Transcript Regresión particionada

ECONOMETRIA
REGRESIÓN PARTICIONADA
Mtro. Horacio Catalán Alonso
TallerEconometría
de Econometría
 Un análisis por separado de las variables
afectará los resultados de un análisis conjunto
 Inclusión de términos como constante, tendencia
ó variables “dummy”
 En el contexto de un modelo de regresión
múltiple los resultados de la proyección no cambian
si se considera una partición eb las variables
explicativas
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Asuminedo que el conjunto de variables
explicativas está particonado en dos subconjuntos
1)
    U
2)
t  11  11  U t
3)
 1 
t  1  2 
  Ut
 2 
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Para cada subconjunto
sabemos que:
existe
un
estimador
1
ˆ
  '   ' 
'  ˆ
 ' 
De la cual se deduce que:
 1 
1  2  1  2    1  2  ' 
 2 
'
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 1' 
 1   1' 
 '  1  2 
   ' 
 2 
 2   2 
 1' 1
 '
  2 1
1 2   1   1'  

 '

'
 2 1    2    2  
'
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Se forma el siguiente sistema:
1)
  
2)

'
1
'
2
1


  2 2   
1


'
1
'
1

1 1   2  2  2   2 
'
'
De la ecuación (1) se resuelve para β1
  
'
1
3)
1
1


 1  1 2  2
'
'
1   1      1 
'
1
1
'
1
'
1
1
  
'
1
2
2
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ˆ1   1  1'    2  2 
'
1
4)
1
El estimador ˆ resulta de una estimación del
subconjunto de variables X1 respecto a Y
  
'
1
1
1
1
'
Menos un término
  
'
1
1
1
1 2  2
'
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Si suponemos que
 2  0
'
1
Entonces
5)
ˆ1   1  1' 
'
1
1
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El supuesto de que   2  0
'
1
Significa que los subconjuntosd son ortogonales
S  2 
90

S 1 
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De la ecuación (5) podemos definir

6)
1ˆ1  1  1
7)
1ˆ1  1
8)
1  1  1

'
1
'
1

1

1
1
'

'
1
Matriz de proyección del subconjunto 1
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Sustituyendo 3 en 2

'
2
1
  
'
1
1
1

    1
'
1
'
1
   
1
'
1
2
2
   
'
2
2
2
 
'
2
        
      
'
2
1
'
2
9)
1
'
1
2
'
1
1
2
'
2

1  1
'
1
   
1
'
1
2
2
'
2
      2 2   2 2   
'
2 1
'
2 1
'
2
'
2
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10)
   2 2   2 2       
11)
   1  2  2     1 
12)
ˆ2     1  2
'
2 1
'
2
'
2
'
2
'
2 1
'
2

'
2

1
   1 
'
2
En la estimación de  2 influye un componete

ˆ   
'

1

'
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Es necesario precisar que

13)
  1    1  
14)
  1ˆ1  Uˆ1
15)
  1  Uˆ1
16)
  1   Uˆ1
  1

'

1

'
Es la proyección de los residuales
del subconjunto 1
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  1 
Representna los residuales de las columnas X1 es el
vector de residuales de la regresión de Y en X1

en
1
   1  2|
'
2
Es el vector de residuales en la regresión
correpondienete de las columnas de X2 en X1
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
'
2

'
2
ˆ2     1  2

1
   1 
'
2
ˆ2     1    1  2
'
ˆ2    2   2 
'
2
1

1
 2   1    1 
'
Residuales de Y2 en X1
respecto a X1
Nota:   1  es una matriz idempotente
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Teorema Frisch-Waugh
La estrimación por MCO del vetor Y en dos
conjuntos de variables X1 y X2, el subvector ˆ2 es
el conjunto de coeficientes que se obtiene cuando
los residuales de la estimación de Y en X1 es
regresionado con los residuales de la estimación
de cada caolumna de X1 y X2
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Ejemplo de regresión particionada. Sea X1 una
columna de 1
1)
 1
 
 1
1    

 
 1
 
Asumiendio que X2 es un subconjunto de variables
explicativas que es ortogonal al primer conjunto
2)
  1,  2 ... k   1  2 
1 2  0
1U t  0
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Sabemos que

ˆ1   1
'
1

1

'
1
ˆ1  i i  i 
'
i i 
'
1

ˆ1  
1 '
1
N
N
i    yi
'
i 1
Promedio de la variable dependiente
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
ˆ2     1  2
Para
'
2
  1     1  1 
1
'
1
  1     ii i 
'
 
   1 
'
2

'
1
1 '
i

ˆ2     ii' i  i
'
2

1
1
  1     
'
1
   1 
'
2
Desviaciones respecto a
la media de Y
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Una aproximación para el caso de que el
subconjunto X1 sea sólo una variable
  1  2   2  ii i 
'
i i 
'
1

1 '
i 2
1
N
N
i  2    2i
'
i 1
  1 2  2  
Desviaciones respecto a
la media de X2
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 
ˆ2  
'
i2
i2

 2 
 i 2  i  
1
'
ˆ2 
ˆ2

'
i2
 i 2   2 


'
i2
   
 i 
i 2  2
Relaciona las desviacion es de Yi repsecto a
su promedio y la desviación de Xi respecto a
su promedio
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Para el caso de una regresión múltiple que
contiene la cosntante
 El coeficiente de la constante es una
aproximación al valor medio de la variable
dependiente
coeficientes
de
las
variables
 Los
explicativas. Relacionan las desviaciones de la
variable dependiente respecto a su media y las
desviaciones de cada variable respecto a su
media
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 En el caso de la tendencia. Incluir la
tendencia en el modelo equivale a incluir en el
modelo las variables dependientes sin la
tendencia lineal
 Las variables de constante y la tendencia
sólo ayudan a mejorar el ajuste del modelo
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Ajuste del Modelo de Regresión Múltiple
“Variación” se refiere a los cambios de la variable
dependiente asociados a los cambios de las
variables explicativas
Se define
1)

 
   i i i

'
1 '
i

Es una matiz de k columnas de unos
'
ii

 
N
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   
2)
      i i i i 
3)
    U
4)
      U     U 
5)
     
6)
         U U
'
'
'
'

'
'
'


'

Dado que
'
'
'
'

 U    U 

'

'
U   U   0
'

'
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7)
         U U
'

'
'

'
Total de la
Suma al
Suma de
suma de = cuadrado + los errores
cuadrados
de la
al cuadrado
regresión
Total de la
Variación
Variación
=
+ de los
Variación
de la
regresión
errores
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Dividiendo la expresión (7) por  '  
 
'
8)
'

 
'

10)
R 
2
R 
2
'

 
'
   
'
9)
   

'

 

'
 '  '  

 
'


'

UU
 

'
Variación de la Regresión
Variación Total
'

UU
 
N
i 1
i
 
2
0  R 1
2
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R2 toma el valor de 1 cuando
La variación de la regresión es igual a ala variación
total. Cuando la suma de errores al cuadrado es
igual a cero
R2 toma el valor de cero cuando
La suma de errores al cuadrado es igual a la
variación total. Esto significa que los errores de la
estimación son exactamente iguales a la distancia
entre la variable dependiente y su promedio
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