Transcript גישה אופטימיסטית

‫קבלת החלטות בסביבה דינאמית‬
‫שיעור ‪#1‬‬
‫‪1‬‬
‫סרטון‬
• Golden balls
2
‫שאלה (‪)1‬‬
‫• מגפת "שפעת הזברות" התפרצה לאחרונה במדינות‬
‫הסביבה ומאיימת גם על ישראל‬
‫• הצפי הוא ל‪ 600 -‬קורבנות מהמחלה‬
‫• משרד הבריאות מציע לממשלה שתי דרכי התמודדות‬
‫אפשריות‪:‬‬
‫– תוכנית ‪ ,A‬באמצעותה ינצלו בודאות ‪ 200‬קורבנות‬
‫פוטנציאליים‬
‫– תוכנית ‪ ,B‬באמצעותה ינצלו כל ה‪ 600 -‬אם תצליח‬
‫(הסתברות ‪ )1/3‬אולם בהסתברות ‪ 2/3‬לא תועיל כלל‬
‫• אלו משתי התוכניות תמליץ לאמץ?‬
‫‪3‬‬
‫)‪Tversky & Kahneman (1981‬‬
‫שאלה (‪)2‬‬
‫• ארגון טרור חטף ‪ 20‬אזרחים חפים מפשע‬
‫• צה"ל מציע לממשלה שתי תוכניות חילוץ‬
‫אפשריות‪:‬‬
‫– תוכנית ‪ ,A‬בה בודאות יהרג אחד החטופים אבל ינצלו‬
‫כל היתר‬
‫– תוכנית ‪ ,B‬שאם תצליח (סיכוי גבוה של ‪ )90%‬ינצלו‬
‫כולם‪ ,‬אבל אם תיכשל יהרגו כל החטופים‬
‫• אלו משתי התוכניות תמליץ לאמץ?‬
‫‪4‬‬
‫שאלה (‪)3‬‬
‫• הלכת לסרט "הדרדסים" החדש וקנית קערת‬
‫פופקורן ב‪ 20 -‬ש"ח‪.‬‬
‫• בדרכך למושב שלך‪ ,‬מעדת והפופקורן נשפך‪.‬‬
‫• האם תחזור ותקנה עוד קערת פופקורן (ב‪20 -‬‬
‫ש"ח)?‬
‫‪5‬‬
‫שאלה (‪)4‬‬
‫• דרורית סיימה תואר ראשון בפילוסופיה לפני ‪ 5‬שנים‪.‬‬
‫היא היתה פעילה בארגון "הירוקים" ועבדה תקופה‬
‫מסויימת במרכז לנפגעות אונס‪ .‬במהלך לימודיה‪,‬‬
‫ניסתה לארגן חרם על פרופסור שלטענתה הטריד‬
‫מינית מספר סטודנטיות‪.‬‬
‫• מה עושה דרורית כיום (דרג את האפשרויות לפי‬
‫הסיכוי לנכונותן)?‬
‫–‬
‫–‬
‫–‬
‫–‬
‫–‬
‫‪6‬‬
‫מורה‬
‫פקידת בנק‬
‫קצינה במשטרה‬
‫פקידת בנק פמיניסטית‬
‫עובדת סוציאלית‬
‫שאלה (‪)5‬‬
‫• מגפת "שפעת הזברות" התפרצה לאחרונה‬
‫במדינות הסביבה ומאיימת גם על ישראל‬
‫• הצפי הוא ל‪ 600 -‬קורבנות מהמחלה‬
‫• משרד הבריאות מציע לממשלה שתי דרכי‬
‫התמודדות אפשריות‪:‬‬
‫– תוכנית ‪ ,A‬בה לא יהיה מנוס מ‪ 400 -‬קורבנות‬
‫– תוכנית ‪ ,B‬באמצעותה בהסתברות ‪ 1/3‬לא נאבד אף‬
‫חולה ובהסתברות ‪ 2/3‬כל ה‪ 600 -‬ימותו‬
‫• אלו משתי התוכניות תמליץ לאמץ?‬
‫‪7‬‬
‫)‪Tversky & Kahneman (1981‬‬
‫שאלה (‪)6‬‬
‫• הלכת לסרט "הדרדסים" החדש וכשפתחת את‬
‫הארנק גילית שיש לך פחות ‪ 20‬ש"ח ממה‬
‫שחשבת שיש לך‪.‬‬
‫• תכננת לקנות קערת פופקורן ב‪ 20 -‬ש"ח‪.‬‬
‫• האם עדיין תקנה?‬
‫‪8‬‬
‫שאלה (‪)7‬‬
‫• ארגון טרור חטף ‪ 20‬אזרחים חפים מפשע‬
‫• צוות מו"מ דן עם החוטפים והם הציעו שתי‬
‫חלופות‪:‬‬
‫– חלופה ‪ ,A‬בה הם יוציאו להורג חטוף אחד אבל ישחררו‬
‫את כל היתר‬
‫– תוכנית ‪ ,B‬בה מתווך הוגן יסובב גלגל רולטה עם ‪10‬‬
‫מספרים‪ ,‬ואם המספר "‪ "7‬יעלה בגורל הם יוציאו להורג‬
‫את כל החטופים אבל כל תוצאה אחרת תביא לשחרור‬
‫כל החטופים‬
‫• אלו משתי החלופות תמליץ לאמץ?‬
‫‪9‬‬
‫ניתוח‬
‫• שאלות (‪:)5( + )1‬‬
‫– "האם נציל ‪ "?200‬לעומת "האם ‪ 400‬ימותו?"‬
‫נשאלים‬
‫יעדיפו חלופה א'‬
‫יעדיפו חלופה ב'‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫‪152‬‬
‫‪72%‬‬
‫‪28%‬‬
‫שאלה ‪5‬‬
‫‪155‬‬
‫‪22%‬‬
‫‪78%‬‬
‫• שאלות (‪:)7( + )2‬‬
‫– בממוצע נאבד יותר חטופים בחלופה השניה‬
‫– שימוש ברולטה לעומת פעולת חילוץ‬
‫• שאלות (‪:)6( + )3‬‬
‫– "האם נקנה פופקורן?" לעומת "האם נקנה עוד פופקורן"‬
‫• דרורית – רמז מכוון באחת האפשרויות (פמיניסטית)‬
‫‪10‬‬
‫מכרז חברת החשמל‬
‫‪11‬‬
‫רציונאל הקורס‬
‫• להוות "מורה דרך" לקונספטים העיקריים של תורת‬
‫קבלת ההחלטות בתנאי אי‪-‬ודאות‬
‫• להכיר לעומק נושאים ספציפיים‪:‬‬
‫–‬
‫–‬
‫–‬
‫–‬
‫–‬
‫עצי החלטה וערך של אינפורמציה‬
‫רשתות בייסיאניות ו‪influence diagrams -‬‬
‫‪Voting, Allocation‬‬
‫רציונליות מוגבלת )‪(bounded rationality‬‬
‫תורת התועלת‬
‫• אם יישאר זמן‪:‬‬
‫– ‪Bandit problems‬‬
‫– תורת המשחקים‬
‫– בעיית המזכירה‬
‫‪12‬‬
‫תוכנית הקורס‬
‫מס'‬
‫נושא השיעור‬
‫השיעור‬
‫‪1‬‬
‫השפעת ההסתברות על החלטות‬
‫‪2‬‬
‫מטריצת המצבים מול אלטרנטיבות‪,‬‬
‫עצי החלטה‬
‫‪3‬‬
‫ערך מידע בקבלת החלטות‬
‫‪4‬‬
‫תורת התועלת והשפעת הסיכון על‬
‫קבלת ההחלטה‬
‫‪13‬‬
‫‪5‬‬
‫רשתות בייסיאניות‬
‫‪6‬‬
‫‪Influence diagrams‬‬
‫‪7‬‬
‫‪Multi-armed bandits‬‬
‫‪8‬‬
‫‪Voting‬‬
‫‪9‬‬
‫‪Fair Division‬‬
‫‪10‬‬
‫‪Apportionment‬‬
‫‪11‬‬
‫רציונליות מוגבלת‬
‫‪12‬‬
‫רציונליות מוגבלת‬
‫‪13‬‬
‫סיכום וחזרה‬
‫הערות‬
‫עצי החלטה‬
• Decision nodes
• Chance nodes
• End nodes
Picture from:
Wikimedia Commons
14
‫רשתות בייסיאניות ודיאגרמות השפעה‬
‫‪Picture from:‬‬
‫‪Wikimedia Commons‬‬
‫‪15‬‬
Bandit Problems
16
‫תורת התועלת‬
‫‪16.00‬‬
‫‪14.00‬‬
‫‪x‬‬
‫‪12.00‬‬
‫‪U x  ‬‬
‫‪10.00‬‬
‫‪8.00‬‬
‫‪6.00‬‬
‫‪4.00‬‬
‫‪2.00‬‬
‫‪0.00‬‬
‫‪$200‬‬
‫‪17‬‬
‫‪$175‬‬
‫‪$150‬‬
‫‪$125‬‬
‫‪$100‬‬
‫‪$75‬‬
‫‪$50‬‬
‫‪$25‬‬
‫‪$0‬‬
‫רציונליות מוגבלת‬
‫• חוסר יכולת לחשב פעולה אופטימלית (קושי‬
‫חישובי)‬
‫• פעולות לא רציונליות‬
‫• השפעות פסיכולוגיות‬
‫‪18‬‬
‫היום בשיעור‪...‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫‪19‬‬
‫נהלי הקורס‬
‫מהי החלטה? מהו הימור?‬
‫קבלת החלטות ללא הסתברות‬
‫חזרה בנושאי הסתברות וסטטיסטיקה‬
‫‪Course Procedures‬‬
‫• אתר הקורס‪:‬‬
‫‪http://www.cs.biu.ac.il/~sarned/Courses/DM/‬‬
‫•‬
‫מרצה‪ :‬ד"ר דוד סרנה )‪ ([email protected]‬שעות קבלה‪:‬‬
‫יום ראשון ‪11:00-12:00‬חדר ‪ 02‬בבניין ‪( 216‬נא לתאם מראש)‬
‫• בחינה סופית – ‪80%‬‬
‫• תרגילים – ‪20%‬‬
‫‪20‬‬
‫המזל והשכל‬
‫"מסופר על המזל והשכל שהלכו לטייל ביחד והתוכחו בדרך מי יותר חשוב המזל או‬
‫השכל‪ .‬לפתע שמו לב שהם תעו בדרך והגיעו למקום מדבר המשיכו ללכת ולהתוכח‬
‫השכל טען שבכל דבר בחיים צריך ללכת לפי ההגיון והשכל הישר והמזל טען‬
‫שבלעדיו לא יעזור שום דבר‪ .‬בשעות הערב המאוחרות נגלה לעיניהם כביש סלול‬
‫שמחו על כך שכן אם יעבור רכב אולי יקח אותם טרמפ‪ .‬השכל שכב בצד הדרך אך‬
‫קרוב לכביש הסביר השכל למזל שכך הכי הגיוני לעשות שאם יעבור רכב גם אולי‬
‫יראה אותו וגם הוא לא מכניס לכלל סכנה‪ .‬המזל לעומת זאת שכב באמצע הכביש‬
‫הוא לא פועל לפי ההגיון‪ .‬באמצע הלילה נסעה מכונית במהירות לפתע ראה הנהג את‬
‫המזל שוכב באמצע הכביש סטה במהירות מהכביש ודרס את השכל ששכב בצידי‬
‫הכביש" (מגוון גרסאות באינטרנט)‬
‫‪ .1‬מה תוכל להגיד על טיב ההחלטה של ה"מזל" ועל זו של ה"שכל"?‬
‫‪ .2‬מה היה קורה אם היו חוזרים על ההחלטה מספר רב של פעמים?‬
‫‪ .3‬האם יש דבר כזה "החלטה טובה" או "תהליך קבלת החלטות טוב"‬
‫‪21‬‬
22
23
‫החלטה‬
‫בחירה בלתי הפיכה בין דרכים שונות •‬
‫‪Source: dictionary.com‬‬
‫"קבלת החלטות" לעומת המונח באנגלית •‬
‫”‪“decision making‬‬
‫האם אלו החלטות?‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫רופא השוקל לרשום תרופה מסויימת לחולה‬
‫רופא המתלבט האם תרופה שרשם לחולה תגרום לו‬
‫לתופעות לוואי‬
‫דייל בטיסה מתלבט האם הנוסעים יעדיפו את המנה‬
‫הבשרית או הצמחונית‬
‫נוסע בטיסה מתלבט האם לקחת את המנה הבשרית‬
‫או הצמחונית‬
‫סטודנט מתלבט כמה זמן יקדיש לצורך לימוד לבחינה‬
‫סטודנט מנסה להעריך כמה ימים יש להתכונן לבחינה‬
‫לצורך קבלת ציון "עובר"‬
‫גישות בקבלת החלטות‬
‫• גישה פוזיטיבית ‪ /‬דסקריפטיבית – כיצד אנשים‬
‫מקבלים החלטות (האם בצורה רציונאלית? מה‬
‫רציונאלי?)‬
‫• גישה נורמטיבית – איך אנשים צריכים לקבל‬
‫החלטות‬
‫אנחנו נבחן בקורס את הגישה הנורמטיבית וניגע‬
‫קצת בגישה הפוזיטיבית‬
‫‪26‬‬
‫מידת המורכבות של תהליך קבלת ההחלטה‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫‪27‬‬
‫ריבוי אלטרנטיבות‬
‫אי ודאות באשר לתוצאות‬
‫מימד הזמן‬
‫תגובת המתחרים‬
‫מספר מקבלי ההחלטה‬
‫מטרות סותרות‬
‫תוצאות לא ברורות‬
‫אלטרנטיבות לא ידועות‬
‫מטרות לא ברורות‬
‫מהי בעיית החלטה?‬
‫• בעיית ההחלטה מאופיינת ב‪:‬‬
‫– אלטרנטיבות (האסטרטגיות בהן יכול לבחור‬
‫מקבל ההחלטה)‬
‫– מצבי עולם‪/‬טבע אפשריים (מצבים עתידיים‬
‫שלא בשליטת מקבל ההחלטה)‬
‫– תמורות‪/‬תוצאות )‪(payoffs‬‬
‫‪28‬‬
‫דוגמה – בניית קומפלקס דיור‬
‫• יזם נדרש להחליט על גודל קומפלקס הדיור שהוא‬
‫עומד להקים – קטן‪ ,‬בינוני או גדול‪ .‬הרווחיות נגזרת‬
‫מרמת הדרישה העתידית לדירות בקומפלקסים‬
‫• האלמנטים של קבלת ההחלטה‪:‬‬
‫– אלטרנטיבות – קומפלקס קטן‪ ,‬בינוני או גדול‬
‫– מצבי הטבע – דרישה נמוכה ‪ /‬דרישה גבוהה‬
‫– תמורות – הרווח מכל אלטרנטיבה בהינתן כל מצב טבע‬
‫אפשרי‬
‫מצבי הטבע )‪(states of nature‬‬
‫‪29‬‬
‫אלטרנטיבות‬
‫‪High‬‬
‫‪Low‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪Small‬‬
‫‪15‬‬
‫‪5‬‬
‫‪Medium‬‬
‫‪22‬‬
‫‪-11‬‬
‫‪Large‬‬
‫אסטרטגיה שולטת‬
(states of nature) ‫מצבי הטבע‬
‫אלטרנטיבות‬
Low
High
Small
8
8
Medium
5
15
Medium +
5
20
-11
22
Large
30
?golden balls -‫מה האסטרטגיה השולטת ב‬
Result
Split
Steal
Split
50%
50%
100%
0%
Steal
0%
100%
0%
0%
31
• Golden balls – how can we definitely win?
32
‫קבלת החלטות ללא הסתברויות‬
‫• מספר כללי החלטה עיקריים כאשר ההסתברות‬
‫למצבי הטבע אינה ידועה‪:‬‬
‫– גישה אופטימיסטית ‪ -‬בחירת האלטרנטיבה עם‬
‫התמורה המקסימלית (או העלות המינימלית) מבין‬
‫התמורות האפשריות‬
‫מצבי הטבע )‪(states of nature‬‬
‫‪33‬‬
‫אלטרנטיבות‬
‫‪High‬‬
‫‪Low‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪Small‬‬
‫‪15‬‬
‫‪5‬‬
‫‪Medium‬‬
‫‪22‬‬
‫‪-11‬‬
‫‪Large‬‬
‫קבלת החלטות ללא הסתברויות‬
‫• מספר כללי החלטה עיקריים כאשר ההסתברות‬
‫למצבי הטבע אינה ידועה‪:‬‬
‫– גישה אופטימיסטית ‪ -‬בחירת האלטרנטיבה עם‬
‫התמורה המקסימלית (או העלות המינימלית) מבין‬
‫התמורות האפשריות‬
‫– גישה קונסרבטיבית – בחירת האלטרנטיבה עם‬
‫התמורה המינימלית המקסימלית מבין האלטרנטיבות‬
‫‪34‬‬
‫)‪(states of nature‬מצבי הטבע‬
‫‪Worst‬‬
‫‪Profit‬‬
‫‪High‬‬
‫‪Low‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪Small‬‬
‫‪5‬‬
‫‪15‬‬
‫‪5‬‬
‫‪Medium‬‬
‫‪-11‬‬
‫‪22‬‬
‫‪-11‬‬
‫‪34‬‬
‫אלטרנטיבות‬
‫‪Large‬‬
‫קבלת החלטות ללא הסתברויות‬
‫• מספר כללי החלטה עיקריים כאשר ההסתברות‬
‫למצבי הטבע אינה ידועה‪:‬‬
‫– גישה אופטימיסטית ‪ -‬בחירת האלטרנטיבה עם‬
‫התמורה המקסימלית (או העלות המינימלית) מבין‬
‫התמורות האפשריות‬
‫– גישה קונסרבטיבית – בחירת האלטרנטיבה עם‬
‫התמורה המינימלית המקסימלית מבין האלטרנטיבות‬
‫– גישת ה‪ – minimax regret -‬חישוב עבור כל מצב טבע‬
‫מהי החרטה בכל אלטרנטיבה‪ ,‬ובחירת האלטרנטיבה‬
‫שבה החרטה המקסימלית היא מינימלית‬
‫‪35‬‬
)‫דוגמה (המשך‬
:Min-regret •
(states of nature) ‫מצבי הטבע‬
‫אלטרנטיבות‬
Low
High
Small
8
8
Medium
5
15
-11
22
Large
Best Profit
for Low
8
Best Profit
for High
22
(states of nature) ‫מצבי הטבע‬
‫אלטרנטיבות‬
Low
High
Max regret
Small
0
14
14
Medium
3
7
7
Large
19
0
19 36
‫קבלת החלטות ללא הסתברויות‬
‫• מספר כללי החלטה עיקריים כאשר ההסתברות‬
‫למצבי הטבע אינה ידועה‪:‬‬
‫–‬
‫–‬
‫–‬
‫–‬
‫‪37‬‬
‫גישה אופטימיסטית ‪ -‬בחירת האלטרנטיבה עם התמורה‬
‫המקסימלית (או העלות המינימלית) מבין התמורות‬
‫האפשריות‬
‫גישה קונסרבטיבית – בחירת האלטרנטיבה עם התמורה‬
‫המינימלית המקסימלית מבין האלטרנטיבות‬
‫גישת ה‪ – minimax regret -‬חישוב עבור כל מצב טבע‬
‫מהי החרטה בכל אלטרנטיבה‪ ,‬ובחירת האלטרנטיבה שבה‬
‫החרטה המקסימלית היא מינימלית‬
‫גישת ה‪ –insufficient reasoning -‬מניח שיש אותו סיכוי‬
‫לכל אחד ממצבי הטבע ולכן סוכם את התמורות של כל‬
‫אלטרנטיבה ובוחר את זו עם הסכום הגבוה ביותר‬
)‫דוגמה (המשך‬
Insufficient reasoning •
(states of nature) ‫מצבי הטבע‬
‫אלטרנטיבות‬
Low
High
sum
Small
8
8
16
Medium
5
15
20
-11
22
11
Large
38
‫קבלת החלטות עם הסתברויות‬
‫‪0.7‬‬
‫‪0.3‬‬
‫מצבי הטבע )‪(states of nature‬‬
‫אלטרנטיבות‬
‫‪High‬‬
‫‪Low‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪Small‬‬
‫‪15‬‬
‫‪5‬‬
‫‪Medium‬‬
‫‪22‬‬
‫‪-11‬‬
‫חזרה מהירה על הסתברות‪...‬‬
‫‪39‬‬
‫‪Large‬‬
‫מרחב מדגם ומאורעות‬
‫• ‪ : W‬מרחב מדגם‪ ,‬תוצאה של ניסוי‬
‫• לדוגמה‪ ,‬בהטלת מטבע פעמיים }‪W  {HH,HT,TH,TT‬‬
‫• מאורע‪ :‬קבוצה חלקית של ‪W‬‬
‫• לדוגמה‪ ,‬הטלה ראשונה ‪{HH,HT} = H‬‬
‫• ‪ : S‬מרחב מאורעות‪ ,‬סט מאורעות‬
‫‪40‬‬
‫שני סוגי הסתברות‬
‫• סיכוי של ‪ 50%‬כי הטלת מטבע תסתיים ב‪H -‬‬
‫(הסתברות מבוססת דגימה)‬
‫• סיכוי של ‪ 0.00001%‬שבשנה הקרובה ינחתו חייזרים‬
‫על כדור הארץ (הסתברות סוביקטיבית)‬
‫• רבים נוטים שלא להשתמש בהסתברות הסוביקטיבית‪:‬‬
‫• לא ניתן לאמת אותה (או שהמאורע קרה או שהוא לא קרה)‬
‫• מומחים שונים יתנו הסתברויות סוביקטיביות שונות לאותו מאורע‬
‫• עם זאת‪ ,‬ההסתברות הסוביקטיבית נמצאת בכל מקום‪:‬‬
‫‪41‬‬
‫• סיכוי לרעידות אדמה לצרכי פוליסות ביטוח‬
‫• סיכוי לאירועים בספורט לצרכי הימורים‬
‫דוגמאות נוספות‬
‫• סיכוי של ‪ 50.7%‬כי התינוק הבא שיוולד בישראל יהיה ממין‬
‫נקבה‬
‫• סיכוי של ‪ 20%‬שבעונה הבאה תזכה מכבי חיפה באליפות‬
‫המדינה‬
‫• גם הסתברויות מבוססות דגימה יכולות להיות לא מדויקות‪:‬‬
‫•‬
‫•‬
‫לא מביאות בחשבון מגמה אם מבוססות על מידע היסטורי‬
‫מבוססות על מדגם כללי מדי (מה ההסתברות של התינוק הבא של גב' כהן‬
‫מדיזינגוף ‪ 130‬בת"א להיות ממין נקבה?)‬
‫• גם הסתברויות "סוביקטיביות" יכולות להיות מבוססות מודל‪:‬‬
‫•‬
‫‪42‬‬
‫ניתוח המשחק של כל שחקן ובניית מודל אגרגטיבי של ביצועי הקבוצה‬
‫מדד ההסתברות‬
‫• מוגדר על ‪ (W,S‬תחת התנאים‪:‬‬
‫• ‪ P(a) >= 0‬לכל ‪ a‬ב‪S -‬‬
‫• ‪P(W) = 1‬‬
‫• אם ‪ a, b‬בלתי תלויים אזי‪:‬‬
‫• )‪P(a U b) = p(a) + p(b‬‬
‫)‪P(A‬‬
‫‪43‬‬
‫‪A is true‬‬
‫‪W‬‬
‫‪P(W) = 1‬‬
‫נקודות חשובות בנוגע להסתברות‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫באופן בלתי פורמלי‪ ,‬הסתברות היא מדד (בין ‪ 0‬ל‪ )1 -‬לאי‬
‫ודאות בנוגע למאורע‬
‫אי הודאות שלנו בנוגע למאורע יכול להיות מיוצג כאחוזי סיכוי‬
‫שהארוע יקרה‬
‫יש לשים לב כי בהימורים כשנותנים לנו סיכוי של ‪ 1:4‬הכוונה‬
‫היא שפי ‪ 4‬יותר סביר שהאירוע יקרה מאשר שלא יקרה‬
‫(כלומר ‪ 20%‬ולא ל‪)25% -‬‬
‫הסיכוי שהאירוע יקרה לעולם לא יהיה גדול מ‪100%( 100% -‬‬
‫= ודאות מוחלטת)‪.‬‬
‫•‬
‫למרות ששכיח לשמוע "אני בטוח בזה ב‪"200% -‬‬
‫• ההסתברות למאורע משלים שווה ל‪ 1 -‬פחות ההסתברות‬
‫‪ 44‬למאורע‪P(E)=1-P(not E) :‬‬
‫דוגמא‬
‫• מה ההסתברות שהמינימום של מדגם בגודל ‪ N‬יהיה קטן מ‪-‬‬
‫‪?x‬‬
‫מה זה מינימום של מדגם? דוגמה באקסל עם התפלגות אחידה‬
‫• חישוב ישיר‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪i‬‬
‫‪N i‬‬
‫) ‪ P ( X  x ) P ( X  x‬‬
‫‪‬‬
‫• חישוב דרך מאורע משלים‪:‬‬
‫‪N‬‬
‫‪45‬‬
‫)‪1  P ( X  x‬‬
‫‪N‬‬
‫‪  i‬‬
‫‪i 1 ‬‬
‫‪N‬‬
‫פעולות בהסתברות‬
‫• באופן כללי‪:‬‬
‫)‪P(X or Y) = P(X) + P(Y) - P(X and Y‬‬
‫דוגמה‪ :‬מה ההסתברות שקלף שנבחר אקראית מחבילה יהיה מלך או לב?‬
‫‪P(King or Heart) = P(X or Y) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 30.77%‬‬
‫• וכאשר אין חפיפה בין ‪ X‬ו‪:Y -‬‬
‫)‪P(X or Y) = P(X) + P(Y‬‬
‫דוגמה‪ :‬מה ההסתברות שגובה אדם אקראי יהיה מתחת ל‪ 1.5 -‬מ' או מעל ‪ 2‬מ'?‬
‫‪46‬‬
‫הסתברות מותנית‬
‫• )‪ = P(F|H‬אחוז המקרים מתוך סך המקרים שבהם‬
‫‪ H‬נכון שבהם גם ‪ F‬נכון‬
‫) ‪p(F , H‬‬
‫) ‪p(H‬‬
‫‪47‬‬
‫‪‬‬
‫‪F‬‬
‫‪H‬‬
‫) ‪p(F  H‬‬
‫) ‪p(H‬‬
‫‪p(F | H ) ‬‬
‫חישוב ההסתברות מתוך מאורעות‬
‫‪B2‬‬
‫‪B1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B3‬‬
‫‪48‬‬
‫‪B4‬‬
‫‪ P  B P  A | B ‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪pA ‬‬
‫הסתברות משותפת‬
‫ההסתברות המשותפת מכמתת את ההסתברות להיקרות‬
‫מספר מאורעות בו זמנית‪:‬‬
‫)‪P( X= x, Y= y) = P(x, y‬‬
‫אחת הדרכים לחישוב‪P(X and Y) = P(X) P(Y|X) :‬‬
‫דוגמא‪ :‬בתוך שקית יש ‪ 10‬גולות‪ 3 .‬מתוכן פגומות‪ .‬מה‬
‫ההסתברות להוציא שתי גולות פגומות אחת אחרי‬
‫השניה?‬
‫‪P(X and Y) = (3/10) (2/9) = 7%‬‬
‫חוק השרשרת‪:‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫‪49‬‬
‫)‪P(x,y,z) = p(x) p(y|x) p(z|x, y‬‬
‫)‪= p(z) p(y|z) p(x|y, z‬‬
‫…=‬
‫‪Making Sense of Probability‬‬
‫• בכיתה בה ‪ 23‬ילדים‪ ,‬מה ההסתברות שלפחות‬
‫לשני ילדים יש יום הולדת באותו היום בשנה?‬
‫• לא כל‪-‬כל חשוב לקבלת ההחלטות שלנו אבל‬
‫בהחלט מדגים קשיים שמשפיעים על קבה"ח שלנו‬
‫• חוסר היכולת שלנו להבין הסתברות משפיעה‬
‫רבות על הביצועים שלנו‬
‫‪50‬‬
‫האם מדובר באשליה בלבד?‬
‫‪51‬‬
‫בעית ימי ההולדת‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫‪52‬‬
‫נחשב את ההסתברות שלכל אחד מהילדים יהיה‬
‫יום הולדת בתאריך אחר (ההסתברות‬
‫ה"משלימה" להסתברות שאותה אנחנו מחפשים‬
‫<משלימה למה?>)‬
‫אם ידועה לנו ההסתברות ‪ p‬של מאורע משלים אז‬
‫הסתברות המאורע הנדרש לנו היא ‪1-p‬‬
‫עבור כל ילד שנבחר‪ ,‬ההסתברות שהילד הבא לא‬
‫נולד באותו היום היא ‪364/365‬‬
‫עבור כל ילד ‪ i‬ההסתברות שלא נולד באחד‬
‫מהימים של ה‪ i-1 -‬הקודמים היא ‪(365-i+1)/365‬‬
‫בעית ימי ההולדת‬
‫• כלומר‪ ,‬הסתברות המאורע המשלים היא‪:‬‬
‫• עבור כל ילד ‪ i‬ההסתברות שלא נולד באחד מהימים‬
‫של ה‪ i-1 -‬הקודמים היא‪:‬‬
‫‪= 0.49‬‬
‫• וההסתברות שלפחות לשני ילדים יומולדת באותו היום‬
‫היא ‪0.51‬‬
‫• מה ההסתברות אם היו ‪ 40‬ילדים? מה עם ‪ 60‬ילדים?‬
‫‪53‬‬
‫דוגמה באקסל‬
‫מקורות אפשריים לטעות‬
‫• לרוב אנשים מנסים לחשב מה ההסתברות שלעוד‬
‫מישהו יהיה יום הולדת בתאריך שלהם‪.‬‬
‫• באותה צורה אנחנו נוטים להאמין שההסתברות‬
‫למאורעות אחרים בחיינו היא יחסית נמוכה‬
‫כשלמעשה היא די גבוהה‬
‫‪54‬‬
‫‪The Monty Hall Problem‬‬
‫אתה משתתף בשעשועון‬
‫טלביזיה ומוצב מאחורי ‪ 3‬דלתות‪.‬‬
‫מאחורי אחת מהן נמצאת מכונית‬
‫הפרס‪ ,‬ומאחורי השתיים‬
‫האחרות יש עז‪ .‬אתה בוחר‬
‫באחת הדלתות אולם בטרם‬
‫תיפתח‪ ,‬יסייע לך מנחה התוכנית‬
‫על‪-‬ידי פתיחת אחת משתי‬
‫הדלתות האחרות אשר מאחוריה‬
‫עז‪ .‬כעת באפשרותך להחליף את‬
‫הדלת שבחרת‪ .‬האם כדאי‬
‫להחליף?‬
‫‪55‬‬
x
stay
x
win
x
switch
stay
x
switch
x
lose
lose
x
x
win
stay
switch
x
x
lose win
56
‫נוסחת בייס‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫‪57‬‬
‫נניח שיש לנו היפותזה (אמונה) כלשהי ‪.H‬‬
‫ההיפותזה שלנו יכולה להיות נכונה או לא נכונה‪.‬‬
‫כבני אדם‪ ,‬יש לנו הערכה בעלת אופי אי ודאי לגבי‬
‫נכונות ‪ – H‬אנחנו יודעים להעריך את ההסתברות ש‪-‬‬
‫‪ H‬נכונה‪ ,‬ומסמנים )‪.P(H‬‬
‫כעת ניתן לעדכן את ההערכה שלנו על בסיס מידע‬
‫נוסף )‪ E (Evidence‬שאנחנו מקבלים‪.‬‬
‫נוסחת בייס עוזרת לנו לעדכן את ההסתברות‬
‫שההיפותזה נכונה‪ ,‬אם ידוע מידע ‪ ,E‬קרי‪.P(H|E) :‬‬
‫בחיים האמיתיים קשה לנו להעריך את )‪ .P(H|E‬קל‬
‫לנו יותר להעריך את ההסתברות לקבלת המידע ‪E‬‬
‫בהינתן ש‪ H -‬נכון‪ ,‬כלומר את‪.P(E|H) :‬‬
‫חוק בייס‬
‫• ה"הסתברות המותנית של מאורע ‪ A‬בהינתן מאורע‬
‫‪ "B‬היא הסיכוי להתרחשותו של ‪ ,A‬בהנחה ש‪B -‬‬
‫אכן התרחש‬
‫• חוק בייס מאפשר לחשב הסתברות שבה מניחים‬
‫התרחשות של מאורע ‪ ,A‬בעזרת הסתברויות של‬
‫‪A‬המותנות במאורעות אחרים‬
‫‪58‬‬
‫פיתרון בעיית מונטי הול עם נוסחת בייס‬
‫ את הדלת בה נמצאת המכונית‬C -‫ ו‬B ,A -‫• נסמן ב‬
‫ את הדלת שפתח מונטי‬MC -‫ ו‬MB ,MA -‫• נסמן ב‬
:A ‫• נניח שבחרנו דלת‬
p(MA|A) =
0,
p(MB|A) = 1/2,
p(MC|A) = 1/2,
p(MA|B) = 0,
p(MB|B) = 0,
p(MC|B) = 1,
p(MA|C) = 0;
p(MB|C) = 1;
p(MC|C) = 0.
p(A) = p(B) = p(C) = 1/3 :‫• ידוע כי‬
P ( A | MB ) 

P  MB | A  P  A 
P  MB


0 . 5 * 0 . 33
0 . 5 * 0 . 33  0 * 0 . 33  1 * 0 . 33
P  MB | A  P  A 
P  MB | A  P ( A )  P  MB | B  P ( B )  P  MB | C  P ( C )
 0 . 33
59

‫הפרדוקס של מונטי הול‬
‫• נניח שמתקיים אותו משחק עם אלף דלתות‪ ,‬כאשר‬
‫בצידה השני של אחת מהן מסתתר פרס‪ ,‬ומאחורי‬
‫‪ 999‬הדלתות הנוספות נמצאות עזים‪ .‬בתחילה‬
‫נבחר דלת‪ ,‬והמנחה יפתח עוד ‪ 998‬דלתות‬
‫נוספות‪ ,‬שבצידן השני עזים‪ .‬האם כדאי להחליף?‬
‫‪60‬‬
‫נוסחת בייס (המשך)‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫אחד מכל ‪ 1000‬איש סובל מפגם מולד בלב‬
‫קיימת בדיקה אשר יכולה לגלות את הפגם‬
‫הבדיקה מדויקת ב‪ 100% -‬לאנשים שיש להם את הפגם‬
‫המולד ומדויקת ב‪ 95% -‬עובר אלו שאין להם את הפגם‬
‫(כלומר‪ 5% ,‬שאין להם יאובחנו ככאלו שיש להם)‬
‫אם בדקנו אקראית אדם ומצאנו שהבדיקה חיובית‪ ,‬מה‬
‫הסיכוי שיש לו את הפגם המולד?‬
‫בבדיקה עם ‪ 60‬סטודנטים מביה"ס לרפואה של הרווארד‪:‬‬
‫– חצי סברו ש‪95% -‬‬
‫– הממוצע היה ‪56%‬‬
‫– רק ‪ 11‬ענו את התשובה הנכונה‬
‫‪61‬‬
‫)‪Confusing P(H|E) with P(E|H‬‬
‫• לאחת מכל ‪ 100‬נשים מעל גיל ‪ 40‬שמגיעה לבדיקת ממוגרפיה יש‬
‫סרטן השד‪ .‬בדיקת הממוגרפיה מגלה רק ‪ 80%‬ממקרי סרטן השד‪.‬‬
‫ב‪ 9.6% -‬מהמקרים בהם הנבדקת אינה חולה מתקבלת גם כן‬
‫תשובה חיובית‪ .‬מה הסיכוי שאישה מעל גיל ‪ 40‬שקיבלה תשובה‬
‫חיובית בבדיקת ממוגרפיה אכן חולה בסרטן השד?‬
‫‪62‬‬
‫)‪Confusing P(H|E) with P(E|H‬‬
‫• לאחת מכל ‪ 100‬נשים מעל גיל ‪ 40‬שמגיעה לבדיקת ממוגרפיה יש‬
‫סרטן השד‪ .‬בדיקת הממוגרפיה מגלה רק ‪ 80%‬ממקרי סרטן השד‪.‬‬
‫ב‪ 9.6% -‬מהמקרים בהם הנבדקת אינה חולה מתקבלת גם כן‬
‫תשובה חיובית‪ .‬מה הסיכוי שאישה מעל גיל ‪ 40‬שקיבלה תשובה‬
‫חיובית בבדיקת ממוגרפיה אכן חולה בסרטן השד?‬
‫‪• P(positive|cancer) = 80%, but what we're interested‬‬
‫!!!‪in is P(cancer|positive) – this is not the same thing‬‬
‫‪63‬‬
‫פיתרון לבעיית הפגם המולד‬
‫• ‪ 0.001‬מהאוכלוסיה סובלת מהפגם‪ .‬הבדיקה מדויקת ב‪100% -‬‬
‫לאנשים שיש להם את הפגם ומדויקת ב‪ 95% -‬עבור אלו שאין להם‬
‫את הפגם‪ .‬אם בדקנו אקראית אדם ומצאנו שהבדיקה חיובית‪ ,‬מה‬
‫הסיכוי שיש לו את הפגם המולד?‬
‫• נגדיר מאורעות‪:‬‬
‫– ‪ – A‬לאדם יש את הפגם המולד‬
‫– ‪ – B‬תוצאת בדיקה חיובית‬
‫‪P  B | A P  A ‬‬
‫‪‬‬
‫‪P  B | A P  A   P  B | notA P  notA‬‬
‫– ‪P(not A)=0.999‬‬
‫– ‪P(B|not A)=0.05‬‬
‫– ‪P(B|A)=1‬‬
‫‪64‬‬
‫‪ 0 . 01963‬‬
‫‪‬‬
‫‪P  B | A P  A ‬‬
‫‪P B ‬‬
‫‪0 . 001‬‬
‫‪0 . 001  0 . 05 * 0 . 999‬‬
‫הדגמה באקסל‬
‫הבעיה – רופאים ממהרים להתוות תרופות על‪-‬פי בדיקות כאלה‬
‫‪PA | B  ‬‬
‫‪PA | B  ‬‬
‫אי תלות‬
‫• לוטו‬
‫• הכפלה ברולטה‬
‫‪65‬‬
‫הגרלות לוטו‬
‫• מה עדיף למלא בטופס לוטו?‬
‫–‪1 2 3 4 5 6‬‬
‫– ‪4 12 33 36 41 44‬‬
‫‪66‬‬
‫הגרלות לוטו (המשך)‬
‫• מה עדיף למלא בטופס לוטו?‬
‫–‪1 2 3 4 5 6‬‬
‫– ‪4 12 33 36 41 44‬‬
‫• לא ניתן לשפר את סיכוי הזכיה אבל ניתן לשפר את‬
‫תוחלת גודל הפרס במקרה של זכיה‬
‫– מספרים ‪ 1-31‬יופיעו בסבירות גבוהה יותר בטפסים‬
‫– הרצף ‪ 1,2,3,4,5,6‬מופיע בכ‪ 7000 -‬טפסים בממוצע‬
‫בבריטניה‬
‫• אם הפרס הגדול הוא ‪ 5‬מיליון‪:‬‬
‫– עבור הרצף הזוכה ‪ 1,2,3,4,5,6‬נקבל ‪ 714‬פאונד‪.‬‬
‫– עבור רצף בטווח ‪ 32-49‬נקבל ‪ 1.6‬מליון (בהנחה שיש כ‪3 -‬‬
‫זוכים)‬
‫‪67‬‬
68
‫איזה רצף יגיע קודם?‬
‫• אתה משחק משחק מול חבר‪ .‬כך אחד מכם בתורו‬
‫זורק מטבע עד שיוצא רצף של שנקבע מראש‬
‫– הרצף שלך‪H T H :‬‬
‫– הרצף של החבר‪H T T :‬‬
‫• למי היו נדרשות פחות הטלות בממוצע על‪-‬מנת‬
‫להגיע לרצף שלו ‪ 1000‬פעמים?‬
‫– לך‬
‫– לחבר‬
‫– אין הבדל בממוצע‬
‫‪69‬‬
‫איזה רצף יגיע קודם? (המשך)‬
‫• התשובה הנכונה – לחבר‬
‫• ההסבר האינטואיטיבי‪:‬‬
‫– שני השחקנים צריכים רצף ‪ H T‬לפני שיגיעו לרצף היעד‬
‫– נניח שרצף ‪ H T‬אכן התרחש‬
‫– בנקודה זו יש הסתברות של ‪ 50%‬לכל אחד מהם‬
‫להגיע לרצף היעד שלהם‬
‫– אבל אם לא הגיעו לרצף היעד אז לך יש כרגע רצף‬
‫‪ H T T‬ולחבר יש רצף ‪H T H‬‬
‫– כלומר החבר נמצא במרחק לפחות שתי הטלות מטבע‬
‫מזכיה‪ ,‬ואתה במרחק של לפחות שלוש הטלות מזכיה‬
‫‪70‬‬
‫משחק ברולטה‬
‫בהסתמך על ההנחה שאי אפשר להפסיד כל כך הרבה פעמים אלא אם כן נולדתה במזל נחס‪,‬‬
‫באחת הפעמים שתזכה תחזיר לעצמך את הכסף בתוספת כפי שאמרנו‪ .‬אני הייתי יושב‬
‫בקזינו ומחכה לטעות פעמיים מבלי לשים כסף ואז הייתי מתחיל להמר כך שבכל מקרה חסכת‬
‫לך לטעות ולהפסיד כסף פעמיים‪ .‬ועכשיו מן ההגיון שזמנך להרויח‪ .‬או שאם לא הייתי רוצה‬
‫לחכות הרבה עד שאני אטעה לעצמי פעמיים שזה בעצם דבר נחמד מאד ומראה על‬
‫הפוטנציאל הטמון ברולטה לאותו יום אבל אורך זמן אז אני משחק כל מכה אבל לפי תוצאות‬
‫קודמות ברולטה על ידי חישוב סטטיסטי של תוצאות אפשריות בהתאם לתוצאות הקודמות‪.‬‬
‫לדוגמה‪ :‬אם יצא ברולטה פעמיים ירוק רצוף אז אני אתחיל להמר על האדום שכן עכשיו אני‬
‫מצפה לשינוי מהרצף ולהפך אם בא ירוק ומיד לאחריו אדום אז אני מהמר על הירוק כי עכשיו‬
‫אני אצפה לרצף‪ .‬הסיכויים ברולטה הם כמעט שוים אתה מול הקזינו ושלא כמו במשחקי פיס‬
‫שונים שהסיכויים נוטים הרבה יותר לטובתם לכן להביא זכייה יפה בקזינו זה דבר שהוא בר‬
‫ביצוע‪ .‬נניח בשביל לסבר את האוזן שאין ברולטה את המספר אפס המשחק לטובת הקזינו‬
‫והסיכויים היו ממש אחד לאחד הסיכויים שלך להפסיד בהימור אחד היו אחד לשתיים‪.‬‬
‫החישוב הוא פשוט שהרי יכול לבוא או ירוק או אדום אחד מהשניים‪ .‬אבל מה הסיכוי לטעות‬
‫פעמיים? התשובה היא אחד לארבע וזאת מפני שיכולים לבוא ארבעה צירופים בשני מכות‬
‫והם אדום ואדום אדום וירוק ירוק וירוק ירוק ואדום‪ .‬ועדיין למה הסיכוי לטעות הוא אחד לארבע‬
‫נניח שיש לך "גב" לשחק חמש מכות ברולטה בשיטת ההכפלה זאת אומרת שאתה יכול‬
‫להרשות לעצמך לטעות רק חמש פעמים ונוסיף לזה עוד שני טעויות שבהם לא שיחקת אלא‬
‫רק חשבת בדעתך על צבע מסוים שיעלה ומסתבר שאם היית משחק אז היית מפסיד כפי‬
‫‪71‬‬
‫שלמדנו קודם מה הסיכויים שלך להפסיד היו?‬
‫משחק ברולטה‬
‫בהסתמך על ההנחה שאי אפשר להפסיד כל כך הרבה פעמים אלא אם כן נולדתה במזל נחס‪,‬‬
‫באחת הפעמים שתזכה תחזיר לעצמך את הכסף בתוספת כפי שאמרנו‪ .‬אני הייתי יושב‬
‫בקזינו ומחכה לטעות פעמיים מבלי לשים כסף ואז הייתי מתחיל להמר כך שבכל מקרה חסכת‬
‫לך לטעות ולהפסיד כסף פעמיים‪ .‬ועכשיו מן ההגיון שזמנך להרויח‪ .‬או שאם לא הייתי רוצה‬
‫לחכות הרבה עד שאני אטעה לעצמי פעמיים שזה בעצם דבר נחמד מאד ומראה על‬
‫הפוטנציאל הטמון ברולטה לאותו יום אבל אורך זמן אז אני משחק כל מכה אבל לפי תוצאות‬
‫קודמות ברולטה על ידי חישוב סטטיסטי של תוצאות אפשריות בהתאם לתוצאות הקודמות‪.‬‬
‫לדוגמה‪ :‬אם יצא ברולטה פעמיים ירוק רצוף אז אני אתחיל להמר על האדום שכן עכשיו אני‬
‫מצפה לשינוי מהרצף ולהפך אם בא ירוק ומיד לאחריו אדום אז אני מהמר על הירוק כי עכשיו‬
‫אני אצפה לרצף‪ .‬הסיכויים ברולטה הם כמעט שוים אתה מול הקזינו ושלא כמו במשחקי פיס‬
‫שונים שהסיכויים נוטים הרבה יותר לטובתם לכן להביא זכייה יפה בקזינו זה דבר שהוא בר‬
‫ביצוע‪ .‬נניח בשביל לסבר את האוזן שאין ברולטה את המספר אפס המשחק לטובת הקזינו‬
‫והסיכויים היו ממש אחד לאחד הסיכויים שלך להפסיד בהימור אחד היו אחד לשתיים‪.‬‬
‫החישוב הוא פשוט שהרי יכול לבוא או ירוק או אדום אחד מהשניים‪ .‬אבל מה הסיכוי לטעות‬
‫פעמיים? התשובה היא אחד לארבע וזאת מפני שיכולים לבוא ארבעה צירופים בשני מכות‬
‫והם אדום ואדום אדום וירוק ירוק וירוק ירוק ואדום‪ .‬ועדיין למה הסיכוי לטעות הוא אחד לארבע‬
‫נניח שיש לך "גב" לשחק חמש מכות ברולטה בשיטת ההכפלה זאת אומרת שאתה יכול‬
‫להרשות לעצמך לטעות רק חמש פעמים ונוסיף לזה עוד שני טעויות שבהם לא שיחקת אלא‬
‫רק חשבת בדעתך על צבע מסוים שיעלה ומסתבר שאם היית משחק אז היית מפסיד כפי‬
‫‪72‬‬
‫שלמדנו קודם מה הסיכויים שלך להפסיד היו?‬
‫דוגמא למשחק‬
‫‪Bet 32‬‬
‫…‬
‫זכיה‬
‫‪Bet 16‬‬
‫‪Bet 8‬‬
‫זכיה‬
‫זכיה‬
‫‪Bet 4‬‬
‫זכיה‬
‫‪Bet 2‬‬
‫זכיה‬
‫‪Bet 1‬‬
‫זכיה‬
‫זכיה‪:‬‬
‫‪64‬‬
‫‪32‬‬
‫‪16‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫השקעה‪:‬‬
‫‪63‬‬
‫‪31‬‬
‫‪15‬‬
‫‪7‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪(=2^6-1‬‬
‫)‪(=2^5-1‬‬
‫)‪(=2^3-1‬‬
‫)‪(=2^2-1‬‬
‫)‪(=2^1-1‬‬
‫רווח‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫הסתברות‬
‫לרצף הפסדים‪:‬‬
‫‪p^6‬‬
‫‪p^5‬‬
‫‪p^4‬‬
‫‪p^3‬‬
‫‪p^2‬‬
‫‪p‬‬
‫עבור ‪:p=0.6‬‬
‫‪0.046‬‬
‫‪0.08‬‬
‫‪0.13‬‬
‫‪0.21‬‬
‫‪0.36‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪73‬‬
‫)‪(=2^4-1‬‬
‫בעיות בשיטה‬
‫• אנחנו חסומים במספר הסבבים שניתן לבצע (קו‬
‫אשראי‪ ,‬מינימום‪/‬מקסימום הימור) <בעיה דומה במינוף של‬
‫השקעות במטח>‬
‫• הרווח שלנו בסופו של דבר הוא ‪1‬‬
‫פתרונות אפשריים‬
‫• להתחיל בהימור קטן יותר (‪ 1‬סנט)‬
‫• לחזור על ההימור שוב ושוב‬
‫‪74‬‬
‫האומנם נמצאה השיטה לנצח את הקזינו?‬
‫פרדוקס סימפסון‬
‫• דוגמה‪:‬‬
‫• רותי ודליה טסו לחופשה בלאס וגאס‪ .‬כל אחת‬
‫הקציבה לעצמה ‪ 100‬דולר להימורים בכל יום‪ .‬להלן‬
‫אחוזי הרווח שלהם בכל יום‪:‬‬
‫דליה‬
‫רותי‬
‫רולטה‬
‫בלאקג'ק‬
‫רולטה‬
‫בלקג'ק‬
‫יום א'‬
‫‪20%‬‬
‫‪50%‬‬
‫‪25%‬‬
‫‪60%‬‬
‫יום ב'‬
‫‪30%‬‬
‫‪40%‬‬
‫‪40%‬‬
‫‪40%‬‬
‫יום ג'‬
‫‪5%‬‬
‫‪60%‬‬
‫‪20%‬‬
‫‪65%‬‬
‫• מי מהן חזרה הביתה עם יותר כסף?‬
‫‪75‬‬
‫פרדוקס סימפסון (המשך)‬
‫• התשובה תלויה בכמה מתוך ה‪ $100 -‬הימרה כל‬
‫אחת מהן בכל אחד מהמשחקים‬
‫– שתיהן ‪( 50:50‬או כל חלוקה זהה לשתיהן) ‪ >-‬דליה‬
‫– רותי ‪ 80:20‬ודליה ‪ >- 20:80‬רותי‬
‫‪76‬‬
‫‪confirmation bias‬‬
‫• מה אתה רואה בתמונה?‬
‫• עד כמה אתה בטוח בכך?‬
‫‪77‬‬
confirmation bias
78
‫‪confirmation bias‬‬
‫• מה אתה רואה בתמונה?‬
‫• האם ההסתברות הסוביקטיבית השתנתה?‬
‫• לעיתים אנחנו רואים את המטרה הסופית עוד לפני‬
‫שהתחלנו לנתח את הבעיה‪ ,‬וזה משפיע על‬
‫הערכת ההסתברות הסוביקטיבית שלנו‬
‫‪79‬‬
‫ערבוב אקראיות עם הסתברות‬
‫• מטבע מוטל ‪ 10‬פעמים ברצף‪ .‬איזה רצף סביר‬
‫יותר שנראה?‬
‫–‪HHTHTHTTHT‬‬
‫–‪TTTTTTTTTT‬‬
‫• הרצף הראשון נראה יותר "אקראי" מהשני‬
‫• ההסתברות לכל אחד מהרצפים היא ‪1/1024‬‬
‫‪80‬‬
‫דגימה‬
‫• המלצות על מלונות‪:‬‬
‫• זהו הבסיס ל‪-‬‬
‫‪multi-armed bandit‬‬
‫‪81‬‬
‫המלצות‬
‫‪145‬‬
‫‪144‬‬
‫‪143‬‬
‫‪142‬‬
‫‪142‬‬
‫‪141‬‬
‫‪141‬‬
‫‪140‬‬
‫‪140‬‬
‫‪140‬‬
‫‪139‬‬
‫‪138‬‬
‫‪136‬‬
‫‪136‬‬
‫‪136‬‬
‫‪134‬‬
‫‪133‬‬
‫‪131‬‬
‫‪131‬‬
‫‪130‬‬
‫‪130‬‬
‫‪128‬‬
‫‪120‬‬
‫‪116‬‬
‫מלון‬
‫‪49‬‬
‫‪45‬‬
‫‪46‬‬
‫‪1‬‬
‫‪18‬‬
‫‪22‬‬
‫‪26‬‬
‫‪4‬‬
‫‪14‬‬
‫‪29‬‬
‫‪39‬‬
‫‪8‬‬
‫‪5‬‬
‫‪17‬‬
‫‪34‬‬
‫‪3‬‬
‫‪24‬‬
‫‪36‬‬
‫‪37‬‬
‫‪15‬‬
‫‪21‬‬
‫‪16‬‬
‫‪13‬‬
‫‪20‬‬
‫המלצות‬
‫‪175‬‬
‫‪164‬‬
‫‪163‬‬
‫‪158‬‬
‫‪158‬‬
‫‪158‬‬
‫‪155‬‬
‫‪155‬‬
‫‪155‬‬
‫‪153‬‬
‫‪151‬‬
‫‪151‬‬
‫‪150‬‬
‫‪149‬‬
‫‪149‬‬
‫‪148‬‬
‫‪147‬‬
‫‪147‬‬
‫‪147‬‬
‫‪146‬‬
‫‪146‬‬
‫‪146‬‬
‫‪145‬‬
‫‪145‬‬
‫מלון‬
‫‪38‬‬
‫‪43‬‬
‫‪44‬‬
‫‪25‬‬
‫‪31‬‬
‫‪47‬‬
‫‪11‬‬
‫‪23‬‬
‫‪48‬‬
‫‪40‬‬
‫‪7‬‬
‫‪30‬‬
‫‪6‬‬
‫‪9‬‬
‫‪33‬‬
‫‪19‬‬
‫‪10‬‬
‫‪12‬‬
‫‪32‬‬
‫‪2‬‬
‫‪27‬‬
‫‪42‬‬
‫‪28‬‬
‫‪35‬‬
‫השפעות מנוגדות‬
‫• מתי יש יותר סיכוי להיפגע מתאונת דרכים?‬
‫– בקיץ‪ ,‬כשתנאי הנהיגה נוחים יותר‬
‫– בחורף‪ ,‬כשתנאי הנהיגה קשים יותר?‬
‫• מתי עדיף ללכת לדיסנילנד?‬
‫– ב‪offseason -‬‬
‫– בעונה‬
‫• מתי נחכה יותר זמן בקופה בסופר?‬
‫– בלילה‪ ,‬כשיש מעט אנשים‬
‫– ביום‪ ,‬כשיש הרבה אנשים‬
‫‪82‬‬
More Golden balls movies
83