Transcript Hranoly

Gymnázium P.J. Šafárika

Pri výpočte objemu a povrchu hranola je podstatné, aký
tvar má jeho podstava. Vzorce pre rôzne podstavy
hranolov nájdete v dokumentoch Trojuholník alebo
Štvoruholníky.
Objem hranola
V = P.v
Povrch hranola
S = 2P + Q
Q = O.v
P – obsah podstavy
v – výška hranola
Q – obsah plášťa
o – obvod podstavy
a/: s podstavou všeobecného trojuholníka:
V= P.v
V= a.va. v
2
S=2P + Q
S=2. a.va+ a.v+b.v+c.v
podstava
2
b/: s podstavou rovnostranného
trojuholníka:
V= P.v
V= a.va .v
2
S= 2P+Q
S= 2.a.Va+3.a.v
podstava
2
c/: s podstavou pravouhlého trojuholníka:
V= P.v
V= a.b. v
2
S= 2.P+Q
S= 2.a.b+a.v+b.v+c.v
2
podstava
a/: s podstavou kosoštvorca:
V= P.v
V=a.va. v
S= 2p+Q
S= 2.a.va+4.a.v
b/: s podstavou kosodĺžnika:
V= P.v
V=a.va.v
V= b.vb.v
S= 2.P+Q
S= 2.a.va+2.a.v+2.b.v
c/: s podstavou lichobežníka:
V= Sp.Vh
V=(a+c).va .v
2
S= 2.Sp+Spl
S= 2.(a+c). v+a.v+b.v+c.v+d.v
2
a/: s podstavou šesťuholníka:
V=P.v
V= 6.a.va. v
2
S= 2.P+Q
S= 6.a.Va. +6.a.v
2
Kocka je stredovo súmerná podľa svojho stredu (priesečníka telesových
uhlopriečok).
Kocka je osovo súmerná podľa trinástich osí:
troch spojníc stredov protiľahlých stien
štyroch spojnícprotiľahlých vrcholov
šiestich spojníc stredov protiľahlých hrán
Kocka je rovinnne súmerná podľa deviatich rovín:
troch rovín rovnobežných so stenami a prechádzejúcich stredom kocky
šiestich rovín určených dvojicou protiľahlých hrán
Rozbalená plocha kocky Kocka je zvláštnym prípadom kvádra - patrí teda
medzi mnohosteny.
Kocka vďaka zhodnosti všetkých jej stien a hrán patrí medzi takzvané
platónske telesá.
Každé dve steny kocky sú rovnobežné alebo kolmé. Každé dve hrany kocky
sú rovnobežné alebo kolmé.
Kocka má všetky rozmery rovnaké, označujeme a.
Objem V kocky s hranou dĺžky a vypočítame
V = a.a.a = a3
Povrch S kocky vypočítame, ak sčítame obsahy všetkých jej stien
S = 6.a.a = 6a2
Kváder má šesť stien obdĺžnikového tvaru (v speciálnych prípadoch dve
štvorcové a štyri obdĺžnikové alebo šesť štvorcových) z ktorých dve
protiľahlé sú vždy zhodné, osem vrcholov a dvanásť hrán z ktorých
štvorice rovnobežných majú vždy zhodnú dĺžku.
Kváder je stredovo súmerný podľa priesečníka svojich telesových
uhlopriečok.
Kváder je osovo súmerný podľa troch osí - spojníc stredov protiľahlých stien.
Kváder je rovinne súmerný podľa troch rovín. Každá s týchto rovín je
rovnobežná s niektorou zo stien kvádra a prochádza priesečníkom
uhlopriečok kvádra.
Kváder je trojrozmerné teleso – mnohosten, ktorého steny tvorí šesť
pravouhlých štvoruholníkov (obvykle obdĺžnikov, ale existujú i špeciálne
prípady). Kváder obsahuje tri skupiny rovnobežných hrán zhodnej dĺžky
(v rámci skupiny). Tieto dĺžky sú obvykle označované ako dĺžka, šírka a
výška kvádra. Inak povedané kváder je kolmý rovnobežnosten, ktorého
podstavou je pravouholník.
V = a.b.c
S = 2.(a.b + b.c + a.c)
Dĺžku uhlopriečky kvádra (vzdialenosť dvoch
vrcholov, ktoré neležia na rovnakej stene)
vypočítame taktiež pomocou Pytagorovej vety:
uhly medzi stenami a uhlopriečkami: