Transcript Sistem Tunggu-revised - SI-35-02

Sistem Tunggu (Delay System)
2
Problems Involving Delay System Analysis
Tutun Juhana – ET3042 ITB
3
Problems Involving Delay System Analysis (2)
Tutun Juhana – ET3042 ITB
4
Problems Involving Delay System Analysis (3)
Proses trafik selama pembangunan hubungan
Tutun Juhana – ET3042 ITB
5
• Permintaan panggilan yang datang pada saat
peralatan sedang sibuk tidak akan dihilangkan
melainkan akan menunggu sampai ada peralatan
yang bebas, kemudian diduduki
• Pada umumnya, sistem merupakan kombinasi
antara sistem tunggu dan sistem rugi
– Jumlah yang menunggu terbatas sehingga bila melebihi
batas akan dihilangkan
– Waktu tunggu terbatas, sehingga bila menunggu lebih
lama dari suatu waktu tertentu, akan dihilangkan
Tutun Juhana – ET3042 ITB
6
Let’s revisit some basic concepts
Tutun Juhana – ET3042 ITB
7
Call Origination Process
• Random origination (dengan kondisi t0)
– Peluang sebuah panggilan muncul dalam interval
(t,t+t] adalah lt (tidak tergantung t) dan l adalah
konstan
– Peluang dua atau lebih panggilan muncul pada selang
(t,t+t] adalah nol
– Setiap panggilan saling bebas
n
t
Sufficiently large
t=t/n
t
t
0
t
Tutun Juhana – ET3042 ITB
8
• Random origination (2)
– Peluang munculnya k panggilan dalam selang waktu
(0,t] : pk(t)
(lt ) lt
pk (t ) 
e
k!
k
– Ini adalah distribusi Poisson dengan mean lt
• l adalah arrival rate (laju kedatangan) atau origination rate
– Konstan
– Tidak tergantung waktu
• Random origination disebut juga Poisson Arrival (-call, -input,origination,-process etc.)
• Arrival Rate tergantung dari satuan waktu yang digunakan
– Jika digunakan satuan jam, dinyatakan dalam BHCA (Bussy Hour
Call Attempt)
Tutun Juhana – ET3042 ITB
9
• Random origination (3)
– Peluang tidak ada panggilan yang muncul (k=0) dalam
selang (0,t] adalah :
p0 (t )  e
lt
– Maka interarrival time distribution function (peluang
bahwa selang waktu antar kedatangan tidak lebih besar
dari t) adalah :
A(t ) 1  e
lt
– Ini merupakan distribusi eksponensial dengan mean
l-1
– distribusi selang waktu kedatangan eksponensial
merupakan sifat lain dari random origination
Tutun Juhana – ET3042 ITB
10
• Service Time Distribution
– Asumsi :
• Sebuah panggilan berakhir secara acak
• Dengan acuan waktu adalah awal munculnya panggilan, maka
peluang sebuah panggilan berkahir dalam selang (t,t+t] adalah mt
(tidak tergantung t (berdasarkan asumsi panggilan berakhir secara
acak )
– Fungsi distribusi H(t),yaitu peluang waktu pelayanan lebih besar
dari t, adalah sama dengan peluang sebuah panggilan tidak
berakhir pada selang (0,t]
– Serupa dengan proses yang dilakukan sebelumnya (selang (0,t]
dibagi ke dalam n bagian (n cukup besar) dan membuat agar
t=t/n, maka
H (t )  e
 mt
• Dengan demikian waktu pelayanan (service time) terdistribusi secara
eksponensial dengan mean m-1
• m adalah laju pelayanan (service rate/termination rate)
Tutun Juhana – ET3042 ITB
11
Beban trafik (intensitas trafik) = l/m
Tutun Juhana – ET3042 ITB
• Diagram sistem (full availability system)
12
Panggilan meninggalkan sistem
(Call termination process/
Service Mechanism)
Panggilan datang
(Call origination process) Tempat menunggu
Server/pelayan
• Sistem dinyatakan oleh 3 faktor berikut :
– Call origination process : mennyatakan bentuk
kedatangan
– Service Mechanism : menyatakan jumlah trunk,
distribusi waktu pelayanan dsb.
– Disipilin antrian : FIFO, LIFO, RSO (Random Service
Order) dll.
Tutun Juhana – ET3042 ITB
13
• Untuk mengklasifikasikan sistem (full availability
system), digunakan notasi Kendall
• Notasi D.G. Kendall: A/B/C
– A: pola kedatangan panggilan
– B: pola waktu pelayanan
– C: Jumlah pelayan (peralatan)
• Masih dapat ditambahkan keterangan :
– Kapasitas sistem/jumlah panggilan yang dapat
diantrikan/kapasitas buffer/panjang antrian maksimum
(tak termasuk yang sedang dalam pelayanan)
– Jumlah populasi yang ada di dalam sistem
Tutun Juhana – ET3042 ITB
14
• Ada yang menggunakan notasi : A/B/C/D/E
– D : kapasitas (panjang) buffer (antrian)
– E : Disiplin antrian
– Bila D dan E tidak dimunculkan berarti :D tak terhingga
dan E berarti FIFO
• Notasi untuk pola kedatangan dan waktu
pendudukan
– M: Distribusi Poisson (M=Markovian)
– D: Distribusi tetap (Deterministik)
– G: Distribusi umum (general)
Tutun Juhana – ET3042 ITB
15
Beberapa masalah mendasar
• Markov Property
– Pikirkan suatu durasi waktu selama X dari suatu fenomena
(misalnya fenomena waktu pelayanan), lalu ambil titik nol sebagai
saat awal dari fenomena tersebut
X
t
0
x
x+t
– Jika X terdistribusi eksponensial dengan mean m-1, maka peluang
fenomena itu berlangsung terus setelah suatu saat tertentu (x)
dinyatakan oleh :
P{X>x} = e-mx
Tutun Juhana – ET3042 ITB
16
• Markov property (2)
– Maka peluang bersyarat bahwa fenomena terus berlangsung
selama perioda t, bila diketahui (dengan syarat) bahwa fenomena
sudah berlangsung selama x, dinyatakan oleh :
 m ( x t )
P{ X  x  t} e
P{ X  x  t | X  x} 
 mt
P{ X  x}
e
e
 mt
 P{X  t}
• Perhatikan bahwa peluang yang terakhir tidak tergantung x
– Ini mengandung makna bahwa perilaku stokastik dari fenomena setelah
waktu x (future) hanya tergantung pada kondisi pada saat x
(sekarang/present) dan tidak tergantung pada proses sebelum waktu x
(past)
– Karakteristik ini disebut Markov Property atau Memoryless Property
– Hanya distribusi eksponensial yang memiliki sifat memoryless
• Suatu model yang memiliki waktu antar kedatangan dan waktu
pelayanan terdistribusi eksponensial disebut model Markovian Model
(sebaliknya disebut non-Markovian Model)
Tutun Juhana – ET3042 ITB
17
Rumus J.D.Little
• L=lW
– L=harga rata-rata jumlah pelanggan di dalam sistem
– l=laju rata-rata kedatangan pelanggan ke dalam sistem
– W=waktu rata-rata lamanya pelanggan di dalam sistem
Tutun Juhana – ET3042 ITB
18
Rumus J.D.Little (2)
• Penurunan
– Misalnya diamati suatu proses kedatangan panggilan
dan panggilan meninggalkan sistem
Jumlah kedatangan
g(to)
a(to)
d(to)
t
Tutun Juhana – ET3042 ITB
19
Rumus J.D.Little (3)
– a(t): Jumlah kedatangan ke dalam sistem di dalam selang
waktu (0,t) (fungsi jumlah kedatangan terhadap waktu)
– d(t): Jumlah kedatangan yang berakhir/meninggalkan
sistem di dalam selang waktu (0,t) (fungsi jumlah yang
berakhir terhadap waktu)
– g(t): Luas total antara kedua kurva sampai dengan waktu t
(merupakan jumlah total waktu semua pelanggan berada
di dalam sistem sampai dengan waktu t (dalam satuan
pelanggan-detik)
– l(t):harga rata-rata laju kedatangan panggilan dalam
selang waktu (0,t)
Tutun Juhana – ET3042 ITB
20
Rumus J.D.Little (4)
• lt=a(t)/t
• Bila Tt merupakan harga rata-rata waktu
lamanya setiap pelanggan berada di dalam
sistem dalam selang waktu (0,t), maka
– Tt=g(t)/a(t) [pelanggan-detik/pelanggan]
• Harga rata-rata jumlah pelanggan di dalam
sistem antrian selama waktu (0,t) adalah :
– Nt=g(t)/t = [a(t)/a(t)]xTt/(1/lt) = ltTt
Tutun Juhana – ET3042 ITB
21
Rumus J.D.Little (5)
• Bila sistem mencapai keadaan setimbang pada
waktu t  , maka lt l, Tt  T dan Nt  N,
sehingga
N= lT
• Hal tersebut menyatakan jumlah pelanggan di
dalam sistem antrian=harga rata-rata laju
kedatangan panggilan x harga rata-rata lamanya
waktu pelanggan berada dalam sistem
Tutun Juhana – ET3042 ITB
22
Rumus J.D.Little (6)
• Catatan untuk rumus J.D Little
– Distribusi kedatangan dan waktu pelayanan adalah
sembarang
– Jumlah pelayan adalah sembarang
– Dapat diterapkan hanya terhadap yang antri atau yang
dalam pelayanan saja atau kedua-duanya
• Lq=l.Wq
– Lq=harga rata-rata jumlah pelanggan di dalam antrian
– Wq=harga rata-rata waktu tunggu di dalam antrian
• Lp=l.Wp
– Lp=harga rata-rata jumlah pelanggan di dalam pelayanan
– Wq=harga rata-rata waktu lamanya pelanggan dalam pelayanan
Tutun Juhana – ET3042 ITB
23
Contoh-contoh
• Bila rata-rata terdapat 10 panggilan per jam yang datang
secara acak, hitung
– Peluang terdapat dua atau lebih panggilan dalam waktu 12 menit
– Peluang waktu antar kedatangan tidak lebih dari 6 menit
Jawab
– Arrival rate = 10 call/jam = 1/6 per menit
– Peluang tidak ada panggilan dalam waktu 12 menit =p0(t)=e-lt = e12/6= e-2
– Peluang muncul 1 panggilan dalam waktu 12 menit =
(12 / 6)1 12 / 6
p1 (12) 
e
 2e 2
1!
– Maka peluang muncul 2 panggilan atau lebih dalam waktu 12 menit
adalah = 1-(p0(t)+p1(t)) = 1-(e-2+2e-2) =1-3e-2= 0,5940
– Peluang waktu kedatangan tidak lebih dari 6 menit = A(t) = 1- e-lt =
1 – e-6/6 =1- e-1 = 0,6231
Tutun Juhana – ET3042 ITB
24
Contoh-contoh (2)
• Misalnya waktu pelayanan terdistribusi secara
eksponensial dengan rata-rata 3 menit, hitung
peluang bahwa waktu pelayanan melebihi 6 menit
Jawab :
– Service rate = 1/3 call per menit
– Peluang waktu pelayanan melebihi t = H(t) = e-mt
– Maka peluang waktu pelayanan melebihi 6 menit adalah
= e-(1/3)x6 = e-2 =0,1353
Tutun Juhana – ET3042 ITB
25
Contoh-contoh (3)
• Pada suatu wartel yang terdiri dari lebih 2 pesawat telepon,
diketahui 50 pelanggan melakukan panggilan di dalam
satu jamnya dengan rata-rata waktu pemakaian 3 menit.
Hitung :
– Jumlah telepon rata-rata yang digunakan
– Waktu tunggu rata-rata jika terdapat rata-rata 1,2 pelanggan yang
menunggu
Jawab
– Arrival rate = l =50/jam = 50/60 = 5/6 call per menit
– Service rate = m = 1/3
– Traffic load = l/m = (5/6)x3 = 2,5 Erlang
• Ini berarti jumlah rata-rata telepon yang digunakan adalah 2,5
– Waktu tunggu rata-rata dicari menggunakan rumus Little
• Diketahui L=1,2 maka W=L/l =1,2/(5/6)=1,44 menit
Tutun Juhana – ET3042 ITB
26
Sistem M/M/S/0 (Markovian Loss System)
Arrival Rate l
s
• Ini model untuk jaringan telepon
• Menghasilkan Distribusi Erlang
Tutun Juhana – ET3042 ITB
Jumlah server s
Service rate m
27
Sistem Antrian M/M/1
•
•
•
•
•
Kedatangan panggilan : Poisson arrival
Service time : exponentially distributed
Jumlah server : 1
Panjang antrian : tak terhingga
Diagram transisi kondisi
l
0
l
1
m1
l
2
m2
l
l
N+1
N
m3
mN
l
mN+1
perhatikan
Tutun Juhana – ET3042 ITB
28
Sistem Antrian M/M/1 (2)
• Dalam kondisi stabil, persamaan transisi kondisi
dinyatakan oleh hukum konservasi dari aliran
peluang :
l0 P0 = m1 P1
untuk k=0
(lk + mk)Pk = lk-1Pk-1 + mk+1Pk+1
untuk k  1
Aliran menuju kondisi k, baik yang berasal
dari kondisi k-1 maupun dari kondisi k+1
Aliran meninggalkan kondisi k
bila sistem dalam kondisi k dengan peluang Pk
Tutun Juhana – ET3042 ITB
29
Sistem Antrian M/M/1 (3)
• Aliran kesetimbangan antara dua kondisi yang
berdekatan dapat ditulis sbb :
lk-1Pk-1 = mk Pk
lkPk = mk+1 Pk+1
• Persamaan di atas disebut local balance
equations
• Kita akan memanfaatkan local balance equations
untuk memperoleh peluang kondisi k (Pk)
Tutun Juhana – ET3042 ITB
30
Sistem Antrian M/M/1 (4)
• Dari local balance equations kita peroleh :
l0P0 = m1 P1, l1P1 = m2 P2,…,lkPk = mk+1 Pk+1,…
dan
li
Pk  P0 
i 0 mi 1
k 1
li
1
• Karena k Pk  1 , maka  Pk  P0   P0 
k 0
k 1
i 0 m i 1

li
P0 
 k 1
li 
i  0 m i 1
1  
k 1 i  0 m i 1
1
k 1
Tutun Juhana – ET3042 ITB

k 1
31
Sistem Antrian M/M/1 (5)
• Jika laju kedatangan dan pelayanan tidak
tergantung kondisi k (ini berarti lk=l dan mk=m),
maka Pk dapat dinyatakan sbb :
Pk 
1

1   k
 k  (1   )  k untuk k  0,1,...
k 1
l
• Dimana    1
m
Tutun Juhana – ET3042 ITB
Sistem Antrian M/M/1 (6)
• Beberapa paramater hasil analisa sistem M/M/1 :
– Jumlah rata-rata panggilan di dalam sistem, E(k):
E (k ) 

1 

l
m l
– Waktu tunggu rata-rata, E[w]:
 1
1
E ( w) 
 E (k )
1  m
m
– Delay rata-rata yang dialami oleh panggilan=waktu tunggu rata-rata
ditambah waktu pelayanan rata-rata = E[d] :

E[k ]
1
E[d ] 


l (1   )
l
m (1   )
– Jadi jumlah rata-rata pelanggan di dalam sistem, E[k], dapat juga
dihitung sbb : E[k]=lE[d]=/(1) (Ingat hukum Little)
– Utilisasi server,h,didefinisikan sebagai peluang server sibuk (k0),

yaitu :
l
h   Pk  1  P0   
k 1
m
Tutun Juhana – ET3042 ITB
32
33
Sistem Antrian M/M/1 (7)
• Contoh : suatu web server yang digunakan sebagai search
engine menerima jumlah permintaan (request) per jam
sebanyak 144.000. Server memerlukan waktu 0,02 detik
untuk mengolah setiap request. Pertanyaan :
– Berapa utilisasi server ?
– Berapa jumlah request rata-rata di dalam server?
– Berapa bagian dari waktu bahwa ditemukan k search request di
server?
Jawab
– Average service rate = m = 1/0,02=50 request/detik
– Average arrival rate = l = 144.000 request/jam = 40 request/detik
– Utilisasi server = l/m =0,8 = 80 %
– Jumlah rata-rata request di dalam server = 0,8/(1-0,8) = 4
– Bagian dari waktu dimana terdapat k searh request di server =
Pk=(1-)k =(1-0,8)0,8k =0,2.0,8k dimana k=0,1,…
Tutun Juhana – ET3042 ITB
34
Sistem Antrian M/M/1 (8)
• Pertanyaan lain :
– Berapa waktu respons rata-rata dari server?
– Hitung rata-rata respons time bila server search engine diganti
dengan server yang memiliki kecepatan dua kali lebih cepat?
– Hitung rata-rata respons time bila arrival rate menjadi dua kali dan
server memiliki kecepatan dua kali lebih cepat?
• Jawaban :
– Respons time rata-rata = delay rata-rata yang dialami request =
1/[m(1-)] = 1/[50(1-0,8)]=0,1 detik
– Bila server memiliki kecepatan dua kali lebih cepat, maka service
time rata-rata menjadi = 0,02/2 = 0,01
• Maka service rate menjadi = m  1/0,01 = 100 dan utilisasi () menjadi
=40/100 = 0,4
• Maka response time menjadi = 1/[100(1-0,4)] = 0,017 detik
– Jika arrival rate dan kecepatan server menjadi dua kali, maka :
• Service rate = m  100 dan l menjadi 80, maka  =80/100 = 0,8
• Maka response time menjadi = 1/[100(1-0,8)] = 0,05 detik
Tutun Juhana – ET3042 ITB