𝑣 𝑖 2 𝑦 = 𝑣𝑡 − 𝑔 2 𝑡 2 se quiere encontrar 𝑡 𝑔 2 𝑡 2 Hay que reescribir adecuadamente esta ecuación: − 𝑣𝑡 + 𝑦 = 0 𝑎 = 𝑔 ; 𝑏 = −𝑣; 𝑐 = 𝑦 2 𝑡 = En este caso, como 𝑡 no se puede despejar directamente, se deberá recurrir a la ‘solución de la ecuación cuadrática’, la cual indica que si se tiene una ecuación de la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 , los posibles valores de 𝑥 serán: 𝑣 ± 𝑣 2 𝑔 − 2𝑔𝑦 𝑥 = −𝑏 ± 𝑏 2 2𝑎 − 4𝑎𝑐 FIS109A – 2: Física 2 do semestre 2014

Repaso Matemático

Transformación de unidades

Muchas veces en física se necesitará cambiar de unidades para lo cual se utiliza el ‘factor de conversión’, donde 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎 × 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖ó𝑛 = 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑎 Por ejemplo, se quiere cambiar 2 horas a minutos Se quiere cambiar 30 cm a metros O cambiar 120 km/hr a m/s FIS109A – 2: Física 2 do semestre 2014

Repaso Matemático

Transformación de unidades

Un poco más complicado es cuando se deben cambiar unidades que se encuentran elevadas a alguna potencia.

Por ejemplo, cambiar un volumen de 0,4 𝑚 3 a 𝑐𝑐 (1 𝑐𝑐 = 1 𝑐𝑚 3 ) 3 100 𝑐𝑚 0,4 (𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜) 3 = 0,4 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 × 1 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 0,4 × 100 3 × 𝑐𝑚 3 = 4 × 10 5 𝑐𝑐 500 También se puede querer cambiar 500 𝑙𝑏 2 𝑝𝑖𝑒𝑠 −3 ℎ𝑟 −1 al sistema MKS 𝑙𝑏 2 𝑝𝑖𝑒 3 ℎ𝑟 = 500 𝑝𝑖𝑒 × 𝑙𝑏 × 1 𝑝𝑖𝑒 0,4536 𝑘𝑔 1 𝑙𝑏 0,305 𝑚 3 × ℎ𝑟 × 2 3600 𝑠 1 ℎ𝑟 0,2057𝑘𝑔 2 = 500 × 0,02837𝑚 3 × 3600 𝑠 𝑘𝑔 2 = 1,007 𝑚 3 𝑠 FIS109A – 2: Física 2 do semestre 2014

Ejercicio Propuesto

¿Cuántas botellas de coca-cola de 200 cc se necesitan para tener un metro cúbico (1 𝑚 3 ) de coca-cola?

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Vectores y Sistemas de Referencia

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Magnitudes Físicas

 Escalares: definidos por un número Ej.: masa, tiempo, presión, temperatura, energía, voltaje,…  Vectoriales: definidas por magnitud, dirección y sentido Ej.: fuerza, velocidad, aceleración, desplazamiento, campo eléctrico, campo magnético, … FIS109A – 2: Física 2 do semestre 2014

Sistemas de Referencias

Un sistema de referencia (o marco de referencia) es un conjunto de convenciones usadas por un observador para poder medir la posición y otras magnitudes físicas de un sistema físico y de mecánica.

¿Cómo informarle a otra persona la posición de un punto en una hoja?

El punto B se encuentra en: (6 en x , 5 en y) ó (6, 5).

Coordenadas Cartesianas o rectangular (x, y).

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Sistemas de Referencias 2

En ocasiones es más conveniente representar un punto de acuerdo a sus coordenadas polares (r, θ ).

La estrella se encuentra en: (13 en r , 23° en θ ) ó (13, 23°).

Coordenadas Polares (r, θ ).

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Sistemas de Referencias 3

Las transformaciones de las coordenadas cartesianas a las polares (y viceversa) se pueden realizar usando las siguientes relaciones trigonométricas.

y

sen θ = 𝑦 𝑟 tan θ = 𝑦 𝑥 cos θ = 𝑥 𝑟 r = 𝑥 2 + 𝑦 2

r θ x

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Dirección

Vector Geométrico

Sentido A Magnitud: largo del vector FIS109A – 2: Física 2 do semestre 2014

Propiedades de vectores: Igualdad

Tienen igual magnitud, dirección y sentido FIS109A – 2: Física 2 do semestre 2014

Propiedades de vectores: Suma

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Ejemplo: suma de dos vectores

Si una persona camina 3 metros al este y luego 4 metros al norte ¿Cuál es la distancia desde el punto inicial?

¿Cuál es la dirección?

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Suma de vectores: regla del paralelogramo

La suma de dos vectores que parten desde el mismo origen es la diagonal del paralelogramo forman sus proyecciones.

que FIS109A – 2: Física 2 do semestre 2014

Suma de 4 vectores

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La suma es conmutativa

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La suma es asociativa

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Ejemplo 1

Pasos: 1.- Hacer figura.

2.- ¿Qué se busca?

3.- ¿Cuál es la magnitud y dirección del vector AC ? FIS109A – 2: Física 2 do semestre 2014

Vectores: Neutro, Inverso y Resta

inverso neutro FIS109A – 2: Física 2 do semestre 2014

Ponderación: Multiplicación por un escalar

λ A A 2 A FIS109A – 2: Física 2 do semestre 2014

Componentes de un vector

Se definen los vectores unitarios i y j que indican la dirección en los ejes x e y , respectivamente.

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Signos de las componentes

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Componentes de un vector

Se definen los vectores unitarios i y j que indican la dirección en los ejes x e y , respectivamente.

Representación de los vectores que conectan los puntos: D y B: 6 𝑖 + 5 𝑗 D y A: −5 𝑖 + 3 𝑗 D y C: 4,5 𝑖 − 3,5 𝑗 FIS109A – 2: Física 2 do semestre 2014

Se conocen las componentes: ¿cuáles son las magnitud y dirección?

Magnitud

Φ θ

Dirección: tan  

A y A x

tan  

A x A y

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Se conocen la magnitud y dirección: ¿cuáles son las componentes?

En esta figura:

A x A y

 

A

cos 

A

sin  y

A x

 0 ,

A y

 0 Entonces, usando el ángulo θ Tenemos:

ϕ θ

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Base de vectores en cartesianas

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Suma de Vectores por componentes

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Suma de Vectores por componentes

R = A + B

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Ponderación: Multiplicación por un escalar

λ A A 2 A FIS109A – 2: Física 2 do semestre 2014

Ejemplo 1: continuación

Pasos: 1.- Hacer figura.

2.- ¿Qué se busca?

3.- ¿Cuál es la magnitud y dirección del vector AC ? FIS109A – 2: Física 2 do semestre 2014

Ejemplo 2

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Resumen

 Repaso matemático .

 Las magnitudes físicas pueden ser escalares o vectoriales .

 La posición en un plano se puede representar en el sistemas de coordenadas i) cartesianas o ii) polares .

sen θ =

𝒚 𝒓

cos θ =

𝒙 𝒓

tan θ =

𝒚 𝒙  Repaso de vectores:  Se pueden sumar y restar entre si.

 Se pueden ponderar (multiplicar por un escalar).

 Se pueden descomponer dependiendo del sistema de referencia.

r =

𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 FIS109A – 2: Física 2 do semestre 2014