Transcript ET3042-14

Sistem Delay (Sistem
Antrian/Delay System)
Antrian M/M/1
• Dalam antrian M/M/1:
–
–
–
–
Sumber kedatangan terdistribusi Poisson (Markov)
Distribusi service time : ekponensial negatif (Markov)
Hanya ada satu server
Disiplin antrian: FIFO
• Antrian M/M/1 dimodelkan sebagai berikut:
Analisa antrian M/M/1
• Misalkan Pn( t ) menyatakan peluang adanya n customers
di dalam antrian pada waktu t
• Peluang adanya n customers pada waktu t+∆t dinyatakan
sebagai berikut bila ∆t kecil:
• Pn( t + ∆t )= Pn( t )[(1−λ∆t)(1−µ∆t )+ λ∆t µ∆t ]
+ Pn − 1( t ) [ λ∆t ( 1 − µ∆t ) ]
+ Pn + 1( t ) [ µ∆t ( 1 − λ∆t ) ]
= [1−(λ + µ)∆t]Pn(t)+λ∆t Pn−1(t) + µ∆t Pn+1( t )
(orde kedua∆t2 diabaikan)
• Persamaan tadi merupakan differential-difference equation
• Jika kita hanya memperhatikan nilai stasioner Pn(t→∞), yang
dinyatakan oleh Pn , faktor waktu dapat dihilangkan dan
persamaan-perbedaan (difference equation) berikut dapat
diperoleh :
( λ + µ )Pn = λ Pn − 1+ µPn + 1
• Ini merupakan suatu homogenous second-order difference
equation
• Metoda standard untuk penyelesaiannya adalah dengan
mengasumsikan bahwa bentuk solusinya adalah Pn= Aρn
• Maka kita memperoleh hasil berikut P0 = Aρ0 =A, sehingga kita
dapatkan Pn= P0ρn
• Dengan substitusi, ρ dapat dinyatakan sebagai λ/µ
• Dengan demikian, solusinya adalah Pn =P0ρn dimana ρ = λ/µ
• Untuk menentukan P0, kita nyatakan bahwa

P
n 0
n
1
maka akan diperoleh P0 sama dengan (1−ρ)
• Akhirnya distribusi probabilitas kondisi (state probability
distribution of) antrian M/M/1 diperoleh sebagai berikut:
Pn=(1 − ρ)ρn, ρ < 1
• Peluang tidak ada customer di dalam sistem adalah
sama dengan P0=(1 − ρ), maka peluang sistem sibuk
adalah 1−P0=ρ,
– Ini merupakan alasan mengapa ρ dinyatakan sebagai
utilisasi sistem antrian M/M/1
• Ukuran antrian rata-rata dapat dihitung sebagai berikut :
=n
Analisa menggunakan diagram kondisi
• Misalnya jumlah customer di dalam sistem pada waktu t adalah
N(t)
• Pada awalnya tidak ada customer, maka N(0) = 0
• Ketika suatu customer bergabung dengan antrian, nilai N(t) naik 1
• Setelah suatu customer meninggalkan antrian, nilai N(t) turun 1
• Jumlah N(t) menyatakan kondisi (state) sistem
• Jika sistem diamati satu kali setiap ∆t, sistem hanya akan berubah
dari suatu kondisi ke kondisi terdekat dari suatu pengamatan yang
berurutan, karena jumlah customers hanya dapat memiliki
kemungkinan berikut :
– Akan sama, atau
– Naik 1, atau
– Turun 1
• Transisi kondisi (state transition) untuk antrian M/M/1
dikenal sebagai suatu birth-death process:
• Perhatikan bahwa pada diagram di atas, transisi ke
kondisi yang sama telah diabaikan karena transisi seperti
ini tidak mempengaruhi hasil yang akan kita peroleh untuk
sistem antrian yang akan kita diskusikan
Kesetimbangan aliran (flow balancing)
• Diasumsikan bahwa sistem antrian akan menjadi
setimbang setelah beberapa saat
• Dalam kondisi setimbang, peluang untuk memasuki suatu
kondisi akan sama dengan peluang untuk meninggalkan
kondisi tersebut
• Ini merupakan konsep kesetimbangan aliran (flow
balancing) dan diilustrasikan dalam diagram berikut ini
(aliran pada state yang diberi lingkaran elips (aliran
masuk/keluar kondisi n) adalah setimbang):
• Persamaan berikut dapat diperoleh :
– Memasuki kondisi n: λPn−1 + µPn+1
– Keluar dari kondisi n : ( λ + µ )Pn
• Dengan menggunakan kesetimbangan aliran, kita dapatkan
( λ + µ ) Pn = λ Pn − 1 + µPn + 1
• Yang sama dengan persamaan yang telah kita peroleh
sebelumnya
• Kondisi kesetimbangan aliran akan memberikan :
λPn = µPn+1, atau
Pn+1 = ρPn , untuk n = 1, 2, …
• Solusi untuk persamaan ini adalah Pn = ρn P0
• Dan hasil serupa akan diperoleh seperti yang
sudah kita dapat sebelumnya
Throughput
• Throughput, , dari suatu sistem antrian adalah
jumlah customer rata-rata yang telah dilayani,
atau keluaran dari antrian, per satuan
• Pada antrian M/M/1, dengan adanya buffer yang
berukuran tak terhingga, maka buffer tidak akan
pernah overflows sehingga setiap job dapat
dilayani
• Dengan demikian, throughput adalah sama
dengan laju kedatangan rata-rata yaitu  = λ
• Throughput dapat pula dihitung dengan cara
menganalisa server
• Peluang bahwa server pada antrian M/M/1 idle adalah
P0, maka prosentase waktu dimana server sibuk adalah
1−P0
• Ketika sibuk, server menyelesaikan pelayanan dengan
rate µ jobs/detik, maka laju rata-rata penyelesaian
tugas server (laju ini sama dengan throughput), adalah
= (1−P0)µ
• Untuk antrian M/M/1, P0 = 1 − ρ, sehingga
 = µ(1−P0)= µρ = µ λ/µ = λ
(hasil yang sama telah kita peroleh)
Analisa delay untuk antrian M/M/1
• Biasanya pengetahuan tentang delay sistem diperlukan
• Delay biasa disebut juga waktu respons (response time)
• Delay adalah total waktu yang dihabiskan customer di
dalam sistem, meliputi waktu menunggu (waiting time)
dan waktu pelayanan (service time)
– Bila kita nyatakan waktu menunggu sebagai W dan waktu
pelayanan sebagai S maka delay (bila kita nyatakan sebagai
D) adalah : D = W+S
• Delay rata-rata ditentukan dengan menerapkan
teorema Little
Teorema Little
• Jumlah job rata-rata n di dalam sistem
antrian pada kondisi steady-state adalah
sama dengan perkalian laju kedatangan
rata-rata λ dengan delay rata-rata , yaitu
• Untuk antrian M/M/1, kita telah peroleh bahwa
• Dengan menerapkan teorema Little kita peroleh:
• Dimana  adalah delay rata-rata
• Maka delay rata-rata dapat diperoleh dengan cara
sebagai berikut:
• Karena µ dan λ memiliki satuan jobs per satuan waktu, maka unit time,
 memiliki satuan waktu (time) per job, misalnya detik/job, atau menit
/job dsb.
• Menghitung waktu tunggu rata-rata (waiting time)
– Ingat D = W + S, maka W = D-S
– Dengan demikian :
1
1 1 
E[W ]  E[ D]  E[ S ]  .
  .
 1    1 
1
• Bila yang diketahui adalah kecepatan link dan
panjang paket rata-rata maka perhatikan slideslide berikut ini
– Customer = paket
• λ = laju kedatangan paket (packet arrival rate) (packets per time unit)
• L = panjang paket rata-rata (data units)
– server = link, tempat menunggu = buffer
• C = kecepatan link (data units per time unit)
• Waktu pelayanan = waktu transmisi paket rata-rata (packet transmission
time)
– 1/μ = L/C = waktu transmisi paket rata-rata
•
Definisi: traffic load ρ merupakan perbandingan antara laju kedatangan (arrival
rate) λ dengan waktu pelayanan (service rate) μ = C/L:
Contoh
• Misalkan ada sebuah link di antara dua paket. Asumsikan bahwa:
– Rata-rata ada 10 paket baru yang datang di dalam satu detik
– Panjang paket rata-rata adalah 400 bytes,dan
– Kecepatan link adalah 64 kbps
• Maka traffic load adalah
• Jika kecepatan link dinaikkan menjadi 150 Mbps, maka load hanya
sebesar:
•
Kapasitas sistem
Analisa Teletraffic
– C = kecepatan link yang dinyatakan di dalam kbps
•
Traffic load
– λ = Laju kedatangan paket yang dinyatakan di dalam packet/s (anggap sebagai suatu
variable)
– L = panjang paket rata-rata di dalam satuan kbits
•
Quality of service (dari sudut pandang user)
– Pz = peluang suatu paket harus menunggu “terlalu lama”, yakni lebih lama dari waktu
referensi z
•
Jika diasumsikan sistem merupakan sistem antrian M/M/1, yaitu:
– Kedatangan paket meruoakan proses Poisson (dengan rate λ)
– Panjang paket terdistribusi exponential dengan rata-rata L
•
Maka hubungan kuantitatif antara ketiga faktor (kapasitas sistem,beban trafik dan
quality of service) diberikan oleh rumus tunggu (waiting time formula) berikut:
Catatan: Sistem hanya akan stabil bila ρ < 1, bila tidak maka jumlah
paket yang mengantri akan menuju tak terhingga
Contoh
• Asumsikan bahwa paket datang dengan laju λ = 50 packet/s dan
kecepatan link adalah C = 64 kbps. Maka peluang paket yang datang
menunggu terlalu lama (Pz ) (yaitu lebih lama dari z = 0.1 s) adalah
• Panjang paket rata-rata di diasumsikan konstant sebesar 1 kbit
• Perhatikan bahwa sistem akan stabil karena:
Analisa antrian M/M/1 terbatas
• Kita amati suatu antrian yang memiliki satu
server dan R-1 buffers
– Sehingga sistem dapat menangani maksimum R
customers
• Nilai kondisi adalah 0, 1, 2, ... R, dan diagram
kondisinya adalah sebagai berikut:
• Dengan menerapkan kesetimbangan aliran (flow
balancing):
Pn = ρnP0, n ≤ R
• Untuk menentukan P0, kita tahu bahwa
• Maka
• Distribusi probabilitas kondisi diperoleh sebagai berikut:
• Perhatikan bahwa ρ tidak perlu kurang dari 1
• Misalnya jika ρ=1, maka Pn=P0 untuk semua n,
sehingga
Blocking pada antrian M/M/1 yang terbatas
• Jika suatu customer datang pada saat sudah terdapat R
customers di dalam antrian, maka customer tersebut akan di
blok (rejected)
• Untuk antrian M/M/1 yang terbatas dan hanya dapat melayani
maksimum R customers, probabilitas blocking PB adalah
sama dengan peluang bahwa pada antrian sudah terdapat R
customers, yaitu.:
• Dapat dilihat bahwa jika ρ → ∞, probabilitas blocking akan cepat
menuju 1, yaitu hampir semua customer di-blok
Throughput
• Perhatikan suatu sistem antrian dengan bloking yang umum
berikut ini:
• Customers yang tidak di-blok akan berhasil masuk ke dalam
antrian
• Jumlah rata-rata customers yang tidak di-blok persatuan waktu
ini adalah merupakan throughput  yaitu  = λ( 1 − PB )
• Dimana probabilitas blocking adalah PB, dan laju kedatangan
adalah λ
• Jika kita amati server, maka throughput adalah:  = µ( 1 − P0 )
• Untuk antrian M/M/1/R
• Maka throughput untuk antrian M/M/1/R
dinyatakan oleh:
Antrian yang state-dependent
• Pada beberapa sistem antrian, karakteristik kedatangan
(arrival ) dan kepergian (departure) tidaklah tetap
• Karakteristik bisa tergantung pada kondisi sistem
– Laju kedatangan pada kondisi n = λn
– Laju pelayanan pada kondisi n = µn
Solusi Umum
• Untuk memperoleh solusi umum bagi antrian yang
state-dependent, kita dapat menerapkan prinsip flow
balancing tetapi dengan laju kedatangan dan kepergian
yang state-dependent
• Perhatikan diagram berikut dan kita terapkan flow
balancing pada state yang diberi elips:
• Persamaan kesetimbangan adalah sebagai berikut:
( λn + µn ) Pn = λn − 1 Pn − 1 + µn + 1Pn + 1
• Atau untuk elips berikut :
• Persamaan kesetimbangan adalah sbb:
• λn−1Pn−1 = µnPn
• Solusi umum adalah sbb:
• Yang dapat disederhanakan menjadi :
• Seperti biasa, P0 dapat ditentukan dari kondisi
normalisasi:
• Tergantung dari apakah buffernya tak terhingga atau
terbatas
Antrian M/M/2
• Antrian M/M/2 adalah antrian dengan 2 server yang identik dan
satu buffer yang sama seperti diperlihatkan di bawah:
•
Ketika suatu customer datang, :
• Dia akan dilayani oleh server manapun bila kedua server sedang idle,
atau
• Dilayani oleh salah satu server jika hanya ada satu server yang idle, atau
• Akan menunggu di buffer sampai sebuah server bebas (akan dilayani
oleh server pertama yang idle)
• Ketergantungan laju kedatangan pada kondisi:
– Laju kedatangan λ konstan dan tidak tergantung pada
kondisi yaitu λn = λ
• Ketergantungan laju pelayanan (service rate) pada kondisi:
– Jika hanya ada 1 customer di dalam sistem, satu server
akan sibuk sedangkan server lainnya idle; pada kasus ini
sistem ekivalen dengan sistem yang mempunyai satu
server dengan laju pelayanan µ, yaitu µ1 = µ
– Jika kedua server sibuk, maka sistem antrian menjadi
ekivalen dengan sistem antrian yang memiliki satu
server dengan laju pelayanan 2 µ, yaitu, µ2 = 2µ, µ3 =
2µ, ... dsb, atau secara umum µn = 2µ untuk n≥2
• Dengan ρ didefinisikan sebagai 2µ, solusi umum untuk distribusi
probabilitas kondisi sistem antrian M/M/2 adalah:
• Dengan ukuran buffer yang tidak terhingga, P0 dapat ditentukan sbb:
• Probabilitas kondisi lainnya adalah :
• Panjang antrian rata-rata adalah
• Average response time adalah:
• Throughput bila dilihat dari sisi server:
• Cara lain untuk menghitung throughput adalah sbb: karena pada
antrian M/M/2 tidak ada loss, throughput adalah sama dengan arrival
rate λ
Antrian M/M/∞
• Antrian ini memiliki jumlah server yang tak terhingga,
tetapi tidak memiliki buffer (karena tidak diperlukan)
• Layanan diberikan langsung bila ada customer datang
• Karena laju kedatangan tidak tergantung kondisi maka
λn = λ untuk n=0,1,2,…
• Laju pelayanan tergantung kondisi : µn = nµ untuk
n=1,2,…
• Solusi umum untuk probabilitas kondisi adalah sbb:
• Untuk mencari P0 kita gunakan
• Jumlah rata-rata customers adalah:
• Karena sistem adalah non-blocking dan tidak ada loss,
maka throughput pasti sama dengan laju kedatangan
arrival rate λ
• Tetapi jika throughput dihitung berdasarkan sudut pandang
server, maka throughput dapat dihitung sebagai berikut:
(perhatikan bahwa µ0 = 0)
• Dengan menerapkan teorema Little, the average response
time adalah:
Distribusi Erlang ke-2
Tutun Juhana
STEI - ITB
• Notasi Kendall dari Distribusi Erlang ke-2 adalah M/M/s
–
–
–
–
Proses kedatangan Poisson
Waktu pelayanan teridtribusi eksponensial negatif
Jumlah server sebanyak s
Buffer berukuran tak terhingga
• Bila r menyatakan jumlah customer yang ada di dalam
sistem (yang menunggu ditambah yang sedang
dilayani), maka diagram sistem antrian M/M/s dapat
dilihat di bawah ini
r
l
...
s

Diagram transisi kondisi
ldt
ldt
r-1
r
rdt
r+1
(r+1)dt
ldt
ldt
r-1
r
sdt
•
•
(untuk r < s ;
serupa dgn model loss system)
r+1
(untuk r  s; karena ada sebanyak s
customer yg dilayani dan sisanya sebanyak
(r-s) sdg menunggu, maka peluang
suatu customer selesai dilayani pada
waktu t adalah st (tdk tergantung) r )
sdt
Bila kondisi steady state tercapai dan dengan menggunakan prinsip rate-out = rate-in maka persamaan di
dalam kondisi steady state adalah sbb:
(l+r)Pr(t) = lPr-1(t) + (r+1)Pr+1(t), untuk r < s
(l+s)Pr(t) = lPr-1(t) + sPr+1(t), untuk r  s
Solusinya adalah sbb (bila a = l/):
ar
Pr  P0 , untuk r  s
r!
as  a 
Pr   
s!  s 
r s
P0 , untuk r  s
•
Jika Pr merupakan distribusi peluang pada kondisi setimbang maka kondisi normalisasi berikut
akan terpenuhi
 s 1 a r a s   a  r 
Pr  P0        1

r 0
 r 0 r! s! r 0  s  

•
Jika a<s, maka penjumlahan pada suku kedua yang terdapat di dalam kurung [ ] akan
konvergen menjadi

r
s
a

 

sa
r 0  s 
•
Dan kita akan memperoleh:
 a
s 

P0    
 r 0 r! s  a 
s 1
•
1
Jika a  s maka P0 akan menjadi 0 yang artinya Pr tidak ada
–
–
•
r
Karena tidak ada call yang hilang maka offered traffic harus selalu dapat diolah (carried), tetapi
karena s trunk hanya dapat mengolah sebanyak s erlang, maka call yang menunggu akan sangat
banyak (menuju tak hingga) sehingga sistem tidak akan setimbang (stabil/steady state)
Kondisi setimbang tercapai bila  < 1
Ingat bahwa faktor utilisasi didefinisikan sebagai  = a/s
Waktu tunggu rata-rata
•
•
Peluang menunggu didefinisikan sebagai peluang suatu kedatangan harus menunggu; kita nyatakan
sebagai M(0) yaitu peluang waktu tunggu melebihi 0
Suatu customer/call harus menunggu jika dan hanya jika jumlah call yang ada di dalam sistem tidak lebih
kecil dari s, maka dengan prinsip PASTA akan kita peroleh:
as s

as s
M (0)   Pr 
P0  s 1 s!r s  a
a
s
s! s  a
r s


sa
r  0 r!
•
•
Persamaan di atas disebut rumus Erlang C (rumus distribusi Erlang ke-2)
Kalau kita tulis ulang akan diperoleh persamaan berikut (agar dapat dihitung menggunakan rumus rugi
erlang (rumus erlang B)
M (0) 
•
sEs (a)
s  a[1  Es (a)]
Jumlah rata-rata panggilan yang menunggu diberikan oleh
r


as
a
a
L   (r  s ) Pr  P0  r    M (0)
s! r 0  s 
sa
r s
denganm em anfaatk
an hukumidentitasberikut

 rx r 
r 0
•
x
, untuk x  1
2
(1  x)
Dengan menggunakan rumus Little, kita akan peroleh waktu tunggu rata-rata sbb:
W
L
l
 M (0)
h
sa
dimana h=1/ dan a=l/
•
Peluang waktu tunggu melebihi t, yang kita nyatakan sebagai M(t), diberikan oleh persamaan berikut ini
(untuk disiplin antrian FIFO (First In First Out)):
M (t )  M (0)e(1 ) st / h
•
Peluang waktu tunggu melebihi t, dengan disiplin antrian RSO (Random Service Order) dinyatakan oleh:
M (t ) 

1
M (0) r1e  r1 ( s  a )t / h  r2 e  r2 ( s  a )t / h
2

dimana
r1  1 
•
•
•
a
a
dan r2  1 
2s
2s
Disiplin antrian seperti FIFO, RSO, LIFO dsb., diklasifikasikan sebagai non-biased discipline
(penanganannya tidak tergantung waktu pelayanan)
Untuk non-biased discipline waktu tunggu rata-ratanya akan sama dengan W
Sedangkan untuk biased discipline (penanganannya tergantung waktu pelayanan), waktu tunggu akan
berbeda dengan W
–
Contoh biased discipline adalah SSTF (shortest service time first)
• Contoh:
– Pada jaringan telepon, waktu sejak off-hook sampai mendapatkan dial-tone disebut
dial-tone delay. Di dalam pemakaian praktis, peluang dial-tone delay melebihi 3 detik
tidak boleh lebih daripada 1%. Dial digit receivers (register pengolah digit yang di-dial)
dirancang untuk memenuhi kriteria kinerja ini. Misalnya di dalam suatu PABX yang
melayani 3000 telepon diketahui bahwa setiap telepon membangkitkan rata-rata satu
panggilan per jam dan waktu men-dial terdistribusi ekponensial dengan rata-rata 12
detik. Asumsikan bahwa diperlukan waktu selama 0,5 detik (tetap) untuk
menghubungkan register di dalam operasi switching, maka waktu tunggu di dalam
register yang diperbolehkan adalah 2,5 detik (jangan lupa dial-tone delay tidak boleh
melebihi 3 detik)
– Beban trafik yang diberikan kepada register adalah a=3000 x 12/3600 = 10 erlang
– Jika jumlah register adalah sebanyak 17 (s=17) maka M(0)=0,0309
– Peluang waktu tunggu melebihi 2,5 detik adalah sbb:
• Bila disiplin antrian adalah FIFO maka M(2,5 detik) = 0,0072
• Bila disiplin antrian adalah RSO maka M(2,5 detik) = 0,0061
– Keduanya memenuhi syarat peluang waktu tunggu melebih 2,5 detik yaitu 1%
• Waktu tunggu rata-rata untuk kedua kasus adalah W=0,0529, dengan demikian dial-tone
delay rata-rata adalah 0,5529 (W ditambah 0,5 detik waktu untuk menghubungkan register di
dalam operasi switching)
Antrian M/M/s/s+m
•
Pada antrian ini:
– Sumber kedatangan terdistribusi
Poisson (Markov)
– Distribusi service time : ekponensial
negatif (Markov)
– Ada sebanyak s server
– Ukuran buffer sebanyak m
•
Parameter sistem:
– Waktu tunggu (di buffer) rata-rata
(W)
– Probabilitas Blocking (B)
– Probabilitas suatu customer harus
menunggu, M(0), atau probabilitas
wajtu tunggu melebihi 0
– Probabilitas waktu tunggu melebihi t,
M(t)
h 1
m m 

W  M (0) 

m 
s 1  1  
as m
B  P0 
s!
as 1  m
M (0)  P0
s! 1  
1   m  r ( st / h) r
M (t )  M (0)e

m
r!
r 0 1  
dimana   a/s dan a  l/
 st / h
m 1
 s 1 a r a s 1   m 1 

P0    
 r 0 r! s! 1   
1
Extended Markovian Models
• Pada model-model antrian sebelumnya yang sudah kita bahas,
populasi user selalu diasumsikan tak terhingga (kecuali untuk
model binomial dan Engset)
• Sekarang kita akan membahas model-model Markov lain yang
memiliki populasi user terbatas
– Input pada model ini disebut quasi random input
– Model disebut extended Markovian models
• Untuk memudahkan penulisan notasi Kendall maka untuk
mengindikasikan populasi pelanggan yang terbatas digunakan
tanda kurung pada posisi proses kedatangan
– Contoh: M(n)/M/s
• Artinya: antrian dengan quasi random input dimana jumlah populasi user
adalah n
– Tanda kurung juga digunakan untuk menunjukkan
ukuran buffer
M(n)/M/s(m,)
• Sistem dengan quasi-random input,
waktu pelayanan eksponensial, dan
dengan buffer yang berukuran m
• Diasumsikan bahwa waktu untuk
meninggalkan antrian sebelum
waktunya (menyerah dan tidak
melanjutkan untuk menunggu (give up
waiting)) terdistribusi ekponensial
dengan rata-rata -1
• Persamaan-perrsamaan untuk sistem
antrian ini diperlihatkan di sebelah
kanan (dengan laju kedatangan dari
sumber yang idle adalah  dan -1
sebagai waktu pelayanan rata-rata)
• Koeffisien birth and death akan
tergantung kondisi sbb:
l j  (n  j ) ,
j  0,1,...,s  m
j  1,2,...,s  1
 j ,
j  
s  ( j  s ) , j  s, s  1,...,s  m
Waktu tunggurata  rata (W )
m 1
h  n  1
(r  1)(n  1  s ) r  h 
s
(h) 
W   0 
 
s
 (r  1)
 s 
r 0
 s 
PeluangBlocking
r
 n  1
( n  1  s ) m  h 
(h) s
B   0 
 
 ( m)  s 
 s 
Peluangsuatu panggilanharus m enunggu
s
(*)
m 1
 n  1
( n  1  s ) r  h 
(h) s 
M (0)   0 
 
r  0  ( r  1)  s 
 s 
Peluangsuatu panggilanharus m enunggulebih dari t det ik
r
 n  1 h 
 
M (t )   0 
s

  
dimana
s
[ s  ( j 1) ]t / h
r
 n 1 s 
r
rr e









h

1


 r 
 i  1  i / s
r 0 
i 0

 
m 1
r
m 1
 s 1  n  1
 n  1
( n  1  s ) r  h  
r
s
h   
h  
 0   
  
r
s

(
r
)
 s  
r

0
r

0



 
(n) r  n(n  1)...(n  r  1); (n) 0  1; (n) r  0; r  n
r



  ,  ( r )   1  i 

s
i 0 
1
M/M/s(m,)
•
Dengan membuat n   dan   0 serta nh = a, maka kita akan memperoleh
persamaan-persamaan berikut dari (*)
W  P0
ha
r 1  a 
 

s s! r 0  (r  1)  s 
B  P0
a 1 a
 
s!  (m)  s 
s m 1
s
M (0)  P0
s m 1
r
m
a
1 a
 

s! r 0  (r  1)  s 
r
[ s  ( j 1) ]t / h
a s m 1 a r r
ir e
M (t )  P0    1  
s! r 0 r! i 0
 i  1  i / s
dimana
 s 1 a r a s m 1 1  a  r 
P0    
  
 r 0 r! s! r 0  (r )  s  
1
M(n)/M/s
•
Bila pada (*) kita buat m = n-s dan   ,maka persamaan-persamaan yang bisa kita peroleh adalah
sbb
r
n  s 1
h  n  1
 h 
s
(h)  (r  1)(n  s  1) r  
W   0 
s
s
 s 
r 0


m  s 1
 n  1
 h 
s
(h)  (n  s  1) r  
M (0)   0 
 s 
r 0
 s 
r
n  s 1
 n  1
 h 
s  st / h
h  e
M (t )   0 
(
n

s

1
)


r
s
s


r 0


dimana
 ( st / h)i 



i
!
i 0 

r r
r
n  s 1
 s 1  n  1
 n  1
 h  
r
s
h   
h   (n  s  1) r   
 0   
r
s
 s  
r

0
r 0



 
•
Sekarang kita turunkan offered load
–
–
Bila l adalah laju kedatangan dan h adalah waktu pelayanan rata-rata maka a = lh
Kalau kita nyatakan jumlah customer (call, paket etc.) rata-rata di dalam sistem pada kondisi steady state oleh
maka dari rumus LittleNbisa kita peroleh persamaan berikut
N  a  lW
•
1
,
(#)
Bila kita masukkan persamaan (#) ke dalam persamaan berikut ini :
a  h(n  N ) [ingat bahwa l j  (n  j ) dan dalam hal ini j adalah sama dengan N;
•
karenaa  lh, maka apabila l kita gantidengan (n  j ) , akan diperolehekpspresia disamping]
nh
Maka kita akan memperoleh persamaan berikut
aoffered 
1  (W  h)
Contoh
•
Misalkan ada sebanyak n terminal yang terhubung ke sebuah komputer TSS (time sharing
service). Masing-masing terminal membangkitkan transaksi secara acak dengan interval
rata-rata -1 pada kondisi idle dan transaksi memiliki panjang yang terdistribusi
eksponensial. Jumlah transaksi yang dapat ditangani per satuan waktu menunjukkan
throughput. Throughput ekivalen dengan laju kedatangan l yang dapat dihitung dari
l
•
•
n
1  (W  h)
Jika n = 30 dan -1 = 20 detik, h = 1 detik dan digunakan sebuah CPU (central
processing unit), maka kita dapat memperoleh W=9,2559 detik; maka throughput
adalah l = 0,9915 transaksi per detik, sedangkan offered load adalah a = 0,9915
erlang; maka faktor utilisasi CPU adalah  = a/s = 99,15%
Bila digunakan dua CPU maka W = 0,6758 detik , throughput l = 1,3840 transaksi
per detik, faktor utilisasi CPU adalah  = a/s = 69,20%
• Jangan lupa bahwa model antrian M/M/s/s+m
yang pernah kita bahas termasuk ke dalam
katagori extended Markovian models
– Bisa ditulis dalam notasi M/M/s(m)
• Contoh
– Misalnya ada suatu sistem transmisi paket. Diketahui
panjang paket terdistribusi eksponensial dengan
panjang rata-rata 1200 bit. Paket ditransmisikan pada
kecepatan 2400 bps. Paket datang dengan rate 6
paket per detik dan jumlah saluran yang digunakan
adalah 4.
– Data yang dapat diperoleh:
•
•
•
•
•
L = 1200 bit
C = Kapasitas link = 2400 bps
s=4
l = 6 paket/detik
h = 1/ = L/C = 1200/2400 = 0,5 s
Tabel berikut memperlihatkan hasil perhitungan (coba cek):
m
10
20
30
W [sec]
0,2090
0,2502
0,2543
B
0,007330
0,000404
0,000023
M [0,5 sec]
0,1622
0,1860
0,1873
40
0,2547
0,000001
0,1874
Paket voice sensitif terhadap delay tetapi lebih toleran terhadap loss
sehingga probabilitas blocking (dibuang) sebesar misalnya B = 10-3
masih dapat diterima dan ukuran buffer sebesar m = 10 dapat
digunakan
Paket data lebih toleran terhadap delay tetapi lebih sensitif terhadap
loss, artinya diperlukan probabilitas blocking yang lebih kecil dari 10-6
(misalnya) sehingga harus disediakan buffer dengan ukuran  40
Coba kerjakan
• Misalnya paket-paket yang panjangnya terdistribusi
eksponensial memiliki panjang rata-rata 1200 bit dan
datang dengan rate 6 paket per detik. Paket-paket
tersebut ditransmisikan melalui 2 saluran berkecepatan
4800 bps
– Hitung ukuran buffer agar laju pembuangan (discarding rate)
[probabilitas blocking] tidak lebih dari 10-5
– Dengan ukuran buffer yang didapatkan pada pertanyaan
pertama, hitung waktu tunggu rata-rata dan probabilitas
menunggu melebihi 1 detik