Mõistete vahelistest seostest õpilaste mõtlemises

Transcript Mõistete vahelistest seostest õpilaste mõtlemises

Mõistete vahelistest seostest õpilase mõtlemises Märten Karm Tartu Ülikool 1. november 2013

Mõistete olulisusest

• • • Mõisted matemaatikas palju kasutuses Matemaatika oskamise üheks eelduseks orienteerumine mõistetes Milline on mõistete vaheliste seoste hulga struktuur e mõistete seostumise struktuur? Toetume mõnede autorite käsitlustele.

Mõtteskeemid (1)

• • • • • Chinnappan, M., & English, L. (1995). Students’ mental models and schema activation during geometric problem solving. MERGA, 18, 156–162.

Õpilastel lasti lahendada üht geomeetria ülesannet ja samal ajal mõttekäiku valjult kommenteerida Ülesandes mitu geomeetrilisest objekti; mitmeti lahendatav Analüüsiti, milliseid skeeme õpilased kasutasid.

Skeem – ühe mõistega seotud informatsiooni organiseerimiseks kasutatav andmete struktuur

Mõtteskeemid (2)

• • • • Õpilased jaotati enne lahendamist kõrge ja madala sooritusvõimega õpilasteks Aktiveeritud skeemide arv oli kõrgema sooritusvõimega õpilastel kõrgem Madala sooritusvõimega õpilased rakendasid skeeme juhuslikult, ülesande püstitust silmas pidamata Võimekamate õpilaste käsutuses rohkem skeeme ja need on keerukamad – mõistete vahelised seosed tähenduslikumad ja nad on suutelised ülesandeid sügavamalt analüüsima

• • • •

Mõistekaart ja mõistete seostumise struktuurid

Mida kujutab endast üks keerukas mõistete seostumise struktuur? Kuidas välja selgitada?

Hay, D. B., & Kinchin, I. M. (2006). Using concept maps to reveal conceptual typologies. Education+ Training, 48(2/3), 127–142.

Mõistekaart – joonis, kus mõisted on kirjutatud kastide sisse ja omavahel ühendatud joontega, millele on kirjutatud mõisteid siduvad fraasid Hay ja Kinchin jaotasid mõistete seostumise struktuurid kolmeks: – Kodarad (spokes) – Ahelad (chains) – Võrgustikud (networks)

Kodar

Aritmeetiline jada Jada üldliige Konstantne jada Aritmeetilise jada summa Geomeetriline jada Jada Hääbuv geomeetriline jada Geomeetrilise jada summa Kahanev jada Kasvav jada

Ahel

Jada Jada üldliige Aritmeetiline jada Aritmeetilise jada summa Geomeetriline jada Geomeetrilise jada summa Hääbuv geomeetriline jada Hääbuva geom jada summa

Võrgustik

Aritmeetiline jada – Iga liikme ja talle eeleva liikme vahe jääv (d) JADA Muu jada Geomeetriline jada – Iga liikme ja talle eelneva liikme jagatis jääv (q) Hääbuv geom jada: 𝑞 < 1 Aritm jada summa 𝑆 𝑛 Aritm jada üldliige 𝑎 𝑛 = 𝑎 1 + (𝑛 − 1)𝑑 = 𝑎 1 + 𝑎 2 𝑛 ∙ 𝑛 Jada üldliige 𝑎 𝑛 = 𝑓(𝑛) Geom jada üldliige 𝑎 𝑛 = 𝑎 1 ∙ 𝑞 𝑛−1 Jada n esimese liikme summa 𝑆 𝑛 = 𝑎 1 + 𝑎 2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 Geom jada summa 1 − 𝑞 𝑛 𝑆 𝑛 = 𝑎 1 1 − 𝑞 Hääbuva geom jada summa 𝑆 𝑛 = 𝑎 1 1 − 𝑞

• • •

Mõistete seostumise struktuuri tüüpide iseloomustus

Kodar – Õppeprotsessi alguse struktuur – Lihtne täiustada Ahel – Uued mõisted lisatavad vaid ahela lõppu – Keskelt mõistete kustutamine lõhub struktuuri – Ei ole hästi üldistatav ega ülekantav Võrgustik – Eksperttase – Sügav arusaamine avaldub seoste paljususes – Stabiilne struktuur – lihtne täiustada üldist struktuuri muutmata

Üleminek ühelt struktuuri tüübilt teisele

• • • • Õppimisprotsessi käigus teadmisi viimistletakse, seega struktuur täiustub Kodar soodne pinnas õppimiseks – saab üle minna nii ahelale kui võrgustikule Ahelalt võrgustikule on raske minna Ahel → kodar → võrgustik

Kolmnurga lahendamine sin 𝛼 = vastas hüpot lähis cos 𝛼 = hüpot tan 𝛼 = vastas lähis Pyth teor 𝑆 = 𝑎𝑏 2 • Õpitakse siinus- ja koosinusteoreemi, uut pindala valemit sin 𝛼 = vastas hüpot 𝑆 = 1 2 𝑎𝑏 sin 𝛾 𝑎 Siinusteoreem 𝑏 = = sin 𝛼 sin 𝛽 𝑐 sin 𝛾 Kolmnurga lahendamine Pyth teor 𝑆 = 𝑎𝑏 2 lähis cos 𝛼 = hüpot 𝑐 2 Koosinusteoreem = 𝑎 2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 cos 𝛾 tan 𝛼 = vastas lähis

sin 𝛼 = vastas hüpot lähis cos 𝛼 = hüpot tan 𝛼 = vastas lähis Pythagorase teoreem 𝑆 = 𝑎𝑏 2 Täisnurkne kolmnurk Kolmnurga lahendamine Suvaline kolmnurk 𝑎 Siinusteoreem 𝑏 = = sin 𝛼 sin 𝛽 𝑐 sin 𝛾 𝑐 2 Koosinusteoreem = 𝑎 2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 cos 𝛾 𝑆 = 1 2 𝑎𝑏 sin 𝛾

Mõistekaartide kasutamine

• • Hay, D., Kinchin, I., & Lygo‐Baker, S. (2008). Making learning visible: the role of concept mapping in higher education. Studies in Higher Education, 33(3), 295–311.

Mõistekaartide kasutamine: – Õpilaste eelteadmiste väljaselgitamine – Mõistete seostumise struktuuri muutumise vaatlemine • Mehaaniline õppimine struktuuri ei muuda, mõttega õppimisel võib näiteks muutuda ahel võrgustikuks • Struktuuri kadumise hetke äratabamine – Õpetajapoolne teadmiste esitamine

Mõiste pildid

• • • • • Tall, D., & Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. Educational studies in mathematics, 12(2), 151–169.

Mõistete vaheliste seoste matemaatiline rangus ei kajastu alati inimeste mõtlemises Mõtlemises tekivad seosed eelkõige kogemuslikul baasil Ühe mõistega assotsieerub (lisaks teistele mõistetele) hulk eri nähtusi – tegevused, protsessid, vaimsed pildid, ülesanded jpm Kogu seda tunnetuslikku struktuuri, mis inimesel ühe mõistega seostub, nimetavad Tall ja Vinner mõiste pildiks

Väärarusaamad mõiste piltides

• • • • Paljude mõistetega on kokkupuuteid juba enne formaalset defineerimist – see vormib mõiste pilti Nii võivad tekkida väärarusaamad. Näiteks lahutamise mõiste pildis Ka definitsioonist alustades võivad tekkida väärarusaamad. Näiteks pidevuse mõiste pildi osa ilmselt paljudel joonise tegemise võimalikkus pastakat paberilt tõstmata. Aga funktsioon y = 1/x Õpetaja saab vääritimõistmise vältimiseks kohe alguses pidada silmas tekkivad mõiste pilti kui tervikut ning juhtida tähelepanu potentsiaalsetele väärarusaamadele

Näide funktsiooni mõiste pildi kohta

• • • • Funktsiooni mõiste pildi üheks osaks funktsiooni definitsioon Õpilasele võivad funktsiooniga seoses meenuda hoopis teised mõiste pildi tahud – et esitatakse valemi abil, et graafikuid saab joonistada, et väärtuseid saab kanda tabelisse, et tunnis leitakse nullkohti jne Mõistega tegeledes on korraga aktiivne vaid see osa mõiste pildi tahkudest, millega parajasti tegeletakse Kui õpetaja tegeleb mõiste pildi kujunedes ainult ühe tahuga (nt funktsiooni õppides ainult esitusega valemi kujul), võib õpilasel mõiste pilt aheneda

• • • •

Väärarusamad jada piirväärtuse mõiste pildis (1)

Talli ja Vinneri katse Testisid kõrgkooli matemaatikat õppima asuvaid õpilasi Muuhulgas küsisid: – Kas 0,(9) on sama, mis 1?

– Millised on murdude 0,5; 0,25; 0,(3); 0,(9) esitused harilike murdudena?

Suur hulk vastas esimesele küsimusele valesti, aga teisele õigesti

• • • • •

Väärarusamad jada piirväärtuse mõiste pildis (2)

Mõiste pildi erinevad tahud olid vastuolus.

Esimeses ülesandes nähti arvu 0,(9) kui ühe lõpmatu arvjada piirväärtust, teises kui üht konkreetset arvu (murdu) Jada piirväärtuse mõiste pildiga tugevalt seotud arusaam, et piirväärtus on arv, milleni jada liikmed kunagi ei jõua Koolis leitakse ka enamasti just selliste jadade piirväärtuseid Aitab õpetajapoolne ennetav potentsiaalsete veakohtade selgitamine

Kokkuvõte

• • • • • Mõistetevahelisi seoseid saab iseloomustada mitmest aspektist: nt lähtudes struktuuri keerukuse astmest või tähenduslike seoste hulgast Õpetaja omab kindlasti rikkalikku võrgustikukujulist struktuuri Õpilastel ilmselt lihtsam ja põhineb assotsiatsioonidel Õpetaja saab õpilast toetada valede assotsiatsioonide tekkimise ära hoidmisega ning toetada rikkaliku struktuuri tekkimist, kus oleks palju tähenduslikke seoseid Sellised õpilased on suurema üldistamisvõimega ja tõenäoliselt ka ülesannete lahendamisel edukamad

Kasutatud kirjandus

• • • • Chinnappan, M., & English, L. (1995). Students’ mental models and schema activation during geometric problem solving. MERGA, 18, 156–162.