sistem tunggu revised_2 - SI-35-02
Download
Report
Transcript sistem tunggu revised_2 - SI-35-02
Delay System II
2
Sistem Antrian M/M/m
•
•
•
•
•
Kedatangan panggilan : Poisson arrival
Service time : exponentially distributed
Jumlah server : m
Panjang antrian : tak terhingga
Diagram transisi kondisi
l
0
l
1
m
l
2
2m
l
l
m
m-1
3m
(m-1)m
l
mm
l
m+1
mm
mm
= system state
• kKetika
jumlah panggilan,k, kurang dari jumlah server,m, (k<m), maka service rate adalah km
•
mm
• Ketika k m, maka service rate adalah
Tutun Juhana – ET3042 ITB
3
Sistem Antrian M/M/m (2)
• Bila Pk adalah peluang kondisi k, maka global
balance equation :
m P1 = l P0
untuk k=0
(l + km)Pk = l Pk-1 + (k+1)m Pk+1
(l + mm)Pk = l Pk-1 + mm Pk+1
untuk 0 < k < m
untuk m k <
• Untuk mencari Pk, kita gunakan local balance
equation :
– Untuk k m, kita peroleh l P0= m P1, l P1= 2m P2 , …,
l Pk-1 = km Pk
l
l
l
– Maka kita peroleh Pk
Pk -1
Pk -2 ...
km
Catatan, = l/(mm)
*
km (k - 1) m
l l
l l
(m ) k
m...
P0
P0
km (k - 1)
2m m
k!
Tutun Juhana – ET3042 ITB
4
Sistem Antrian M/M/m (3)
• Dengan cara serupa, untuk k > m, diperoleh :
mm k
Pk
P0 , dimana ρ 1
m!
**
• P0 dicari menggunakan dua persamaan (*) dan
(**) serta hukum peluang seperti yang sudah kita
lakukan sebelumnya ketika menurunkan P0 untuk
M/M/1
P0
1
(m )
(m )
k!
(1 - )m!
k 0
m -1
k
Tutun Juhana – ET3042 ITB
m
5
Sistem Antrian M/M/m (4)
• Peluang kondisi k adalah sbb :
Pk
1
(m ) k
(m ) m
k!
(1 - )m!
k 0
m -1
mm k
m!
• Peluang bahwa suatu kedatangan akan menemukan
seluruh server sibuk sehingga harus menunggu adalah :
P0 mm k
P{Queueing} PQ Pk
m!
k m
k m
m
m
P0 (m )
P 0 (m )
k -m
m! k m
(1 - )m!
• Ini adalah rumus Erlang-C atau disebut juga Erlang’s
Delay Formula
Tutun Juhana – ET3042 ITB
6
Sistem Antrian M/M/m (5)
• Utilisasi
– Untuk k < m, utilisasi server rata-rata adalah k/m
– Untuk k m, utilisasi adalah satu
– Maka utilisasi total adalah sbb:
k
l
Pk Pk
mm
k 1 m
k m
m -1
Tutun Juhana – ET3042 ITB
Sistem Antrian M/M/m (6)
• Mari kita sesuaikan notasinya dengan diktat :
– Pada diktat, sistem antrian yang sedang kita bahas disebut sistem
M/M/N
• Sehingga N adalah sama dengan m
• Sedangkan =l/(mm)
– Bila kita menggunakan notasi di diktat, maka adalah A/N (ingat A=l/m)
– Jadi bila kita menggunakan notasi seperti di diktat, kita peroleh
AN 1
PQ
DN ( A)
N! 1 - A
N
• DN(A) dapat dihitung menggunakan rumus rugi Erlang :
1
1
1
DN ( A) EN ( A) EN -1 ( A)
Tutun Juhana – ET3042 ITB
7
8
• DN(A)= P(t>0) = RN/[A(N-A+R)]
Tutun Juhana – ET3042 ITB
9
• Hasil-hasil lain
– Jumlah pelanggan rata-rata yang antri
• nq=DN(A)[A/(N-A)]
– Waktu rata-rata pelanggan dalam antrian (senelum
dilayani) untuk semua panggilan termasuk yang tak
menunggu
• tq= DN(A)[h/(N-A)]
– Waktu rata-rata pelanggan dalam antrian dihitung untuk
pelanggan yang menunggu saja
• tqm=h/(N-A)
– Waktu rata-rata lamanya pelanggan di dalam sistem
• ts= h + tq
– h=waktu rata-rata lamanya pelanggan di dalam pelayanan
– tq=waktu rata-rata lamanya pelanggan di dalam antrian
Tutun Juhana – ET3042 ITB
10
• Hasil-hasil lain (2)
– Jumlah rata-rata pelanggan dalam sistem
• N=A + [DN(A).A/(N-A)]
– Peluang panggilan menunggu selama T yang melebihi
harga t tertentu (ini merupakan bagian panggilan yang
memiliki waktu tunggu melebihi t)
• Prob (T>t) = DN(A).e-(N-A)t/h
• Prob (T>0) = DN(A)
Tutun Juhana – ET3042 ITB
Probabilitas waktu tunggu melebihi harga
tertentu
• P(t>to)=P(t>0).e-(N-A)to/h = DN(A). e-(N-A)to/h
Tutun Juhana – ET3042 ITB
11
12
Probabilitas jumlah yang antri melebihi harga
tertentu
• Kita tinjau sistem M/M/1 dengan :
– Laju kedatangan panggilan rata-rata:l
– Waktu pelayanan rata-rata: h=1/m
– Diagram transisi kondisi
l
0
l
1
m
l
2
m
l
l
k+1
k
m
m
l
m
m
– Dengan langkah solusi yang sudah sering kita lakukan,
akan diperoleh hasil seperti pada slide no 20
Tutun Juhana – ET3042 ITB
Probabilitas jumlah yang antri melebihi harga
tertentu (2)
• Probabilitas yang antri melebihi harga tertentu (N)
Probabilitas (n N)= (1-)n = N
n=N
• Hati-hati, di sini =l/m
Tutun Juhana – ET3042 ITB
13
14
Sistem Antrian M/M/m/N
•
•
•
•
Poisson Arrival
Exponential Distribution Service Time
Jumlah server = m
Jumlah panggilan dalam sistem = N
– Jadi bila panggilan datang pada saat tempat menunggu penuh
(yaitu kondisi terdapat N panggilan di dalam sistem), maka
panggilan tersebut akan ditolak (loss)
l
0
l
1
m
l
2
2m
l
l
m
m-1
3m
(m-1)m
l
mm
Tutun Juhana – ET3042 ITB
l
l
m+1
mm
N
mm
mm
15
Sistem Antrian M/M/m/N (2)
( m ) k
P0
k!
Pk
mm k
P0
m!
Untuk 0 k < m
Untuk m k N
• Bila kita menghitung P0 menggunakan kondisi
k=0Pk=1, maka kita peroleh :
1
Dimana = l/(mm)
P0 m -1
k
m
m
N 1
(m )
m -
k!
m! 1 -
k 0
Tutun Juhana – ET3042 ITB
16
Sistem Antrian M/M/m/N (3)
• Jumlah rata-rata panggilan yang menunggu di dalam antrian (belum
dilayani)
E[kq ] P0
(m ) m
m!
[1 - N -m - ( N - m) N -m (1 - )]
• Karena beberapa panggilan dapat diblok (loss) maka kita dapat
menghitung effective (equivalent) arrival rate,le,sebagai berikut (ingat
l adalah actual arival rate ):
m N
m
le l (1 - PN ) l (1 - P0
)
m!
• Jumlah panggilan rata-rata di dalam sistem,E(k), adalah sama dengan
jumlah panggilan yang menunggu di dalam antrian,E[kq], ditambah
panggilan yang sedang dilayani :
mm N
E[k ] E[kq ] m (1 - P0
)
m!
Tutun Juhana – ET3042 ITB
17
Sistem Antrian M/M/m/N (4)
• Waktu rata-rata di dalam antrian, E[w] :
E[ w]
E[k q ]
le
E[k q ]
l (1 - PN )
E[k q ]
mm N
l (1 - Po
)
m!
• Karena beberapa panggilan dapat diblok (loss) maka kita dapat
menghitung effective (equivalent) arrival rate,le,sebagai berikut (ingat
l adalah actual arival rate ):
E[d] = E[w] + (1/m)
• Utilisasi untuk sistem antrian ini adalah sbb :
P0 m-1 (m ) k
mm m - N 1
P0
m k 1 (k - 1)!
m! 1 -
Tutun Juhana – ET3042 ITB
18
Sistem Antrian M/M/m/N (5)
• Jika kita sumsikan N=m, maka setiap panggilan
yang datang pada saat seluruh server sibuk akan
di-blok (loss)
– Pada kondisi ini, sistem menjadi blocking system (sama
dengan sistem M/M/m/0)
– Rumus Erlang B merupakan peluang suatu panggilan
yang datang menemui seluruh server sibuk
• Pada kondisi ini :
– E[kq] = E[w] = 0
– E[k] = (l/m)(1-B)
• B : blocking
Tutun Juhana – ET3042 ITB