Transcript Делимость чисел

Делимость чисел
Автор:
Бударецкий Станислав
ученик 10а класса
СОШ №3 с УИОП г. Усинска
Учитель: Акбулатова Н.В.
Цель работы –
подобрать такие два
числа, чтобы сумма
квадратов этих чисел
была бы равна
квадрату целого числа.
Задачи
•
Изучить более подробно, чем в
школьном курсе, тему «Делимость
чисел»;
•
Рассмотреть решение задач по
теме «Делимость чисел»;
•
Найти способ решения
поставленной передо мной задачи;
•
Составить программу для
компьютера решения поставленной
передо мной задачи.
ТЕМЫ :
• Делимость чисел
• Свойства делимости. Делимость
•
•
•
•
суммы, разности и произведения
Признаки делимости
НОД и НОК двух чисел
Алгоритм Евклида
Нахождение Пифагоровых троек
Методы
исследования:
• Теоретический анализ
• Наблюдение
закономерностей
Примеры
• Задача 1 Докажите, что на прямой 32x +
48y = 105 нет ни одной точки с
целочисленными координатами.
• Задача 2 Доказать, что сумма 13 + 23 + ...
+ 483 + 493 делится на 25.
• Задача 3 Доказать, что при любом
целом n значение выражения n3 - 3n2 4n кратно 6.
• Задача 4 Доказать, что n5 - n делится на
5, при всех целых числах n.
Признаки делимости
• Число делится на 11 тогда и только тогда, когда
разность между цифрами, стоящими на четных
местах, и суммой цифр стоящими на нечетных
местах, делится на 11.
• Число делится на 7, 11 или 13 тогда и только
тогда, когда знакочередующаяся сумма
трехзначных граней числа делится на 7, 11, или
13 соответственно.
• Число делится на 37 тогда и только тогда, когда
сумма трехзначных граней числа делится на 37.
• Число делится на 10n тогда и только тогда, когда
последние n цифр равны 0.
• Задача1. Делится ли на 11 число a =
Пример
94317991999?
• Задача2. Являются ли числа 7, 11,
13 делителями числа 5159539?
• Задача3. Найти все пятизначные
числа вида 71X1Y, делящиеся на
132.
• Задача4. Докажите, что при всех
целых n число: 10n + 18n - 1
делится на 27.
Алгоритм Евклида
- это простой метод
нахождения наибольшего
общего делителя двух
чисел, основанный на
делении с остатком.
От прямоугольника 324 см x 141 см отрезали несколько
квадратов со стороной 141 см, пока не останется
прямоугольник, у которого одна из сторон меньше 141
см. От полученного прямоугольника снова отрезают
квадраты, стороны которой равны его меньшей стороне,
пока это все возможно, и т.д. (рис 1).
На какие квадраты разрезан будет прямоугольник? (Укажите
их размеры и количество).
Задача
Ответ: прямоугольник будет разрезан на квадраты: 2 по 141
см *141 см, 3 по 42 см * 42 см, 2 по 15 см * 15 см, 1 по
12 см * 12 см и 4 по 3 см * 3 см.
Пифагорово число (пифагорова
тройка) – комбинация из трех целых
чисел (x;y;z), удовлетворяющих
соотношению Пифагора:
x2 + y2 = z2.
•
•
•
•
•
(3;4;5): 32 + 42 = 52;
(6;8;10): 62 + 82 = 102;
(20;21;29): 202 + 212 = 292;
(12;35;37): 122 + 352 = 372;
(9;40;41): 92 + 402 = 412.
Утверждение:
К любому целому числу, по
модулю большего двух,
можно подобрать такое
число, что сумма квадратов
этих чисел равна квадрату
целого числа.
• Задача. Катет прямоугольного
треугольника равен 12. Найдите
другой катет и гипотенузу,
если они выражаются
натуральными числами.
• Ответ: (12;35;37), (12;16;20),
(12;9;15), (12;5;13).
Великая теорема Ферма
• Для любого
целого n > 2
уравнение:
хn + yn = zn
не имеет
положительных
целых решений
x, y и z.
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ
Конец