Transcript Lógica - El Postulante

LOGICA
1
Proposición
 Expresión de la que tiene sentido decir si es verdadera




o falsa Una proposición es una sentencia (oración)
correctamente formada que puede ser verdadera o falsa
Es una sentencia declarativa.
Representa un hecho de la realidad.
Es una oración del lenguaje que consta de un sujeto y
un predicado, tiene un valor afirmativo.
Las oraciones interrogativas, exclamativas,
imperativas, no afirman nada y no pueden ser
considerados enunciados.
2
 Ejemplos
– 1 + 4 = 5 (Verdad)
– La Pampa es una nación. (Falso)
– 8 + 23 (no es proposición)
– María (ídem anterior)
Analiza si son o no proposiciones
Luís y Marta van de pesca.
Luis llamó a Marta para salir.
El autobús pasa a las seis
Mañana lloverá.
¡siéntate!
¿cuándo sale el autobús?
¿fueron a pescar Luis y Marta finalmente?
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Proposición Atómica
 Una proposición es simple o atómica si no
puede ser descompuesta en proposiciones
más simples.
 Las proposiciones simples o atómicas son
indicadas de manera afirmativa.
 Ejemplos:
– La casa es grande.
(es atómica)
– La casa no es grande.
( no es atómica)
– Hoy es viernes y tenemos clase. (no es atómica)4
Proposición Molecular
 Una proposición es compuesta o molecular
si no es atómica, es decir, si puede ser
descompuesta en proposiciones más
simples.
 Una proposición compuesta o molecular se
forma al unir proposiciones atómicas
utilizando conectivos lógicos o términos de
enlace.
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Proposiciones Moleculares
 Ejemplos
– Vamos en bicicleta o vamos a pie.
– No es cierto que Juan llegó temprano
– Juan no llegó temprano
– Luis es arquitecto y Martín es médico.
– La medalla no es de plata y el diploma parece
falso.
– Matías aprobó pero Lucas no.
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Simbolización
 Se utilizarán letras minúsculas para
simbolizar las proposiciones atómicas.
 Ejemplo:
– El Sr.Domínguez es el gerente.
Si se considera
p = “El Sr.Domínguez es el gerente”
esta proposición puede ser simbolizada como p.
7
Simbolización
 Para simbolizar un proposición
– Identificar las proposiciones simples o atómicas
– Simbolizar las proposiciones simples o
atómicas encontradas.
– Utilizar los conectivos lógicos para
relacionarlas.
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Simbolización
 Ejemplos
– Vamos en bicicleta o vamos a pie.
p : “Vamos en bicicleta”.
q : “Vamos a pie”
Simbolización: p v q
– No es cierto que Juan llegó temprano
p = “Juan llegó temprano”.
Simbolización :  p
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Simbolización
 Ejemplo
– La medalla no es de plata y el diploma
parece falso.
p : “La medalla es de plata”.
q : “El diploma parece falso”
Simbolización: p ^ q
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Simbolización
 Ejemplo
– Matías aprobó el examen pero Lucas no.
r = “Matías aprobó el examen”.
s = “Lucas aprobó el examen”
Simbolización : r ^  s
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 La formalización es el proceso en el que se traducen
proposiciones del lenguaje cotidiano al lenguaje formal o
simbólico.
Expresa las siguientes proposiciones usando p, q y los conectivos.
Sean p: “La temperatura está sobre los 17°C”
q: “ Llueve”



La temperatura está sobre los 17°C pero llueve.
Ni la temperatura supera los 17°C ni llueve.
No es cierto que llueva con la temperatura superior a los
17°C.
 Llueve cuando la temperatura está sobre los 17°C.
 Que la temperatura esté sobre los 17°C es suficiente para que
no llueva.
 O bien llueve o bien la temperatura es superior a 17°C.
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Tabla de Verdad
 La tabla de verdad de una proposición
molecular muestra todas las posibles
combinaciones de valores de verdad de las
proposiciones atómicas que la componen.
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
14
Negación
p
V
F
p

p
F
V
p
 Indique el valor de verdad de:
– El número 9 no es divisible por 3.
– No es cierto que los perros vuelan.
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Conjunción
p
q
p^q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
 Indique el valor de verdad de :
– 6 es un número par y divisible por 3.
–(2+5=7) y(2*3=9)
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Disyunción
p
q
pvq
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
 Indique el valor de verdad de :
– 2 es primo o es impar.
– (2 + 3 = 4 ) o (2 * 2 = 5)
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Construcción de tablas de verdad
 ¿Cuántas filas tiene la tabla?
– 1 proposición

2 valores (V o F)
– 2 proposiciones

4 valores de verdad
– 3 proposiciones

8 valores de verdad
– .........
– n proposiciones

2n valores de verdad.
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Ejemplos
 Construir las tablas de verdad de las
siguientes proposiciones
p^ q
(pvq)^
p
(p ^  r ) v (  p ^ q)
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Ejercicio
 Sabiendo que p y q son proposiciones
verdaderas y que r y s son proposiciones
falsas, determinar el valor de verdad de las
proposiciones moleculares siguientes:
(p ^ q ) v (r ^ p ) v s
(q
v
p)
^  (r
v s)
v
( q ^  r )
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Ejercicio
 Sabiendo que
(p v q ) ^ (  p ^ s) es verdadera
indicar, de ser posible, el valor de verdad de
las proposiciones atómicas que la componen
21
Ejercicio
 Sabiendo que
(  p ^ q ) v (  p v q ) es falsa

indicar, de ser posible,
el valor de verdad de
las proposiciones atómicas que la componen
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Proposiciones moleculares
 Según su valor de verdad pueden ser
– Tautología
– Contradicción
– Contingencia
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Tautología
 Una proposición compuesta o molecular es
una tautología si es cierta, cualesquiera
sean los valores de verdad de las
proposiciones atómicas que la componen.
 Ejemplo: p v  p
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Contradicción
 Una proposición compuesta o molecular es
una contradicción si es falsa, cualesquiera
sean los valores de verdad de las
proposiciones atómicas que la componen.
 Ejemplo: p ^  p
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Contingencia
 Se dice que una proposición compuesta o
molecular es una contingencia si al
construir la tabla de verdad el resultado
final que se obtiene, es una combinación
valores de verdad verdaderos y falsos.
 Ejemplo: p ^ q
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Ejercicios
Formaliza las siguientes proposiciones:
No es cierto que no me guste bailar
Me gusta bailar y leer libros de ciencia-ficción.
Si los gatos de mi hermana no soltaran tanto pelo me gustaría acariciarlos.
Si y sólo si viera un marciano con mis propios ojos, creería que hay vida
extraterrestre.
Una de dos: o salgo a dar un paseo, o me pongo a estudiar como un energúmeno.
Si los elefantes volaran o supieran tocar el acordeón, pensaría que estoy como una
regadera y dejaría que me internaran en un psiquiátrico.
Prefiero ir de vacaciones o estar sin hacer nada si tengo tiempo para ello y no tengo
que ir a trabajar.
 ¿Cuáles de estas proposiciones es
una tautología?
 ¿Puedes construir una
contradicción a partir de alguna
de ellas? ¿Cuál?
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Equivalencia Lógica
 Se dice que dos formulas lógicas son
equivalentes si poseen los mismos valores
de verdad (para los mismos valores de
verdad de sus variables)
 Ejemplo:  (p  q)   p   q
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Ejemplo:
 (p  q)   p   q
p
q
pvq
 (p  q)
V
V
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
p
q
p
q
p q
V
V
F
F
F
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
29
Leyes de De Morgan
 La negación de una disyunción es equivalente a la
conjunción de las negaciones de las proposiciones
involucradas.
 (p  q)   p   q
 La negación de una conjunción es equivalente a la
disyunción de las negaciones de las proposiciones
involucradas.
 (p  q)   p   q
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Proposición condicional
 Dadas dos proposiciones p y q, la
proposición "si p entonces q" se llama
proposición condicional y se escribe
p q
donde p es llamada antecedente o hipótesis,
y q consecuente o tesis.
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Proposición condicional
 Ejemplo:
Si resolvemos las guías de trabajos prácticos
entonces aprenderemos matemática
p = "resolvemos las guías de trabajos prácticos "
q = "aprenderemos matemática"
Simbolizando: p  q
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Proposición condicional
 Ejemplo:
Si vamos a la fiesta entonces no nos
acostaremos temprano
p = "vamos a la fiesta"
q = "nos acostaremos temprano"
Simbolizando: p   q
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Tabla de verdad del condicional
p
q
pq
V
V
V
F
V
V
V
F
F
F
F
V
La implicación de p a q es falsa únicamente en el caso
de que el antecedente p sea verdadero y que el
consecuente q sea falso
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Proposición Condicional
 Existen distintas formas de leer un
condicional:
– “Si p entonces q”.
– “q es una condición necesaria para p”
– “p es una condición suficiente para q”.
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Distintas formas de indicar una
proposición condicional
 Ejemplo:
p : El entero x es múltiplo de 4
q : El entero x es par
– Si el entero x es múltiplo de 4, entonces es par
– Que el entero x sea múltiplo de 4 es suficiente
para que sea par
– Que el entero x sea par es necesario para que
sea múltiplo de 4.
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Proposición condicional
 La contra positiva de la proposición
condicional p  q es la proposición
q p
 Muestre la equivalencia lógica:
pq qp
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Proposición bicondicional
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p q
V
F
F
V
 Observando la tabla notamos que el bicondicional
distingue si ambas proposiciones tienen el mismo valor
de verdad, o valores de verdad distintos.
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p  q  (p q) ^ (q  p)
p
q
p q
q p
(p  q) ^ (q p)
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
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1) Halla los valores de verdad de las proposiciones si sabes que
p  q es falsa.
a)  p  q
b) q  p
c) p   p
d)  p  q
Piensa un rato y justifica tus respuestas
2) Halla los valores de verdad de p, q, r, s, t para que
(pq)r  (st)
sea falsa
3) Construye una tabla de verdad para cada una de las proposiciones
a) ( p   q )  q
b) ( p  q )  ( p  q )
c) q  ( p   q)
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