Transcript Pmf/pdf ที่ใช้บ่อย

2301520 Fundamentals of AMCS


“ความแน่นอนคือความไม่แน่นอน”
ทฤษฎีความน่าจะเป็ น เป็ นการนาคณิตศาสตร์ มาใช้ ในการอธิบายความไม่แน่นอน
◦ Sample Space
 the set of all outcomes of an experiment
◦ Event
 a subset of of the sample space


ตัวอย่าง 1 ผลที่ได้ จากการโยนลูกเต๋าหนึง่ ลูก (discrete)
ตัวอย่าง 2 ช่วงเวลาที่หลอดไฟจะใช้ งานได้ จนกว่าจะเสีย (continuous)
2
ให้ S เป็ น Sample space สมมุติวา่ เซต B เป็ นเซตของสับเซต(หรื อ
Event)ของ S ที่มีสมบัติตอ่ ไปนี ้
1. ∈B

2. ถ้ า A∈B แล้ ว Ac∈B
Ai  B
A1, A2,  B แล้ ว
3. ถ้ า
i 1
(เรี ยก B ว่าเป็ น sigma algebra ของ S)
ฟั งก์ชนั ความน่าจะเป็ น P คือฟั งก์ชนั ที่มีโดเมนเป็ น B และสอดคล้ องกับสมบัตติ อ่ ไปนี ้
1. P:B→ [0,1]
2. P(S)=1
 B เป็ นเหตุการณ์ไม่เกิดร่วม จะได้ วา่
3. ถ้ าเหตุการณ์ A1, A2 ,

  
P  Ai    P Ai 
 i 1  i 1
3
หากมีการทดลองทาซ ้าเพื่อหาผลอะไรสักอย่างเป็ นระยะเวลานานๆ
P(A) บอกถึงสัดส่วนของเหตุการณ์ A ที่จะเกิดขึ ้นเทียบกับผลที่เกิดขึ ้นทังหมด
้

4




ตัวแปรสุม่ (Random Variable) เป็ นตัวแปรที่ใช้ แทนค่าของเหตุการณ์ที่
เกิดขึ ้น โดยต้ องมีคา่ เป็ นตัวเลข (ซึง่ อาจเป็ นตัวเลขที่เป็ นผลของเหตุการณ์โดยตรง
หรื อ ผลของเหตุการณ์สามารถแทนความหมายด้ วยตัวเลขได้ )
ตัวอย่าง 1 X เป็ นตัวแปรสุม่ ที่ใช้ แทนหน้ าที่เกิดจากการโยนลูกเต๋าหนึง่ ลูก
ตัวอย่าง 2 X เป็ นตัวแปรสุม่ ที่ใช้ แทนหน้ าที่เกิดจากการโยนเหรี ยญหนึง่ เหรี ยญ
ตัวอย่าง 3 X เป็ นตัวแปรสุม่ ที่ใช้ แทนช่วงเวลาที่หลอดไฟจะใช้ งานได้ จนกว่าจะ
เสีย
5




ฟั งก์ชนั ความหนาแน่นของความน่าจะเป็ น
ถ้ า X เป็ นตัวแปรสุม่ discrete จะเรี ยกว่า probability mass
function (pmf) ซึง่ หมายถึง p(x) = P(X = x)
ถ้ า X เป็ นตัวแปรสุม่ continuous
pdf คือฟั งก์ชนั f(x)≥0 ที่มีสมบัติวา่
ตัวอย่างตัวแปรสุม่ จากหน้ าที่แล้ ว



f (x )dx  1
6


ฟั งก์ชนั การแจกแจงสะสม
ถ้ า X เป็ นตัวแปรสุม่ discrete และมี p(x) เป็ น pdf แล้ ว
cdf คือ
F (x ) 
 p(u )
u x

ถ้ า X เป็ นตัวแปรสุม่ continuous และมี f(x) เป็ น pdf แล้ ว
cdf คือ
F (x ) 


x

f (u )du
ตัวอย่างตัวแปรสุม่ จากหน้ าที่แล้ ว
7

Bernoulli: ตัวแปรสุม่ X มีคา่ สองค่าคือ 0 (Failure) และ
1(Success)
parameter: p (ความน่าจะเป็ น P(X=1))
pmf:
ตัวอย่าง: ให้ X แทนผลลัพธ์ของการโยนเหรี ยญ 1 เหรี ยญ โดย X=1 หมายถึงออก
หัว X=0หมายถึงออกก้ อย ให้ ความน่าจะเป็ นของการออกหัวเป็ น 1/3ดังนัน้ เราจะ
ได้
p(1) = , p(0) = , E[X]= , Var(X)=
8



Binomial Distribution
ตัวแปรสุม่ X คือจานวนของการทดลองที่สาเร็ จจากการทาการทดลองซ ้าทังหมด
้
n
ครัง้
parameters:
n จานวนของการทดลองทาซ ้าทังหมด
้
p ความน่าจะเป็ นที่การทดลองหนึง่ ครัง้ สาเร็ จ
pmf :
ตัวอย่าง: สมมุติวา่ เราโยนเหรี ยญ 1 เหรี ยญทังหมด
้
10 ครัง้ ให้ X แทนจานวนการ
โยนที่ให้ ผลลัพธ์เป็ น"หัว“ ให้ ความน่าจะเป็ นของการออกหัวของเหรี ยญดังกล่าวเป็ น
1/3 จงหาความน่าจะเป็ นที่จะออกหัว 1) 5 ครัง้ พอดี 2)ไม่เกิน 2ครัง้
9




Geometric Distribution
ตัวแปรสุม่ X คือจานวนของการทดลองที่ทาซ ้าจนกว่าจะสาเร็จ
parameters:
p ความน่าจะเป็ นที่การทดลองหนึง่ ครัง้ สาเร็ จ
pmf :
ตัวอย่าง: ให้ X แทนจานวนการโยนการโยนเหรี ยญ 1 เหรี ยญจนกระทัง่ ได้ ผลลัพธ์
เป็ น"หัว“ ให้ ความน่าจะเป็ นของการออกหัวของเหรี ยญดังกล่าวเป็ น 1/3 จงหา
ความน่าจะเป็ นที่จะต้ องโยนทังหมด
้
1) 5 ครัง้ พอดี 2)ไม่เกิน 2ครัง้
10



Hypergeometric Distribution
สมมุติวา่ มีการทดลองทาซ ้าทั ้งหมด N ครัง้ ซึง่ เป็ นการทดลองที่สาเร็ จ m ครัง้ สุม่ เลือก
การทดลอง n การทดลองมาพิจารณา ตัวแปรสุม่ X คือจานวนของการทดลองที่สาเร็ จ
จากตัวอย่างการทดลองที่สมุ่ เลือกมานัน้
parameters:
N จานวนของการทดลองทาซ ้าทั ้งหมด
m คือการทดลองที่สาเร็ จ
n จานวนของการทดลองที่สมุ่ เลือกมา
pmf :
ตัวอย่าง: ในการโยนเหรี ยญหนึง่ เหรี ยญ 10 ครัง้ พบว่าออกหัว 4 ครัง้ สุม่ เลือกตัวอย่างการ
โยนมา 5 ครัง้ จงหาความน่าจะเป็ นที่จานวนการโยนได้ หวั จากตัวอย่างที่สมุ่ เลือกเป็ น 1)
5 ครัง้ พอดี 2)ไม่เกิน 2ครัง้
11


Normal Distribution
ตัวแปรสุม่ X นิยมใช้ อธิบายปรากฏการณ์หลายอย่างในชีวิตประจาวัน
parameters:
μ ค่าเฉลี่ย (mean)
σ คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (standard deviation)
pdf :
12