Transcript 教育部補救教學國小數學領域教材教法

教育部補救教學
國小數學領域教材教法
新北市國小數學輔導團
數學教育的目的
• 數學教育為學生提供基礎數學知識，以應
付日常的要求。
• 為了不讓兒童錯失成為數學家的機會，在
教學法內保留最重要的，兒童在學習過程
中有再發現數學結構的機會，不單是記得
一些方法和內容。只要教學過程著重發現，
便可以再獲得以前學過的內容。
• 學生亦能由教師的引導與他們的數學分析
能力，構造一些以前發現過的數學。
數學教育的問題
• 我們不只沒教好數學，有時反而逼得
孩子討厭數學，因此輟學或逃課。
• 美國研究統計：小學有30%的學生、國
中有50%的學生、高中有70%的學生曾
輟學或逃避數學課。
• 學生不能理解數學在教甚麼，大人又
誤判是學生努力不夠，要求他們反覆
練習。
數學教師必須做的事
• 數學教師在接觸學生之前有兩件及
重要的工作：
1.把要教的內容作概念結構的分析
2.仔細計畫發展這些概念所需的基本
心靈影像，同時注意這些已有心靈
影像是否需要稍加修正已適應新概
念。
數學教師教學
• 數學教師的責任就是：
• 指引、解說、修正錯誤，而且要負責
引發並保持學生的興趣和動機。
• 數學討論的條件：
1.討論氣氛不要太嚴肅
2.群體間的態度要友善而熱誠
3.老師是討論群體的領導人
數學教學技巧
• 波利雅數學解題四步驟：
–澄清問題，了解題意
–擬定解題計畫（列出算式）
–執行解題計畫（計算）
–回顧省思（驗算）
整數與計算 分數與計算 小數與計算
三維
二維
數與計算
一維
連結
幾何
數學
連結
統計與機率
統計
機率
連結
數與量
量與實測
連結
代數
數與計算
整數與計算 分數與計算 小數與計算
數
概
念
整數
運算
意義
分
數
概
念
分數
運算
意義
小
數
概
念
小數
運算
意義
整數與計算
數字使用
方式
數
概
念
數列
計數
基數
測量
序數
無關數值
具體物或
圖像表徵
數詞
聽、說、讀、寫、做
整數認識
數的合成分解
位值概念
數字
整數加、減法
文字問題
添加型問題結構
改變型問題結構
倂加型問題結構
整數
運算
意義
學生在解決文
字題時，會在
文字表徵、符號
表徵和圖像表徵
間進行轉換
比較型問題結構
等量型問題結構
整數乘、除法
文字問題
群組
比例
倍數比較
組合
矩形面積
添加型問題結構
＋
起始
改變
結果
改變型問題結構
改變
－
起始
結果
倂加型問題結構
問題情境中包含由2個部分所形成的一個全體。
比較型問題結構
集合 A
集合B
差異
等量型問題結構
拿走型
添加型
拿走
集合 A
集合 A
集合B
添加
集合B
整數
運算
乘法對
加法
加法
乘法
乘法
加法的
交換律 結合律 交換律 結合律 分配律
餘數
加法交換律
• 被加數與加數的位置互換，
其運算結果不變。。
a＋b＝b＋a
加法結合律
• 計算a、b、c三數的和時，先算（a＋b）
的和，再加上c，會和先算（b＋c）的
和，再算a加上（b＋c）的結果相同。
a＋b＋c＝（a＋b）＋c ＝a＋（b＋c）
例1：8＋7＋3＝8＋（7＋3）＝18
例2：75＋9＝75＋5＋4＝84
乘法交換律
• 乘法順序改變並不會影響其積。
• 被乘數和乘數的位置交換，其運算結
果並不會改變。
a × b＝ b × a
• 利用數線、方格紙、九九乘法表、
• 古氏積木、列隊方式來呈現。
乘法結合律
• 三數相乘時，前面兩數先算或後面兩
數先算，其結果不變。
a × b × c＝（a×b）× c＝a ×（b×c）
例1：19 × 25 × 4＝19×（25×4）＝1900
乘法對加法的分配律
• 分配律是結合乘法和加法二種運算的
重要定律。
• 分配律是乘法算則的重要關鍵。
• 例如：16×3＝（10×3）＋（6×3）＝48
• 二位數以上的乘法則運用了
（ a ＋b）× （c＋d）＝ac＋bc＋ad＋bd
（ a＋b）× （c＋d）＝ac＋bc＋ad＋bd
1 6
× 3 7
1 1 2
16×7
＝10×7＋6×7
4 8
16×30
＝10×30＋6×30
5 9 2
16×30＋16×7＝10×30＋6×30＋10×7＋6×7
餘數
• 根據除法原理，如果a、b都是正整數，
一定可以找到二個非負整數q、r，其中
0≤ r＜b，使得a＝b×q＋r，也可改寫成：
a ÷ b ＝ q…r
在真實情境下，餘數不為0的問題會因
等分除或包含除情境的不同而有不同的
處理方式。
學習分數常出現的問題
1.口訣作概念
—分數教學中有太多口訣，並經常以口訣代
替概念。
• 口訣只是一些結果的陳述，並不是概念知
識，口訣教學只能協助學生記憶其計算次
序。經常要求學生記口訣，容易養成學生
不求甚解的態度。
學習分數常出現的問題
2.計算次序
--強記計算次序，不僅沒有生成概念，
還加重學生的記憶負擔和心理負擔。
1
2
2
2
＝ 1
×
÷ ＝
2
4
1
4
分數學習的迷思概念
1.分數乘法「愈乘愈小」:小學生一直以來
都認為兩個數相成之後的結果只會變大。
2.分數的單位不是熟悉的「十進位」:最簡
單的分數位值是「二分之一」，為「二進
制」。每個問題的「單位」都可以不同，
比「十進位」更多變化。
分數在小學中的各項意義
•
•
•
•
部分/整體（連續量）
子集/集合（離散量）
單位分量的累加
視為兩數相除的結果(兩量與兩數
的比值)
• 數線上的一值
• 運算值（分數倍）
分數教學的情境
•
•
•
•
連續量情境
離散量情境
單位分數內容物為單一個物
單位分數內容物為多個個物
比較不同單位分數的大小
1
1
條 和 條，哪一條比較長?
3
4
1
3 條
1
條
4
1
1
1
條比 條長，所以
3
4
3
1

4
3
4
2
4
1
1
3大於2，3個 大於2個 4
4
3
22
，也就是 4 ＞ 4 。
4
同分母分數的加法
(
)
(
)
合起來是多少張?
3
4
+
2
4
=
5
4
同分母分數的減法
4
6
2
6
1條長 公尺的藍彩帶和1條長 公尺的
紅彩帶，哪一條長? 長幾公尺?
4
6
—
2
6
=
(
)
4-n-06 能在平分情境中，理解分數之
「整數相除」的意涵。
這是除法用來解決分裝或平分概念的
延伸。這裡的教學要小心處理。
2個披薩平分給3個小朋友，每個小朋
友可以分到幾分之幾個披薩？
2
2÷3＝
（個）
3
討論「如何將2個披薩平分給3個人？」
先將每個披薩各平分成3片，再從每個披薩
1
中各取
3
2
該是
3
1
個披薩， 3
個披薩有2片，於是應
個披薩，也就是每人應得
2
個披薩。
3
在平分情境中，理解分數之
「整數相除」的意涵
• 有餘數-離散量不可分割之情境
• 無餘數-連續量可分割之情境
• 「平分情境」的布題與「測量情境」
的差異
平分情境與測量情境
• 平分情境（四年級）
• 媽媽買3個披薩，平分
給全家4個人，每人可
以分到多少個披薩？
3 ÷ 4＝
•
3
4
答： 3 個
4
• 測量情境：（五年級）
• 一條緞帶長30公分，每
7公分剪一段，共可剪
成幾段？
2
7
7
7
7
30÷7＝4段…2公分
每7公分為一段，2公分
是
2
7
段
2
答：4又 段
7
☆四年級僅強調等值分數概念的認識。
＊在五年級教學時，可由具體情境，
解釋約分與擴分的意義。
＊運用因數與倍數來理解約分與擴分，
並做等值分數的換算。
連續量情境
2
10 條，綁禮
• 兩條一樣長的繩子，做彩球用去
4
物用去 條，哪一個用掉的繩子的比較長？
20
記為
2
10
＝
4
20
2 2
認識擴分10  2
＝
認識約分 4  2
20  2
2
＝ 10
4
20
乘數為分數的學習困難
• 學生第一次用「×」，其積變小，故容易用除
法列式。
• 第一次接觸「分數倍」的語言。建議在學生未
進入形式化學習之前，是將分數倍語言還原成
「部分/整體」的語言。
3
• 如：1盒糖果有20顆，1盒的 4 倍是幾顆糖果？
•
→ 1盒糖果有20顆， 盒是幾顆糖果？
3
4
乘數為分數的學習困難
• 3.一開始建立分數倍概念時，以求
「整數個物」的問題較恰當。
• ☆「整數個物」的問題：
3
•
1桶水有20公升， 4 桶水是幾公升？
• ☆「非整數個物」的問題：
•
1桶水有20公升， 5 桶水是幾公升？
6
1
20 ×
6
×5＝
引入形式化規則的重點
1.學生需有豐富的解題及表徵經驗。
2.發現每等分再細分的策略，可以解決
分數倍的問題。
3.引導學生發現「分母乘以分母，分子
乘以分子」的規則。
• 配合圖示表徵，以「單位分數乘以單位
分數」討論「分母乘以分母」，再討論
「分子乘以分子」。
1
1
• 例：一條繩子長 公尺，其中的 是多少
4
5
公尺？
•
1 ×
5
1 ＝（
4
）
1公尺
1
m
5
1公尺
1
20 m
分數除以整數
9
一包麵粉重 公斤，平分成3小包，每小
10
包麵粉重多少公斤？
3
9

3

10
10
10
1
9個
10
1
3個
10
1
 3  幾個10 ？
分數除以整數
3
有一個正方形，周長是 公尺，邊長是
5
多少公尺？
12
3
39
4 
4

4

4

10
20
20
5
1
3個 無法除以4
5
3
3 4
變成
5
5 4
整數除以分數（乘以倒數）
長度測量的情境引導「乘以倒數」的規則：
1
例如：一條紙帶長4公尺，每 1 公尺剪一段，可以剪
3
3
幾段？
1公尺
2公尺
3公尺
4公尺
剪成3段（1÷
1
3
＝3=1×3）
剪成6段（2÷
1
3
＝6=2×3）
剪成9段（3÷
1
3
＝9=3×3）
11
剪成12段（4÷ ＝4×3）
33
整數除以分數（乘以倒數）
1
公尺剪成一
2
• 有一條長3公尺的彩帶，每
段，共可剪成幾段？
1
2
1公尺
3公尺
3
1
÷
＝
2
每 1 公尺剪成一段，
2
相當於
1公尺可以剪成2段
3 × 2
認識十分位
• 透過定位板，說明個位、十分位的
位名概念是延續整數的概念而來。
1
10
＝0.1
十位 個位 十分
位
0.
1
2
5.
3
1. 0.1是可製造的
一包糖果有10顆，請你拿出0.1包。
2. 0.1是可重複製造
一包糖果有10顆，請你再拿出0.1包。
3. 每個重複製造的0.1都是一樣的，所
以能夠計數。
一包糖果有10顆，拿出0.1包，再拿
出0.1包，這樣我們說拿出了２個0.1
1. 累進性命名活動:
一包糖果有10顆，0.5包再加上
0.1包是多少包？
2. 合成兩部份命名活動:
一包糖果有10顆，2包和0.3包合
起來是多少包？
3. 多單位合成命名活動:
一包糖果有10顆，2個一包和3個
0.1包合起來是多少包？
一位小數的比較
小數的教學一開始就要把它放在十進位記
數法的範疇裡。
1條黃彩帶長0.5公尺，
1條紅彩帶長0.3公尺，
哪一條彩帶比較長？
可以記成：0.5＞0.3
或
0.3＜0.5
個位
0
0
十分位


5
3
一位小數的加減計算
小數的加減法從點數開始，但
最終要導至直式加減法和整數
加減法的計算一致。
1公尺
0.3公尺
1公尺
0.4公尺
0.3公尺是3個0.1公尺合起來，0.4公尺是4個0.1公尺
一位小數的加法計算
• 哥哥喝0.5公升牛奶，弟弟喝0.4公升
牛奶，兩人共喝了幾公升牛奶？
0.5是幾個
0.1合起來？
0.4是幾個
0.1合起來？
0.5 ＋ 0.4 ＝
0.5公升
0.4公升
寫成直式算算看
0.5 ＋ 0.4 ＝ 0.9
十
個 分
位 位
0. 5
＋ 0. 4
0. 9
5個0.1和4個
0.1合起來共
有幾個0.1？
答：兩人共喝了0.9公升牛奶
1. 精讀、無法掌握印度-阿拉伯記數系統
的位值概念
Ex ：0.81讀成零點八十一
2. 序列小數進位錯誤
Ex ：0.8  0.9 0.10
3.分數轉小數
Ex ：3/5寫成3.5或5.3
4.小數點後，數字越大值越大或越小
Ex ：0.9>0.85
5. 乘法使積變大，除法使商變小
Ex ：4x0.11=4.4>4或9 ÷0.3=0.3<9
各量的性質
自然量
工具量
幾何量
感官具體量
用具體實物，透過
利用可以週而
與自然界的
與幾何概念 視覺或肌肉對輕重
現象描述 復始的現象的 的發展有關 的感覺，向初學者
有關的量 計數做成工具
溝通該具體實物所
來量時間
具有的此一屬性
長度、面積、體積
重量、容量、角度
時間
時間
長度、面積
體積、角度
長度、重量
面積、體積
量的初步概念
• 感官量的概念形成是由同類量相互比較而
來。
量的概念認知發展
1.量的初步概念—直觀比較、直接比較
2.量的間接比較—複製、保留概念
3.個別單位的描述
4.公制單位系統內的認識與換算（化聚）
5.量的公式概念（只有面積和體積有此階
段）
感官量教學常見問題
•
•
•
•
化聚計算
量感
長度、角度 (非從零開始的兩刻度關係)
面積、體積(只偏重公式背誦而不理解其
意涵、周長與面積易混淆)
• 容積 (有蓋無蓋、厚度)
工具量「時間」的特徵
• 流動性：
時間是不斷地在運行；
• 不可逆性：
時間是無法再重回到過去；
• 缺乏觀測的方式：
時間是無法看到和聽到的。
時間的教學原則
時間是抽象、非具體存在的「相對
量感」，且心理時間和物理時間
會因心情差異而有很大不同，因
此教學時不宜從「掌握量感」入
手，應從「工具的使用」入門。
時間的教材架構
層次一：比對刻度觀點。如：直接報讀時刻。
層次二：建立量感階段。如：比對刻度變化，配
合生活事件，認識時間的量感。
層次三：建立等量感階段。如：經歷相同事件，
分別用小時及分鐘計算，引入二階單位
間的關係。
層次四：時間的計算與應用。如：時間的加、減
、乘、除法問題，時刻與時間的問題。
時間教學的常見問題
• 1. 時間的化聚:時間的進制單位易與十進
制混淆
如:一天有24小時，一小時有60分
如:15分=0.25小時
• 2. 時間的乘除計算
如: 3 時15分 除以 5
幾何的教學重點
 平面圖形
•
•
•
•
圖形外觀之辨識
形狀的構成要素
平面圖形元素間的關係與繪製
圖形性質之探究與應用
 立體形體
•
•
•
•
•
立體形體外觀之辨識
立體形體的構成要素
立體形體構成元素間的關係
立體形體性質之探究與應用
平面圖形與立體形體之轉換
 空間定位
• 位置、方向與距離
國北教大 譚寧君(2011)
實際操弄辨識形體出發
掌握構成要素
發現性質
推理與應用
幾何性質是依形體要素間關係的探討而來
包含平行、垂直、對稱、相似、全等關係
低年級以觀察、複製實物的形體與表面，
分辨平面圖形的形狀與立體物之形體特
徵，認識簡單的平面及立體圖形，再利
用圖形板與各種積木拼排圖形及堆積造
形為主。
中年級以透過製作活動，瞭解
各種形、體的構成要素及其間
的關係，並能使用簡單的畫圖
工具為主。
高年級則透過操作與觀察以
瞭解圖形間的關係，並能做
簡單的應用。
繪製圓形圖
整理生活中資料，換算成百分率
了解折線圖的意義
報讀生活中有序資
料的統計圖
整理資料成統計表
將資料次數所得的百分率，轉換
成圓心角的角度，繪製圓形圖
認識長條百分圖
整理有序資料，繪製成折線圖
將資料繪製成長條圖
報讀複雜的長條圖
報讀長條圖、折線圖、圓形圖等生活中的資料
報讀生活中常見的
公車時刻表
報讀生活中常見的交叉
對應（二維）表格
報讀生活中的各班
人數表
報讀生活中常見的直接
對應（一維）表格
了解橫軸、縱軸的意義
報讀生活中常見的火車時刻表
報讀生活中常見的功課表
報讀生活中的餐廳價格表
報讀生活中的電視節目表
將分類做紀錄
做初步的分類
對生活中的事件或活動做
初步的分類與紀錄
統計與機率
將紀錄以統計表呈現
並說明
• 對生活中的事件或活動做初步的
分類與紀錄
--1.對生活中的事件或活動做初步
的分類
2.對初步分類後的資料做成紀錄
• 將紀錄以統計表呈現並說明
圖
形
紀
錄
個
數
3
5
6
• 例：小明利用下列其中一種表格將書包裡面
鉛筆、剪刀及書本的個數記錄下來。
3
鉛筆
1
剪刀
5
書
三年級
• 報讀生活中常見的直接對應（一維）表格
--1.報讀生活中的電視節目表
2.報讀生活中的各班人數表
3.報讀生活中的餐廳價格表
• 報讀生活中常見的交叉對應（二維）表格
--1.報讀生活中常見的功課表
2.報讀生活中常見的火車時刻表
3.報讀生活中常見的公車時刻表
報讀生活中常
見的直接對應
（一維）表格
看統計表回答問題
•播映「好書賞析」
是什麼時候？
•文文從「美食天地」
開始看，看完「綜合
戲劇」，共看了幾小
時？
• 報讀生活中的
電視節目表
7：00
8：00
9：00
9：30
10：10
11：00
12：00
13：40
14：20
15：00
電視節目表
早安新聞
美食天地
天天健康
好書賞析
愛護地球
綜合戲劇
（加油！）
午間新聞
阿媽講古
臺灣尋奇
認識鄉土
二維表格
火車下行乘車時刻表
起迄站別
開車時刻
車別
台北

高雄
莒
光
號
基隆

高雄
自
強
號
台北

屏東
復
興
號
台北

台東
自
強
號
花蓮

高雄
莒
光
號
臺北
7：15
7：25
7：55
9：15
板橋
7：23
7：33
8：05
9：23 10：10
桃園
7：45
7：50
8：40
9：50
10：55
中壢
8：00


9：15


11：40
新竹
8：30
8：27
9：55
9：50 10：23 12：25
(
各
類
圖
形
的
個
數
11
10
9
8
7
)
6
5
4
3
2
1
0
(圖形種類)
圖 形 數 量 統 計 圖
下圖是自強國小學生居住里別調查統計圖
(人數)
360
300
200
140
60
20
0
昌平 昌信 中信
中原
思源 中港 中華
自強國小學生居住里別調查統計圖
(里別)
下圖是幸福市96年上半年各月降雨量
統計圖，降雨量最多的是哪一個月？
休閒
其他
水電
伙食
國小代數安排特色
• 從最基本的加減問題開始，到四則
混合計運算的精熟，讓學生最後能
應用於生活與具體情境，在形式與
程序上，流暢進行計算。
國小代數安排特色
• 協助發展對數學問題之解題策略。
如:
理解運用等量公理、代入法、
加減互逆、乘除互逆、反向思
考、比例推理、比值解題、複雜
混合策略解題等。
所有的孩子都能正向學習
因為我們的努力和用心