Transcript Addition - classeelementaire

Techniques opératoires
Cycles 2 et 3
Addition
L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à
une intelligence de leur signification.
Les nombres doivent rester de taille raisonnable et aucune virtuosité
technique n’est recherchée.
Jean Luc Despretz – CPC Landivisiau – Avril 2010
Addition
Dossier largement inspiré des travaux de :
- Roland Charnay, formateur à l’IUFM de Lyon, co-fondateur du groupe Ermel
- Jean Luc Brégeon, formateur à l’IUFM d’Auvergne
- Dominique Pernoux, formateur à l’IUFM d’Alsace
- Pierre Eysseric, IUFM d'Aix-Marseille
- Rémi Brissiaud, IUFM de Versailles
- de l’étude de plusieurs manuels
- de l’observation des élèves (évaluations CE1 – 2007)
Addition
Le sens de l’addition
J’utilise l’addition pour calculer le
nombre d’objets d’une collection
Le nombre total de billes est :
7 + 19 + 22 = 48
Il y a 48 billes dans cette
collection
J’utilise l’addition pour calculer
une somme de longueurs
Je veux mesurer le périmètre du
terrain
34 + 25 + 50 + 49 = 158
Le périmètre de ce terrain est 158 m
Addition
Le sens de l’addition
J’utilise l’addition pour avancer sur la file numérique
Je joue au jeu de l’oie et mon pion est
sur la case 18.
Je dois avancer de 6 cases
18 + 6 = 24
Mon pion sera sur la case 24
Rechercher avec les élèves des situations qui impliquent de trouver le
résultat par une addition. (jeux, courses, collections, …)
Addition
Difficultés observées
Évaluations CE1 -2007 : des observations de classes ont permis d’analyser et
d’interroger les élèves sur les stratégies utilisées. (GRP 29)
Item 1 : calcul en ligne de 3 + 5
Erreurs constatées
Pas de réponse
Résultat erroné : 7, 9, …
Item 2 : calcul en ligne de 15 + 4
Erreurs constatées
Pas de réponse
Résultat erroné : 18, …
Confusion dans la valeur des chiffres (numération décimale) : 55
Addition
Difficultés observées
Item 3 : calcul en ligne de 45 + 23
Résultats corrects
Erreurs constatées
Le résultat 68 est donné sans
explication (on ne demandait pas la
procédure)
45 + 23 = 65
45 + 23 = 60 + 8 = 68
L’écriture est transformée en 42 + 53
(sans résultat)
45 + 23 = 45 + 20 = 47
45+23 = 40+5+20+3 = 60 + 8 = 68
4+2 = 6
5+3 = 8
45+23 = 68
L’élève utilise le tableau de
numération mais en confondant la
valeur des chiffres
d u
4 2
5 3
9 5
Addition
Difficultés observées
Item 3 : calcul en ligne de 45 + 23
Sur 20 élèves interrogés dans une classe, on obtient plusieurs types de
réponses :
Pour calculer
- je ne sais pas faire, j’ai oublié comment faire (l’élève n’a pas à sa disposition
de procédure personnelle ou il n’ose pas en utiliser)
-je pose l’addition dans ma tête et je calcule 5 + 3 et après 4 + 2 (visualisation
de l’opération posée)
- je fais 45 = 40 + 5 …. (procédures de décomposition)
- je relie 4 et 2 ça fait 6 et après 5 et 3 ça fait 8 (connaissance de la
numération décimale mais en commençant par le premier chiffre)
Pour trouver le résultat
- je compte directement dans ma tête (mémorisation de la table d’addition)
- je compte sur mes doigts si je ne suis pas sûr (l’élève utilise une procédure
d’aide)
Addition
Difficultés observées
Item 4 : calcul posé de 57 + 14
Erreurs constatées (essentiellement la gestion de la retenue)
Item 5 : pose l’opération et calcule
452 + 235 + 68
Autres erreurs constatées
- opération mal posée
- sens du calcul (début par les centaines)
Addition
Pistes de travail
▪ Revenir à des manipulations d’objets et de collections (paquets de 10,
passage à la dizaine…)
▪ Procéder à des échanges sous forme de jeu et d’écriture (ex: échange de
monnaie, matériel scolaire, abaques …) pour comprendre la numération
décimale et le sens de la retenue
▪ Apprendre à utiliser la table d’addition pour la mémoriser
▪ User quotidiennement en classe d’exercices variés en calcul mental (calcul
rapide et réfléchi)
▪ Pratiquer régulièrement des décompositions de nombres (ex: calculs en
arbre)
▪ Utiliser régulièrement le tableau de numération pour placer les nombres
dans un premier temps, pour calculer dans un deuxième temps
▪ Habituer les élèves à chercher (essais de calcul, décompositions, dessins)
▪ Faire s’exprimer les élèves sur leur stratégie de calcul (expliquer comment)
▪ Méthode et rigueur sur la pose des opérations (ex : un chiffre par colonne
ou par ligne)
Addition
La table d’addition
Mettre en place des stratégies pertinentes dès la GS
Avoir une bonne connaissance mentale des nombres
(ce qui implique diverses représentations)
7
Exemple : comparaison des représentations du nombre 7 dans divers manuels
Exemple d’affichage dans une école
Addition
La table d’addition
Avoir une bonne connaissance mentale des nombres
(ce qui implique diverses représentations)
Exemple d’affichage dans une école : CP
Addition
La table d’addition
Apprendre le plus rapidement possible
- Les doubles
(2 + 2, 5 + 5…)
- Les compléments à « 10 »
(1 + 9, 2 + 8, 3 + 7, 4 + 6, 5 + 5, 6 + 4, …)
Domino des compléments à 10
Loto des doubles
Addition
La table d’addition
Développer des procédures de reconstruction du résultat
- L’utilisation des « presque doubles ». « 6 + 7, c’est (6 + 6) + 1, c’est 12 + 1 »
- Le passage à la dizaine. « 7 + 4, c’est (7 + 3) + 1, c’est 10 + 1 »
Proposer des situations qui permettent de mettre en jeu les propriétés de
l’addition.
a+b=b+a=
7+8=8+7=
a+=c
7 +  = 15
c=+
15 =  + 
Addition
La table d’addition
Connaître sa table d’addition, c’est :
Connaître le résultat rapidement (mémoriser) par une utilisation progressive
de la table de Pythagore
Reconstruire le résultat.
Utiliser des stratégies personnelles pour retrouver le résultat
Exemple : pour calculer « 3+6 », l’élève doit pouvoir remplacer l’opération
par « 6+3 » et éventuellement procéder au surcomptage (7, 8, 9) si cette
façon de faire lui facilite la tâche.
Jeu de l’escargot
Bataille des additions
Addition
La table d’addition
Addition
La technique opératoire
Préalables à l’addition posée
Une bonne connaissance de la valeur des chiffres
dans la numération décimale (numération de
position). Le recours régulier au tableau de
numération (outil de l’élève) est indispensable
(nombres < 1000)
C
D
U
La technique utilisée par l’élève doit avoir un sens pour lui. C’est pourquoi elle
doit être l’aboutissement formalisé de manipulations qui permettent de lui
donner une véritable signification.
Ex : le recours aux cartes à points permet cette prise de conscience.
Addition
La technique opératoire
Préalables à l’addition posée
Une technique opératoire ne doit pas être le seul moyen pour l’élève
d’effectuer des calculs simples. Il serait regrettable qu’il se réfugie
derrière la technique quoiqu’il arrive, sans avoir d’autres possibilités de
calcul.
Par exemple, il ne devrait pas poser d’addition pour calculer 39 + 10.
C’est la raison pour laquelle il faut présenter, en parallèle, le calcul en
ligne faisant appel à la décomposition des nombres (passage par la
dizaine)
Exemple tiré de
« Cap maths – CP »
Addition
La technique opératoire
Technique de l’addition posée
Le document d’accompagnement des programmes 2002 « le calcul posé à l’école
élémentaire » apporte ces précisions (Roland Charnay):
-ne pas dissocier dans le temps l’étude des cas « sans et avec retenue »,
afin de ne pas générer l’idée que le calcul se limite à l’addition séparée des
chiffres de même valeur.
- Le calcul posé en colonnes n’a d’intérêt que pour les nombres d’au moins
deux chiffres, et même dans ce cas, le calcul à partir de l’écriture en ligne
en repérant le rang de chaque chiffre est aussi efficace et rapide que le
calcul posé « en étages ».
-Il est important de proposer également des additions de plus de deux
nombres que les élèves doivent calculer en une seule fois.
- Le recours à un ou plusieurs « matériels de numération » permet
utilement d’illustrer la technique, et donc de mieux la comprendre,
notamment par la correspondance établie entre retenues et groupements
par dizaines, centaines…
Addition
La technique opératoire
Échanges avec manipulation de matériel
Addition
La technique opératoire
Technique
de
l’addition posée
Addition
La technique opératoire
Technique
de l’addition
posée
Addition
Un aide mémoire pour l’élève
La table d’addition
+
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
8
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
9
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
10
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Addition
Un aide mémoire pour l’élève
Le rappel de la technique opératoire
287 peut s’écrire
65 peut s’écrire
2 centaines
+
8 dizaines
7 unités
6 dizaines
5 unités
Je transforme les unités
12 = 1 dizaine et 2 unités
2 centaines
14 dizaines
12 unités
Je transforme les dizaines
15 = 1 centaine et 5 dizaines
2 centaines
15 dizaines
2 unités
3 centaines
5 dizaines
2 unités
Mon nombre s’écrit : 352
Addition
Un aide mémoire pour l’élève
Je calcule de droite à gauche
Je commence par la
colonne des unités
Je calcule 7 + 5 = 12
Je pose 2 et je retiens 1
Je continue par la
colonne des dizaines
Je calcule 1 + 8 + 6 = 15
Je pose 5 et je retiens 1
Addition
Un aide mémoire pour l’élève
Un ou des exemples d’opérations posées avec des indications sur la
présentation à respecter
Traits à la règle
Écriture du signe +
Un chiffre par ligne ou par colonne …