Transcript Jak gra* *eby wygra*? - MiNI Akademia Matematyki

Jak grać żeby wygrać?
Kilka słów o grach kombinatorycznych
Rafał Górak
Gry kombinatoryczne
Gry bezstronne
(impartial games)
Gry stronnicze
(partizan games)
Rodzaje gier kombinatorycznych
Wythoff Nim
http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/withoff.shtml
Pozycje P i N na przykładzie Wythoff Nim
Rodzaje pozycji w
grach bezstronnych
– pozycja pożądana, czyli taka do której chcę się
ruszyć (ale nie chcę wykonywać ruchu z pozycji P)
– pozycja niepożądana, czyli taka do której nie chcę
się ruszyć (ale chcę wykonywać ruch z pozycji N)
Pozycje P i N
N
N
N
N
P
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
P
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
P
N
N
N
N
N
P
N
N
N
P
N
N
N
N
N
N
N
N
P
N
N
N
N
N
P
N
N
N
N
N
N
N
Pozycje P i N na przykładzie Wythoff Nim
Rodzaje pozycji w
grach bezstronnych
– pozycja z której każdy ruch
prowadzi do pozycji N lub z
pozycji tej nie można wykonać
ruchu
– z której istnieje ruch do
pozycji P
Pozycje P i N
P
P
Bartek nie
może
wykonać
ruchu przegrywa
P
Zaczyna
Alicja
P
P
P
P
Pozycje P i N na przykładzie Wythoff Nim
Alicja i Bartek grają w odejmowanie. Zaczynają od 100, po
czym na przemian odejmują liczbę naturalną nie większą od 5.
Wygrywa gracz, który jako pierwszy otrzyma w wyniku 0.
Zaczyna Alicja. Czy tym razem też może wygrać?
Pozycje P i N
Teraz
Bartek
Bartek nie może
wykonać ruchu
- przegrywa
Alicja wykonuje
ruch jako
pierwsza
Teraz Alicja
Pozycje P i N na przykładzie Wythoff Nim
Który z graczy wygra?
Drugi – kopiując ruchy przeciwnika względem osi
symetrii
Pozycje P i N na przykładzie Wythoff Nim
Który z graczy wygra?
Drugi – kopiując ruchy przeciwnika
Pozycje P i N na przykładzie Wythoff Nim
P
P
P
P
P
P
P
Teraz
też wygrywa
gracz
drugi!
Gracz drugi
zawsze
wykonuje
ruch
do pozycji P + P
Pozycje P i N na przykładzie Wythoff Nim
Suma gier
+
Suma gier na przykładzie Wythoff Nim
Kto wygrywa sumę gier?
P
P+P=P
+ (czyli gracz
P II)
Suma gier na przykładzie Wythoff Nim
Kto wygrywa sumę gier?
N
N+P=N
(czyli gracz
+
P I)
Suma gier na przykładzie Wythoff Nim
Kto wygrywa sumę gier?
N
N+N=P(czyli
+
gracz
N II)
Suma gier na przykładzie Wythoff Nim
Kto wygrywa sumę gier?
N
N+N=N(czyli
+
gracz
N I)
Suma gier na przykładzie Wythoff Nim
N+N=?
Suma gier na przykładzie Wythoff Nim
Gra Nim
N + N + N
+
8
= N
+
6
7
Gra Nim
Twierdzenie (Bouton 1901)
(m,n,k) jest P pozycją w grze Nim
m n k=0
Gra Nim
Gra Nim
+
8
+
6
7=?
Gra Nim
8
4
2
1
8 =1 0 0 0
6= 110
7= 111
1 0 0 1=1+ 8=9
Dodawanie nim
Jaki jest ruch wygrywający (czyli do pozycji P)?
(m,n,k) jest P pozycją
w grze Nim
+
m n k=0
8
Wygrywa
gracz I
(pozycja N)
+
6
7=9
Gra Nim
8
4
2
1
81==10 0 0 10
6= 110
7= 111
01 0 0 01
+
18
+
6
7
Ruch wygrywający
Jak w Nim ale możemy zdjąć co najwyżej
3 elementy
+
9
+
6
7
Gra w odejmowanie
Jak w Nim ale możemy zdjąć co najwyżej
3 elementy
g(
g(9)
) + g(
) + g(
g(6)
)
g(7) =
?
Gra w odejmowanie
Jak obliczamy wartość nim pozycji?
g(
)= mex{ g(
), g(
), g(
)}
g(9) = mex{ g(8), g(7), g(6) }
Funkcja Sprague-Grundy’ego
g(x) = 0
x jest P pozycją
Funkcja Sprague-Grundy’ego
Twierdzenie Sprague-Grundy’ego
o sumie gier
g(G+H) = g(G) g(H)
Twierdzenia Sprague-Grundy’ego
Jak w Nim ale możemy zdjąć co najwyżej
3 elementy
g(
+
+
)= ?g( )
g(9 + 6 + 7) =
g(9)
g( )
g( )
g(6)
g(7)
Gra w odejmowanie
Jak w Nim ale możemy zdjąć co najwyżej
3 elementy
g(
g(9)
)
g(
g(6)
)
g(
)
g(7) = 3+2+1=0
Gra w odejmowanie
2
1
g(8)= 0=0 0
g(6)= 2=1 0
g(7)= 3=1 1
01
+
8
+
6
7
Ruch wygrywający
2
1
g(8)= 0=0 0
g(6)= 2=1 0
? =2=1 0
00
+
8
+
6
7
Ruch wygrywający
g( 4 )=0
g( 6 )=2
g( 5 )=1
Ruch wygrywający
Sumy gier w GO
Rodzaje gier kombinatorycznych
Rodzaje gier kombinatorycznych
http://playgo.to/iwtg/en/
http://go.art.pl/