Transcript Taller de Econometría

ECONOMETRIA
INFERENCIA ESTADISTICA
Mtro. Horacio Catalán Alonso
TallerEconometría
de Econometría
Prueba de Hipótesis Estadística
La hipótesis estadística es una afirmación o
conjetura acerca de la distribución de una o más
variables aleatorias
Modelo estadístico
  f ( x ;  ),   
x  Representa el conjunto de variables aleatorias
  Parámetros de interés
f (.)  Función de densidad de probabilidad conjunto.
  Espacio de parámetros
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La conjetura se refiere a que el parámetro 
proviene de algún subconjunto del espacio de
parámetros 0
Se define la hipótesis nula
H0 :θ  0
Hipótesis alternativa
H1 : θ   0
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En el caso de la hipótesis nula es acompañada por
la posibilidad de cometer uno de los siguientes dos
tipos de error:
 Error tipo I: rechaza la hipótesis nula cuando
de hecho es verdadera
 Error tipo II: aceptar la hipótesis nula cuando
de hecho no es verdadera
El error tipo I es el más importante, desde el punto
de vista del análisis estadístico
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Lo ideal es obtener una prueba donde ambos
errores se minimicen
Desafortunadamente, ambos errores generan un
conflicto
La aproximación convencional, en las pruebas de
hipótesis, es fijar el error tipo I y tratar de
minimizar el error tipo II
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Se elige un nivel de significancia, denotado por
  0 ,1 
que también se identifica como el tamaño de la
prueba (magnitud del error tipo I)
Generalmente se asignan los siguientes valores:
  1%
Equivocarse en 1 de 100 casos.
  5%
Equivocarse en 5 de 100 casos.
  10 %
Equivocarse en 10 de 100 casos.
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En econometría se fija el tamaño de la prueba en
un nivel de 5% de significancia
Este valor, representa el nivel del error tipo I
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Si denotamos tˆˆ como el estadístico de prueba,
que es un escalar. Entonces se puede calcular la
región de aceptación de H0, denotado como C
para el nivel de significancia 
Pr tˆˆ  C  | H 0    (nivel de significan cia)
La regla es rechazar H0 si tˆˆ  C  y aceptar en
caso contrario. En la práctica el problema es
cómo elegir el estadístico tˆˆ que depende de la
distribución del estimador.
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En un modelo de demanda de dinero
Ecuación cuantitativa del dinero V Μ  YP
ln  t  b 1 ln Pt  b 2 ln Y t  b 3 ln(
1
vt
)  ut
Si b1=1 como establece la teoría monetarista la
ecuación puede reespecificarse como:
 1
ln  t  ln Pt  b 2 ln Y t  b 3 ln 
 vt

  ut


Es una ecuación de demanda por saldos reales.
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Hipótesis de estructura de tasa de interés.
Rt  b 0  b 1 Rt  u t
n
m
R
n
t
 Tasa de interés de largo plazo.
R
m
t
 Tasa de interés de corto plazo.
b0=0, b1=1
Se cumple la eficiencia en el mercado de tasa de
interés.
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Prueba de cambio estructural
Yt  b 0  b 1 x t   D t  u t
 0, t  1995
Dt  
1, t  1995
Si   0 existe cambio estructural
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MCO Restringidos
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Sea el modelo
Y t  b 0  b 1 x 1t  b 2 x 2 t  u t
Se considera la siguiente restricción
H 0 : b 0  0 , b 1  1, b 2   1
Es necesario definir una matriz de restricciones tal
que
H 0 : Rb  q
 r11

r
 21
 r31
r12
r22
r32
r13   b 0   q 11 
  

r23 b 1  q 12
  

r33   b 2   q 13 
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Es importante observar que
b0  0
Si b 1  1 esto implica
que b 1  1  0
Si b 2   1 esto implica
0

0

 0
0
1
0
que b 2  1  0
0 b 0   0 
   
0 b1  1
   
1   b 2    1
Rb  q
Rb  q  0
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Con la restricción el modelo debería especificarse
como:
Y t  x 1t  x 2 t
Su forma econométrica es
Y t  b ( x 1t  x 2 t )  u
*
*
t
b
1
Si las restricciones son válidas
estimador del modelo con restricciones
u
*
t
*
es el
errores del modelo con restricciones
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En general
Y  Xb  u
Para algún coeficiente que sea cero b j  0
R  0
0

1

0
0
y q=0
Si dos coeficientes son iguales b k  b
R  0
0
1
1


0
j
y q=0
Si la suma de los coeficientes es uno b 2  b 3  b 4  1
R  0
0
1
1
1
0

y q=0
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Un subconjunto de coeficientes es cero
b 1  0, b 2  0, y b 3  0
1

R  0

 0
0
0
0

1
0
0

0
1
0

0

0

0 
y q=0
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Se pueden combinar diferentes restricciones
b 2  b 3  1, b 4  b 6  0 , y b 5  b 6  0
0

0

 0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
 b1

b2

0
b 3
1 
 b
4
1  
b
5

 b 6



1 

 
  0 

 0 



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Las restricciones en los coeficientes generan un
problema en el proceso de estimación
Y  xb  u
Rb  q  0
j
Restricciones lineales
El problema es minimizar la suma de errores al
cuadrado (u´u) sujeta a las restricciones lineales
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Ejemplo:
1)
Yt  b1 x1t  b 2 x 2 t  b3 x 3 t  u t
Modelo sin restricciones asumiendo que b3=0
T

Minimizar
( Y t  b1 x 1 t  b 2 x 2 t )
2
t 1
Si la restricción es b1+ b2+ b3 = 1
Entonces b3=1-b1-b2
T
Minimizar 
(( Y t  x 3 t )  b1 ( x 1t  x 3 t )  b 2 ( x 2 t  x 3 t ))
2
t 1
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Modelo sin restricciones
Min b (Y  x b )´( Y  x b )
bˆ
Estimadores sin restricciones
uˆ  y  x bˆ
Errores del modelo sin restricciones
Q  uˆ´uˆ
Suma de errores al cuadrado del
modelo sin restricciones
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• Se
deben comparar ambos modelos con
restricciones y sin restricciones
• Bajo la hipótesis nula se espera que la suma de
errores sea parecida
Q
*
Q
*
 Q
Q  cero
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ECONOMETRIA
MÍNIMOS CUADRADOS CON
RESTRICCIONES
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Resolver para la restricción
1)
L ( b ,  )  ( y  x b )´( y  x b )  2  ´( R b  q )
Derivando la función con respecto a b
 x´( y  x b )  (  x )( y ´ b ´ x´)  2 R ´  0
 x´ y  x´ x b  xy ´ b ´ x´ x  2 R ´  0
 2x´y  2x´x b  2R´   0
2)
 x´ y  x´ x b  R ´  0
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Derivando la función con respecto a 
3)
2 Rb  2q  0
*
Rb  q  0
*
De las ecuaciones 2) y 3) se obtienen el siguiente
sistema
4)
x ´ x b  R ´  x ' y
*
*
Rb  q
*
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En su forma matricial
5)
 x´ x

 R
R ´  b *   x´ y 
 *   

0     q 
De la ecuación 2)
x´ x b
R ´
*
*
 R ´
*
 x´ y
 x´ y  x´ x b
*
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Dado que b* es el estimador con restricciones
x´ y  x´ x b
*
 x´( y  x b )
*
Errores del modelo con
restricciones
6)
R ´  x´ y  x´ x b
*
*
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Multiplicando la ecuación 6) por (x´x)-1
( x´ x )
1
R ´  ( x´ x )
*
1
x´ y  ( x´ x )
1
x´ x b
*
Nota: ( x´ x )  1 x´ y es el estimador sin restricciones
 bˆ
( x´ x )
7 )...( x´ x )
1
1
x´ x  I
identidad
*
*
R ´  bˆ  b
La diferencia entre los estimadores sin restricciones
y con restricciones
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De la expresión 7) multiplicando por R
8)
1
*
*
R ( x´ x ) R ´  R bˆ  R b
Nota. Rb=q
Por lo tanto R bˆ  R b *  R bˆ  q
De la ecuación (8) se obtiene  *
9)
  R ( x´ x ) R ´ ( R bˆ  q )
*
1
1
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Sustituyendo 9) en la ecuación 7)
10 )
1

1
( x´ x ) R ´ R ( x´ x ) R ´

1
*
ˆ
ˆ
( Rb  q)  b  b
Despejando para b *
11 )

1
1
b  bˆ  ( x´ x ) R ´ R ( x´ x ) R´
*

1
( R bˆ  q )
El estimador de mínimos cuadrados restringidos
es una función del estimador sin restricciones y de
las restricciones definidas en R
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De la ecuación 11) es importante señalar que:
1) R bˆ  q es un “vector discrepancia” entre bˆ y
las restricciones
¿Qué sucede cuando R bˆ
2)
q 0
?
  R ( x´ x ) R ´ ( R bˆ  q )
*
1
1
¿Cuándo se cumple que  *  0 ?
3)
1
ˆ
b  b  ( x´ x ) R´
*
¿bajo qué condiciones se cumple que b *
 bˆ
?
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El problema original es determinar
Q
*
 Q
Se define
1)
2)
b
*
Q
*
 bˆ  b
*
 bˆ
 ( y  x b )´( y  x b )
*
*
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Sustituyendo 1)
3)
 y  x ( bˆ  b  bˆ )   y  x ( bˆ  b  bˆ ) 
 y  x bˆ  x ( b  bˆ )   y  x bˆ  x ( b  bˆ ) 
*
´
*
4)

*
´
*

*
´
*
ˆ
ˆ
ˆ
( y  x b )  x ( b  b ) ( y  x b )  x ( b  bˆ )

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Desarrollando
( y  x bˆ )´  ( b
*

 bˆ )´ x´ ( y  x bˆ )  x ( b
 ( y  x bˆ )´( y  x bˆ )  ( y  x bˆ )´ x ( b
 (b
*
 bˆ )´ x´( y  x bˆ )  ( b
 ( y  x bˆ )´( y  x bˆ )  ( b
*
*
*
 bˆ )
*

 bˆ )
 bˆ )´ x´ x ( b
 bˆ )´ x´ x ( b
*
*
 bˆ )
 bˆ )
Nota ( y  x bˆ )  uˆ
Bajo el supuesto de que U´X=X´U=0. Entonces
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( y  x b )´ x  0
x´( y  x bˆ )  0
Por otra parte ( y  x bˆ )´( y  x bˆ )  uˆ´uˆ
*
*
 uˆ´uˆ  ( b
5)
u ´u
6)
Q  Q  (b
*
*
*
 bˆ )´ x´ x ( b
 bˆ )´ x´ x ( b
*
*
 bˆ )
 bˆ )
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b  bˆ  ( x´ x ) R ´R ( x´ x ) R ´ ( R bˆ  q )
*
1
1
1
Sustituyendo en (6)

Q  Q  ( R bˆ  q )´ R ( x´ x )
*
1
R´

1
( R bˆ  q )
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Nota:
x´ x ( x´ x )
1
1

1
( x´ x ) R ´ R ( x´ x ) R ´
1

1
R ´ I
Q  Q   ´ R ( x´ x ) R ´
*
*
*
Las restricciones en los parámetros se pueden
probar con la suma de errores al cuadrado del
modelo con restricciones y sin restricciones
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