Transcript Taller de Econometría

ECONOMETRIA
Estadísticos de Prueba en el Modelo
de Regresión Múltiple
Mtro. Horacio Catalán Alonso
Revisión de algunas Distribuciones
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de Econometría
Sea un vector x que representa un variable
aleatoria que se distribuye como una función de
densidad de probabilidad normal
  yx1 , x2 ,...,xk 
donde
 my 


 m x1 
E( )    
 


mx 
 k
  11   1k 


Cov( )     





kk 
 k1
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X  N (  , )
x se distribuye como una normal con media  y
varianza 
x es una normal con media cero y varianza igual a
uno se define como una normal estandarizada
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En el caso de un vector de variables aleatorias
Z  N(0, I )
La matriz de covarianzas es una matriz identidad
Cualquier vector puede ser estandarizado si se
define una matriz T tal que
TΣΣT I
T ´T Σ
1
Por lo tanto
T (  μ)  N(0,I)
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• La
multiplicación de la matriz T por las
desviaciones respecto a la media generan una
variable normal estándar
• Asociados
a la distribución normal existen
diferentes distribuciones asociadas que son
utilizadas en la inferencia estadística
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Teorema: sean x1, x2,…,xn una muestra aletaoria,
con una distribución normal con media  y varianza
2
Se define la variable aleatoria
n
V 
 (x
i 1
i

 )
2
2
Se distribuye 2como una chi-cuadrada con n grados
de libertad  ()
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Teorema: si x1 y x2 son dos variables aleatorias
independientes y cada una tiene una distribución
chi-cuadrada con k1 y k2 grados de libertad,
respectivamente, entonces Y = x1+x2 también se
distribuye como chi-cuadrada con k1+ k2 grados
de libertad
   (k1  k2 )
2
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Sea Z una variable normal estándar y X una
variable aleatoria chi-cuadrada con n grados de
libertad. Si X y Z son independientes, entonces.
Z
T
Χ
ν

tˆ 
s
Tienen una distribución t de student
con n grados de libertad
tˆ
de student con n -1 grados de libertad

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Sean u y n dos variables aleatorias independientes
que se distribuyen como una chi-cuadrada con m y
n grados de libertad respectivamente
u
 m
n
n
Se distribuye como una F con m y n
grados de libertad
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Distribución normal

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Distribución t de student
0
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 2 (k )
Distribución
Chi-cuadrada
F (m, n)
Distribución F
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Normal estándar
T (   )  N(0,1)
Se define Z  T (   )
Z´Z  T (  μ) T (  μ)
/
Z´Z  (   μ)´)´T ´T T  μ )
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Dado que T´T  Σ 1
Z´Z  (   ) 1 (   )   2 (n)
Se distribuye como una chi-cuadrada con n
grados de libertad
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Z´Z  (    ) 1 (    )
n
2
(



)
 i
i 1
2
Con base en dos variables normal estándar se
puede obtener una variable chi-cuadrada con n
grados de libertad
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Del modelo de regresión
1) Y  X  U
2)   X  U
ˆ ´U
ˆ  (Y  Yˆ )´(Y  Xˆ )
3) U
Es la suma de errores al cuadrado
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Es importante notar que
E( )  
   
E
Bajo regresores fijos
Bajo regresores aleatorios con
muestras independientes
 
(    )    E ( )    E 
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El término de error se distribuye como una normal
U  N(0,  )
2
Es
necesario
obtener
estimador de la varianza
un
Sabemos que
ˆ    ˆ
1) U
1
1
ˆ
2) U    ( ´) ´  I  ( ´) ´ 
ˆ  M
3) U


ˆ  M( ˆ  u )
4) U
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ˆ  Mˆ  MU
ˆ
5) U
Sabemos que
M  I  ( ´) 1 ´


M  I  ( ´) 1 ´ 
   ( ´) 1 ´  0
ˆ  MU
ˆ
6) U
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ˆ ´U
ˆ  (MU
ˆ )´(MU
ˆ)
7) U
ˆ ´M´MU
ˆ
U
Dado que la matriz M es simétrica e idempotente
M´M  MM´  M
ˆ ´U
ˆ U
ˆ ´MU
ˆ
8) U
ˆ ´U
ˆ U
ˆU
ˆ ´M
9) U
Aplicando valor esperado
ˆ ´U
ˆ )  EU
ˆU
ˆ ´M
10) E(U
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ˆU
ˆ ´M  σ 2 M
11) EU

 σ I

 σ 2 I  ( ´) 1 ´
1
2
NxN
 ( ´) ´
 σ I NxN  I KxK 

2
E(uˆ ´uˆ )  σ tr(INxN )  tr(IKxK )
2
 σ (n  k)
2
ˆ ´U
ˆ)
E(U
 σ2
(n  k)
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Estimador de la varianza 
2
N
S 
2
U
t 1
2
i
(n - k)
Es un estimador insesgado de la varianza
S S
2
Es la desviación estándar de los
valores de Y respecto a la
estimación Ŷ
Es un estimador insesgado de la varianza
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Sabemos que Z  N(0,I)
Z Z   (n)
/
2
Si U  N(0,  2 )
ˆ
U

 N(0,  )
/
ˆ
ˆ
UU

2
Es una normal estándar
  2 (ranM)
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Si
/
/
ˆ
ˆ

UU
 -    -  

N K
N K
T - K S
2
2
  2 N K 
Si se dsitribuye como una chi-cuadrsda con n-k
grados de libertad
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Restricciones
  β  U
Rβ  q
Se define βˆ

Var Rβ   E R βˆ - β βˆ - β  R /
/
ˆ


 RVar β R
/

1 /
1 /
2
/
2
/
ˆ
Var Rβ  R    R   R    R
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Se obtiene que


βˆ  N β,  
2

/



1

1
/
ˆ
Rβ  N R β, R   R
2
/

   
Rβˆ - q  N0, R  R 
1 /
2
/
ˆ
R β - β   N 0, R   R
2
/
1
/
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Se define la hipótesis
H 0 : Rβˆ  q
H1 : Rβˆ  q



/
ˆ
Rβ - q  N 0, R   R
2
/
1

¿Cuál es el estadístico apropiado para realizar la
prueba?
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Primero se define un estadístico con base en la
normal estándar
Rβˆ - q
 R    R
2
/
1

/
Rβˆ - q

2


1
R R
/
/
 N0,1
Se distribuye como una normal estándar con
media cero y varianza igual a 1
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Sabemos que
N(0,1)
 (q)
2
 t q 
q
/
ˆ
ˆ
UU
2
N - K 


2
N  K
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Rβˆ - q
 R    R
2
/
1
ˆ /U
ˆ
U
2
N  K
dado que
Rβˆ - q
/


2


1
R   R/
S
/

ˆ /U
ˆ
U
2
S
NK
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Rβˆ - q
Rβˆ - q




t
N
K
1 /
/
SRβˆ
S R R


El estadítico se distribuye como una t de student
con N – K gardos de libertad
En el caso particular de H0 : βi = 0, H1 : βi ≠ 0
βi
Estimador

 t N - K 
Sβˆ i Desviaciónestándardel estimador
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Es importante destacar que la prueba tˆ-student es
válida, sólo si los errores se distribuyen como una
normal
dado que t (N – K) → N(0, 1) cuando N →∞
La distribución t-student tiende a la normal
estandár cuando N tiende a infinito
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Z/ Z   2 (n)
  N(0, I)
2
Entonces
 ( I)    ( K )
/
2
1
2



/
ˆ
Rβ - q  N 0, R   R
2
/
1

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La forma cuadrática
Rβˆ - q   R   
/
2
1
/
R  Rβˆ - q    (q)
/
1
2
Se distribuye como una chi-cuadrda con q grados
de libertad que es igual al numerio de
restricciones donde
X  Rβˆ - q 


1
( I)   R   R
2
2
/
/
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La forma cuadrática
N  K S
2
2
  2 ( N  K)
dos variables aleatroias
u   (m)
2
n   2 (n)
u
F  m n   2 (m)
n
n
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Rβˆ - q   R   
/
2
/
1
R
/
 Rβˆ - q 
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1
q
( N  K )S2
2
 ( N  K)
2
F
q

2
( N  K)
 F(q, N  K )
q  Númerode restricciones
N  Númerode observaciones
K  Númerode paámetros
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/
ˆ
ˆ  Suma de erroresal cuadrado del modelo
QU U
sin restricciones
Q*  U * U*  Suma de erroresal cuadrado del modelo
con restricciones
/

Q - Q*  Rβˆ - q  R  
/
/

1
R
/
 Rβˆ - q
1
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El estadístico F se puede expresar como
(Q * -Q)
F
q
Q
( N  K)
2
u
2
R
Q * -Q N - K 

 F(q, N  K)
Q
q
R  R del modelosin
2
u
(R - R )
F
2
u
(1- R )
restricciones
q
(W  K)
2
R  R del modelocon
2
R
2
restricciones
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Q * -Q
 (q) 
 NR 2R
Q
N
2
La hipótesis de restricciones en los parámetros se
puede probar utilizando la chi-cuadrada con “q”
grados de libertad que genera resultados
similares a la prueba F
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Cuando se impone sólo una restrición
F(1,N - K) Es
equivalente a un
estadístico t de student

βˆ  q 
F(1,N - K) 
2
i
Var(βˆ i
Es uan prueba pseudo t
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