Transcript Document

Cвойства делимости
• В множестве целых чисел всегда
выполнимы сложение, вычитание и
умножение чисел,
• т.е. сумма, разность и произведение
целых чисел всегда являются целыми
числами.
• В отдельных случаях при делении одного
целого числа на другое в частном
получается целое число.
• Напомним; что разделить число а на
число b, где b‡ 0,
• это значит найти такое число k, при
умножении на которое числа b
получается а,
• т.е. верно равенство bk = а.
• Почему в‡0 ?
• ПРИ в=0 и а ‡ О равенство 0 • k = а не
является верным ни при каком k,
• а при а = О равенство 0 • k = а верно при
любом k, т.е. частное становится
неопределенным.
• Это делает понятной часто
употребляемую фразу:
• «на нуль делить нельзя».
• Рассмотрим случай
• а и Ъ (b‡ 0) — целые числа и частное от
деления a на b также является целым
числом,
• т.е. когда существует целое число k
такое, что а = bk. В таком случае говорят,
• что «а делится на b нацело»
• или, короче: «a делится на b».
• Определение.
• Целое число а делится на целое число
b, не равное нулю, если существует
такое целое число k, что а= bk.
•
•
•
•
•
Например, 56 делится на -8,
так как 56 = (-8) • (-7),
где -7 — целое число,
а 78 не делится на -8,
так как не существует такого целого
числа k,
• для которого верно равенство 78 = (-8)k.
•
•
•
•
•
Если а делится на b,
то число b называют делителем числа а,
а число а — кратным числа b.
Говорят также, что «а кратно b».
Например, делителями числа 4 являются
числа 1, -1, 2, -2, 4, -4.
• Кратными числа 4 являются числа 4, -4,
8, -8, 12, -12 и т. д.,
• вообще любое число вида 4m, где т € Z.
• Рассмотрим некоторые свойства делимости
(буквами обозначены целые числа):
• Всякое число а, отличное от нуля, делится
на себя.
• Нуль делится на любое число b, не равное
нулю.
• Если а делится на b (b ‡0) и b делится на с (с
‡ 0), то а делится на с.
• Если а делится на b (b‡ 0) и b делится на а (а
‡ 0),
•
то числа а и b либо равны, либо являются
противоположными
• Запишите эти свойства с помощью символов.
Третье свойство.
•
•
•
•
Из определения делимости следует,
что а = bk, b = cm, где k и т — целые числа.
Отсюда а = (cm)k,
т.е. в силу сочетательного свойства умножения
а = c(mk), где mk — целое число,
• а это означает, что а делится на с.
• Запишите эти свойства с помощью символов
Четвертое свойство.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Из определения делимости следует,
что а = bk и b = am, где k и т — целые числа.
Отсюда а = (am)k, т.е. а = a (mk).
Так как а ‡0, то mk = 1.
Однако mk = 1 для целых чисел ,если
т = k =1 или т = k =-1
В первом случае числа а и b равны,
во втором — они отличаются только знаком.
Запишите эти свойств с помощью символов
Пример 1.
• Пусть а є Z, b є Z(b‡0),
•
•
Докажем если а делится на b,
то (a^n )делится на b^n
п при n є N,
• Из определения делимости существует такое целое
число k, что а = bk.
• Возведя обе части этого равенства в степень n,
получим, что a^n = (bk)^n, т.е. a^n = b^n * k^n.
• Так как k — целое число и b ‡0, то
• k^n и целое число и b^n‡0.
• . Следовательно, по определению a^n делится на b^n.
• 299.
Укажите, если возможно, два
значения а, при которых верно
высказывание:
• а) а делится на 11;
в) 0 делится на а;
• б) 17 делится на а;
г) а делится на 0.
• Докажите, что если а кратно 6 и
b кратно 5, то произведение а кратно 30.
• 303.
Пусть F — множество чисел,
кратных 36. Принадлежит ли множеству
F число а, если известно, что:
• а) а кратно 9; б) a кратно 72; в) а
кратно 108?
•
•
•
•
•
Верно ли высказывание:
а)если а делится на 15, то а делится на 5;
б)если а делится на 5, то а делится на 15;
в)если а делится на 30, то а делится на 90;
г) если а делится на 105, то а делится на 35?
• 302. Покажите с
помощью кругов Эйлера
соотношение
между множествами А и
В, если:
• а) А — множество
чисел, кратных 4, В —
множество
чисел, кратных 12;
• б) А — множество
чисел, кратных 96, В —
множество
чисел, кратных 16;
• в) А — множество
чисел, кратных 37, В —
множество
чисел, кратных 111.
• 303.
Пусть F — множество чисел,
кратных 36. Принадлежит ли множеству
F число а, если известно, что:
• а) а кратно 9; б) a кратно 72; в) а
кратно 108?
•
На схеме Эйлера
меньший из кругов
изображает множество
чисел, кратных 12.
Приведите пример
бесконечных множеств,
которые могут
изображать два других
круга.
• На схеме Эйлера средний
круг изображает
множество чисел,
кратных 4.
• Приведите пример
бесконечных множеств,
которые могут
изображать два других
круга.