Transcript 1 - Free

techniques opératoires
CP
CE1
- Produire et reconnaître les
décompositions additives des
nombres inférieurs à 20 (“table
d’addition”). - Connaître les
doubles des nombres inférieurs à
10 et les moitiés des nombres pairs
inférieurs à 20. - Connaître la
table de multiplication par 2. Calculer mentalement des sommes
et des différences. - Calculer en
ligne des sommes, des différences,
des opérations à trous. Connaître et utiliser les techniques
opératoires de l’addition et
commencer à utliser celles de la
soustraction (sur les nombres
inférieurs à 100). - Résoudre des
problèmes simples à une
opération.
- Écrire ou dire des suites de nombres de 10 en 10, de
100 en 100, etc. - Connaître les doubles et moitiés de
nombres d’usage courant. - Mémoriser les tables de
multiplication par 2, 3, 4 et 5. - Connaître et utiliser
des procédures de calcul mental pour calculer des
sommes, des différences et des produits. - Calculer en
ligne des suites d’opérations. - Connaître et utiliser les
techniques opératoires de l’addition et de la
soustraction (sur les nombres inférieurs à 1 000). Connaître une technique opératoire de la multiplication
et l’utiliser pour effectuer des multiplications par un
nombre à un chiffre. - Diviser par 2 ou 5 des nombres
inférieurs à 100 (quotient exact entier). - Résoudre des
problèmes relevant de l’addition, de la soustraction et
de la multiplication. - Approcher la division de deux
nombres entiers à partir d’un problème de partage ou
de groupements. - Utiliser les fonctions de base de la
calculatrice.
CE2
CM1
CM2
Calcul sur des nombres
entiers
Calculer mentalement
- Mémoriser et mobiliser les
résultats des tables d’addition
et de multiplication.
- Calculer mentalement des
sommes, des différences, des
produits.
Effectuer un calcul posé
- Addition, soustraction et
multiplication.
- Connaître une technique
opératoire de la division et la
mettre en œuvre avec un
diviseur à un chiffre.
- Organiser ses calculs pour
trouver un résultat par calcul
mental, posé, où à l’aide de la
calculatrice.
- Utiliser les touches des
opérations de la calculatrice.
Problèmes
- Résoudre des problèmes
relevant des quatre
opérations.
Calcul Calculer
mentalement - Consolider
les connaissances et capacités
en calcul mental sur les
nombres entiers. - Multiplier
mentalement un nombre
entier ou décimal par 10, 100,
1 000. - Estimer
mentalement un ordre de
grandeur du
résultat. Effectuer un calcul
posé - Addition et
soustraction de deux nombres
décimaux. - Multiplication
d’un nombre décimal par un
nombre entier. - Division
euclidienne de deux entiers. Division décimale de deux
entiers. - Connaître quelques
fonctionnalités de la
calculatrice utiles pour
effectuer une suite de
calculs. Problèmes Résoudre des problèmes
engageant une démarche à
une ou plusieurs étapes.
Calcul Calculer
mentalement - Consolider
les connaissances et capacités
en calcul mental sur les
nombres entiers et
décimaux. - Diviser un
nombre entier ou décimal par
10, 100, 1 000. Effectuer un
calcul posé - Addition,
soustraction, multiplication de
deux nombres entiers ou
décimaux. - Division d’un
nombre décimal par un
nombre entier. - Utiliser sa
calculatrice à bon
escient. Problèmes Résoudre des problèmes de
plus en plus complexes.
Les techniques posées
addition
soustraction
multiplication
division
CP
somme de deux entiers <
100, avec un total < 100,
sans puis avec retenue
différence de deux entiers
< 100, sans puis avec
retenue
-
-
CE1
somme de deux puis
plusieurs entiers < 1000,
avec un total < 1000,
sans et avec retenue
différence de deux entiers
< 1000, sans puis avec
retenue
produit d'un entier par
un entier à 1 chiffre
seules les tables de 1 à 5
sont connues
-
CE2
plusieurs entiers <100
000 avec un total < 100
000
différence de deux entiers
< 100 000, sans ou avec
retenue
produit d'un entier par
un entier avec un total <
100 000
quotient de deux
entiers, avec un
résultat entier
CM1
somme d'un entier et
d'un décimal puis de
deux ou plusieurs
décimaux, sans retenue
sur les dixièmes, puis
avec retenue
différence d'un entier et
d'un décimal puis de
deux décimaux, sans
retenue sur les dixièmes,
puis avec retenue
produit d'un décimal par
un entier
quotient de deux
entiers, avec
résultat décimal
CM2
somme de décimaux
différence de deux
décimaux
produit de deux
décimaux
quotient d'un
décimal par un
entier, avec
résultat décimal
matériel pour travailler le sens des
opérations
l'addition
Addition
aspects mathématiques
-Aspect cardinal : A et B ensembles finis disjoints
cardinal (AB) = cardinal (A)+cardinal (B)
A
B
-Aspect ordinal (surcomptage)
l’entier a+b est celui obtenu en comptant b fois 1
après a
a
a+b
Addition : programmes
• l'addition posée est apprise au CP, avec des sommes
de deux nombres à 2 chiffres, d'abord sans, puis
avec retenue
• les élèves auront déjà été confrontés à des
situations additives : ils savent déjà additionner sur
leurs doigts ou dans leur tête dans des cas simples
(somme de deux nombres à 1 chiffre), et la
technique posée permet d'effectuer des calculs plus
difficiles.
addition : manipulation
• situation avec le matériel distribué
rassembler 24 points et 37 points pour déterminer
la somme totale de points
- comment avez-vous fait ?
- quelles propriétés mathématiques y a-t-il
derrière la manipulation effectuée ?
- posez maintenant l'opération que vous avez faite
: la technique correspond-elle à la manipulation
?
Addition : technique
poser et effectuer 24 + 37
1
24
+17
11 unités
et 3
dizaines
= 1 unité
et 4
dizaines
= 41
Addition :
connaissances nécessaires
- la numération décimale (position, échange)
- les tables d'additions
1
24
+17
41
la soustraction
Soustraction
aspects mathématiques
-Aspect cardinal : A et B ensembles et B inclus
dans A
card (pas dans B) = card(A) – card(B)
A
B
-Aspect ordinal : Décomptage :
on enlève b fois 1 à partir de a
a-b
a
Soustraction posée : programmes
• la soustraction posée est apprise au CP, sans
retenue.
• on soustrait toujours le plus petit nombre du
plus grand (le cas du résultat négatif ne sera vu
qu'au collège)
• il existe plusieurs techniques utilisées en France.
soustraction : manipulation
• situation avec le matériel distribué
Vous avez 34 points (3 fois 10 points et 4 fois 1
points), vous devez en retirer 16 et déterminer
combien il en reste
- comment avez-vous fait ?
- quelles propriétés mathématiques y a-t-il
derrière la manipulation effectuée ?
- posez maintenant l'opération que vous avez faite
: la technique correspond-elle à la manipulation
?
Soustraction : technique française
poser et effectuer 34 - 16
Je veux
retirer
16 de
34
Je n'ai pas assez
d'unités, donc je
donne 10 unités et je
reprendrai 1 dizaine
en plus
3 14
- 11 6
1 8
Soustraction : technique française
• pour la retenue : s'agit-il du même type
d'échange que dans l'addition ?
• ici il s'agit d'une méthode reposant sur l'écart
constant (on ne modifie pas une soustraction en
ajoutant une même quantité aux deux termes)
34 – 16 = (34 + 10 unités) – (16 + 1 dizaine)
3 14
- 11 6
1 8
ildifficile
s'agit d'une
à justifier
situation
de
sans
différence
le recours
plus
à que
l'algèbre
de retrait
méthode de soustraction posée à la française :
exemple de situation avec des euros
Jean a 62 € :
6
2
Paul a 38 € :
Quelle est la différence
entre les deux sommes
d’argent ?
3
8
?
Éric donne
10€ à Jean
Jean a 62 € :
6
12
Paul a 38 € :
3
8
1
Éric donne
10€ à Paul
?
Jean et Paul ont chacun
10€ de plus.
La différence n’a pas
changé.
La différence
n’a pas changé
Jean a 62 € :
6
12
Paul a 38 € :
3
8
1
2
La différence
vaut :
24 €
4
que fait-on réellement pour retrancher 38€ de 62€ ?
Jean a 62 € :
6
Jean doit
donner 38 € à
Paul.
3
Combien
restera-t-il
d’argent à Jean
?
2
8
?
Jean va faire de la
monnaie.
Jean a 62 € :
5
6
Jean doit
donner 38 € à
Paul.
3
Combien
restera-t-il
d’argent à Jean
?
12
8
Argent de Jean :
5
6
Jean donne 38 €
à Paul :
Argent de Jean
à la fin :
12
3
8
2
4
Soustraction : technique anglaise
poser et effectuer 34 - 16
Je veux
retirer 16
de 34
Je n'ai pas
assez d'unités,
donc je
"casse" une
des 3 dizaines
23 14
- 1 6
1 8
Soustraction : technique anglaise
• ici on opère un échange 1 contre 10 : on échange
1 dizaine contre 10 unités (dans l'addition avec
retenue, on opère un échange 10 contre 1).
23 14
- 1 6
1 8
mais que se passe-t-il
s'il y a une zéro dans le
nombre du haut ?
Soustraction : technique anglaise
• dans ce cas, on emprunte 1 dizaine aux 3
centaines, donc aux 30 dizaines du nombre du
haut
29
3 O 14
- 14 6
15 8
travail préalable nécessaire
sur chiffre des dizaines et
nombre de dizaines
Soustraction : comparaison des deux
méthodes
méthode
française
anglaise
avantages
c'est celle qui est le plus
enseignée (c'est celle qui a
été apprise par les
enseignants actuels quand
ils étaient élèves)
continuité avec la technique
d'addition posée
possibilité de donner du
sens par la manipulation
inconvénients
difficile de donner du sens
par la manipulation
pas d'échange lors des
retenues
gestion des ratures dans les
retenues
si présence d'un zéro dans
le nombre du haut
autre possibilité : l'addition à trou
(= calcul du complément)
Soustraction : verbalisation
• la verbalisation de la technique joue un rôle
important :
- "6 ôté de 14" (soustraction)
- ou "de 6 pour aller à 14" (complément)
3 14
- 11 6
1 8
23 14
- 1 6
1 8
Les retenues et les échanges
• Il y a deux types d'échanges à travailler :
- 10 unités contre 1 dizaine (addition)
- 1 dizaine contre 10 unités (soustraction à
l'anglaise)
Les retenues et les échanges
• 10 unités contre 1 dizaine
- Demander d'écrire la somme totale représentée
par un tas de billets, en essayant de changer la
monnaie de manière à avoir le moins de pièces
et de billets possible.
- Donner des jetons de 1 et de 10, avec un petit
nombre de jetons de 1, les élèves gagnent des
jetons en lançant un dé par exemple. Lorsque
les jetons de 1 viennent à manquer, il faut en
échanger dix contre un jeton de 10 pour pouvoir
continuer à jouer
Les retenues et les échanges
• 1 dizaine contre 10 unités
- Faire la monnaie
- Partager 12 (un jeton de 10 et deux jetons de 1)
en deux parts égales
Le lien peut-être fait avec les unités de mesure
usuelles
Addition et soustraction :
quelle progression ?
la progression se fait sur :
- le fait de devoir poser ou seulement effectuer
l'opération
- la présence ou non de retenues
- la taille des nombres
- le nombre de nombres pour l'addition
- le fait que les nombres aient ou non le même
nombre de chiffres
- la présence d'un zéro (surtout pour la soustraction)
- la nature des nombres (décimaux à partir du CM1)
Evaluations en CE2 - additions posées
- 530 : 76,5%
- 420 ou 430 ou 520 : 6,3%
- Autre : 13%
- 608 : 88,4%
91,5%
- Autre : 10,1%
Evaluations en CE2 - soustractions
posées
16 : 22,1%
16 : 30,3%
24 : 24,7%
24 : 20,2%
Autre : 39%
Autre : 44,1%
quelques exemples d'erreurs d'élèves
le zéro ne sert à rien
(comme dans l'addition)
ou bien :
on enlève toujours le plus
petit chiffre du plus grand,
(puisqu'on enlève toujours
le plus petit nombre du plus
grand)
quelques exemples d'erreurs d'élèves
soustraction à la française :
confusion entre les
différentes retenues : celles
du bas doivent être
additionnées au chiffres du
bas, et non considérées
comme des chiffres de
l'ordre du dessus
la multiplication
Multiplication : programmes
• la multiplication est introduite dès le CE1
(produit par un nombre à 1 chiffre), puis au CE2
(produit par un nombre à 2 chiffres ou plus).
• la multiplication est introduite par le biais de
l'addition répétée (3 fois 5 c'est 5+5+5)
• une seule technique est enseignée en France
Multiplication
aspects mathématiques
multiplication introduite comme une addition
répétée un certain nombre de fois :
5 fois 8 c'est 8 + 8 + 8 + 8 + 8
problème : les élèves ont du mal à passer de
l'addition (qu'ils connaissent et maîtrisent déjà) à la
multiplication (qui est nouvelle)
Multiplication
aspects mathématiques
multiplication introduite comme une addition
répétée un certain nombre de fois :
5 fois 8 c'est 8 + 8 + 8 + 8 + 8
Multiplication
aspects mathématiques
• pour passer de l'addition répétée à la
multiplication, on peut s'appuyer :
- sur la commutativité : 10 fois 3, c'est aussi 3 fois
10
- sur la calculatrice : ici c'est un outil de calcul
moins pertinent que le calcul à la main
multiplication : manipulation ?
• poser et effectuer 23 x 47
• trouver une situation avec le matériel distribué :
- quelles sont les propriétés mathématiques qui
sont mises en oeuvre dans la multiplication
posée ?
- quel problème avec les points pourrait-on
proposer qui amène les élèves à une
manipulation qui corresponde à la technique
posée ?
Rappels sur la multiplication
Si on sait combien vaut 4 x 6, alors on sait calculer 4 × 60
car 4 fois 60 c’est 4 fois six paquets de 10
donc 4 fois 60 c’est 24 paquets de 10
donc 4 × 60 vaut 240
Multiplication d’un nombre à 2 chiffres par un nombre à 1
chiffre :
Combien vaut 3 fois 42 ?
42 c’est :
4 dizaines
et
2 unités
3 fois 42 c’est :
Pour calculer
3 × 42
on va calculer 3 × 40
3 x 40 c’est 3 fois 4 paquets de dix
donc c’est 12 paquets de dix donc
c’est 120
3 x 40 = 120
On a utilisé la
distributivité de la
multiplication par
rapport à l’addition.
et calculer 3×2
3 × 42 = 120 + 6 = 126
3×2=6
Multiplication d’un nombre à 2 chiffres par un nombre à 2 chiffres :
Combien vaut 34 x 23 ?
34 × 23 c’est le nombre de carreaux de ce quadrillage :
23
Pour trouver le nombre de
4
20
3
4×20
4×3
carreaux du quadrillage, on
décompose 23 et 34 :
23 = 20 + 3
34 = 30 + 4
On aura donc quatre calculs à
faire :
30×20
34
30
30×3
4×20
4×3
30×20
30×3
Et pour trouver combien
vaut 34 × 23 on ajoutera
les quatre résultats
trouvés.
23
4
20
3
4×20
4×3
2 3
×3 4
1 2
8 0
9 0
34
30
30×3
30×20
6 0 0
7 8 2
34 × 23 = 782
Approche de la disposition habituelle des calculs
23
2 3
×3 4
4
4 × 23
9 2
6 9 0
7 8 2
30 × 23
34
30
Comme on a appris à calculer rapidement le résultat quand on multiplie un
nombre à deux chiffres par un nombre à un chiffre, on peut aller plus vite
Multiplication : technique posée
Multiplication : méthode ancienne
31 x 24
31
unité x unité = unité
x24
4 (unité x unité)
1 2unité
0 (unité
x dizaine)
x dizaine
=
2 0dizaine
(dizaine 14
x unité)
6 0 0 (dizaine x
dizaine)
dizaine x dizaine =
centaine
7 4 4
6
total = 4 unités + 14 dizaines + 6 centaines
= 744
Multiplication :
connaissances nécessaires
•
•
•
•
numération (décomposition, échange)
tables de multiplication
multiplication par 10, 100, 1000
addition posée
rupture avec les opérations précédentes ?
- on a plusieurs opérations en une
- difficulté de la gestion des retenues successives
- mélange entre les différents ordres de grandeur
(unités multipliées avec les unités mais aussi avec
les dizaines)
la division
Division
aspects mathématiques
Dans la division, le dividende est divisé par le
diviseur.
Le résultat comporte un quotient et un reste
Dans la division euclidienne le dividende, le diviseur, le
reste et le quotient entiers)
le reste est toujours plus petit que le diviseur (sinon on
aurait pu diviser plus)
dividende = diviseur x quotient + reste
Division
aspects mathématiques
La division peut intervenir dans des situations de
partage, de distribution, … situations où on est amené
à chercher « la valeur d’une part » (« Combien dans
chaque paquet ? »).
On parle alors de division-quotition.
exemple : on dispose de 45 bonbons à partager équitablement entre 6
enfants ? Combien chaque enfant aura-t-il de bonbons ?
?
?
?
?
?
?
6 « paquets ». « Combien dans chaque paquet ? »
Division
aspects mathématiques
La division peut intervenir dans des situations de
regroupement, …, situations où on est amené à chercher
« le nombre de parts » (« Combien de paquets ? »).
On parle alors de division-partition.
exemple : on dispose de 45 bonbons. On désire fabriquer des paquets de 6
bonbons. Combien peut-on fabriquer de paquets ?
6
6
6
…?
Des « paquets » de 6. « Combien de paquets »
division : manipulation
• situation avec le matériel distribué
Vous avez 435 points (4 fois 100 points, 3 fois 10
points et 5 fois 1 points), à partager en 3 parts
égales. Quelle sera le nombre de points de chaque
part ?
- comment avez-vous fait ?
- quelles propriétés mathématiques y a-t-il derrière la
manipulation effectuée ?
- posez maintenant l'opération que vous avez faite : la
technique correspond-elle à la manipulation ?
Division : technique posée
poser et effectuer 435 : 3
Je veux
partager 435
en 3 parts
égales
Division : technique posée
poser et effectuer 435 : 3
Je partage
d'abord les
centaines, j'en
distribue 1 à
chacun, et il
en reste 1
Division : technique posée
poser et effectuer 435 : 3
J'échange la
centaine qui
reste contre
10 dizaines,
qui viennent
s'ajouter aux 3
dizaines à
partager
Division : technique posée
poser et effectuer 435 : 3
Je partage
ensuite les 13
dizaines : j'en
distribue 4 à
chacun et il en
reste 1
Division : technique posée
poser et effectuer 435 : 3
J'échange la
dizaine qui
reste contre
10 unités, qui
viennent
s'ajouter aux 5
à partager
Division : technique posée
poser et effectuer 435 : 3
Je partage les 15
dizaines, j'en
distribue 5 à
chacun et il ne
reste rien.
J'ai distribué 1
centaine, 4
dizaines et 5
unités à chacun,
soit 145
Division : technique posée
poser et effectuer 435 : 3
435
-3
13
-12
15
-15
0
3
1x100
4x10
5x1
145
Division : technique posée
poser et effectuer 435 : 3
435
-3
13
-12
15
-15
0
3
100
40
5
145
Division : technique posée
poser et effectuer 435 : 3
435 3
- 3 0 0 100
135
- 1 2 0 40
15
-15
5
0 145
Division : technique posée
poser et effectuer 435 : 3
435
1 3
15
0
3
145
Division : technique posée
On veut partager équitablement 4237 bonbons entre 23 enfants.
23 ×
1=
23
23 × 10 = 230
23 × 100 = 2300
23 ×1000 = 23000
4237
Chaque enfant recevra entre 100 et 1000 bonbons :
cela nous donne le nombre de chiffres du quotient
4237
23
...
Division : technique posée
On cherche combien de paquets de 100 bonbons, on peut donner
à chaque enfant :
23×100
23×200
23×300
23×400
23×500
23×600
23×700
23×800
23×900
= 2300
= 4600
= 6900
= 9200
=11500
=13800
=16100
=18400
=20700
Après avoir donné 1 paquet de
100 bonbons à chaque enfant, il
reste 1937 bonbons.
4237
On peut donner 1
paquet de 100 bonbons
à chaque enfant.
4237
-
23
2300
1
1937
..
Division : technique posée
On cherche combien de paquets de 10 bonbons, on peut encore donner
à chaque enfant :
23×10 = 230
23×20 = 460
23×30 = 690
23×40 = 920
23×50 =1150
On peut encore
23×60 =1380
donner 8 paquets
23×70
=1610
4237
23
de 10 bonbons
23×80 =1840
1937
à chaque enfant.
2300
18 *
23×90 =2070
1937
1840
97
Après avoir donné 1 paquet de 100
bonbons puis 8 paquets de 10
bonbons à chaque enfant, il reste 97
bonbons.
Division : technique posée
On cherche combien de bonbons, on peut encore donner à chaque
enfant :
23×1 = 23
23×2 = 46
23×3 = 69
97
23×4 = 92
23×5 =115
On peut encore
23×6 =138
donner 4 bonbons à
23×7 =161
chaque enfant
23×8 =184
4237
23
23×9 =207
2300
184
1937
1840
On a pu donner 184 bonbons à
chaque enfant (le quotient est égal à
184)
97
92
5
Il reste 5 bonbons (le reste est
égal à 5)
Division et ordre de grandeur
• division : évaluer l'ordre de grandeur du
quotient
(calcul mental
et aspect ordinal)
Multiplication :
connaissances nécessaires
•
•
•
•
numération (décomposition, échange)
tables de multiplication
multiplication par 10, 100, 1000
addition posée
rupture avec les opérations précédentes ?
- on a plusieurs opérations en une
- difficulté de la gestion des retenues successives
- mélange entre les différents ordres de grandeur
(unités multipliées avec les unités mais aussi avec
les dizaines)
quelques exemples d'erreurs d'élèves
oubli des zéros résultant de
la multiplication par 10 et
par 100 : la décomposition
et le calcul effectué à
chaque étape ne sont pas
compris ici
quelques exemples d'erreurs d'élèves
oubli d'un zéro entre les deux
chiffres du quotient : la taille du
résultat n'a pas été évaluée ici.
il semblerait que l'élève ait
mélangé une méthode intuitive
(les calculs à gauche) avec la
présentation généralement
attendue (au quotient)
ces techniques ne sont pas celles attendues par l'institution
mais elles sont néanmoins correctes :
elles reposent sur des calculs plus intuitifs
erreur d'élève : quotient décimal
347
-24
107
- 96
11
12
28
347 divisé par 12 est égal à 28,11
- incompréhension de ce que représentent la virgule et la
partie décimale (difficultés avec les nombres décimaux)
- incompréhension de ce que représentent les deux
résultats : quotient et reste (difficultés avec la division
posée
=> le manque de sens donné à la technique opératoire avec
les entiers va se révéler lorsqu'on passe aux décimaux