Transcript Disiplin Antrian - tito math`s blog

Model Antrian
Ir Tito Adi Dewanto
LOGO
Intro
Menunggu dalam suatu antrian
adalah hal yang paling sering terjadi
dalam kehidupan sehari-hari
Intro
Siapapun yang pergi berbelanja atau ke bioskop
telah mengalami ketidaknyamanan
dalam mengantri untuk membeli atau membayar tiket
Theatre 1
Skip
Intro
Dengan memperhatikan hal ini, banyak
perusahaan mengusahakan untuk mengurangi
waktu menunggu sebagai komponen utama
dari perbaikan kualitas.
Skip
Intro
Umumnya, perusahaan dapat mengurangi waktu
menunggu dan memberikan pelayanan yang lebih
cepat dengan menambah jumlah pelayanan, seperti
jumlah teller pada bank atau jumlah kasir pada
supermarket.
Skip
Intro
Namun, menambah kapasitas pelayanan memerlukan
biaya dan dasar analisi waktu menunggu adalah
adanya trade-off antara biaya perbaikan pelayanan dan
biaya yang berasal dari waktu menunggu pelanggan.
Teori Antrian :
 Menunggu giliran untuk
mendapatkan pelayanan dari
suatu fasilitas
 Antrian terjadi karena
kemampuan pelayanan tidak
bisa mengimbangi kebutuhan
pelayanan
Next
CONTOH SISTEM ANTRIAN
Sistem
Garis tunggu atau
antrian
Fasilitas
1. Lapangan terbang
Pesawat menunggu di
landasan
Landasan pacu
2. Bank
Nasabah (orang)
Kasir
3. Pencucian Mobil
Mobil
Tempat pencucian mobil
4. Bongkar muat barang
Kapat dan truk
Fasilitas bongkar muat
5. Sistem komputer
Program komputer
CPU, Printer, dll
6. Bantuan pengobatan
darurat
Orang
Ambulance
7. Perpustakaan
Anggota perpustakaan
Pegawai perpustakaan
8. Registrasi mahasiswa
Mahasiswa
Pusat registrasi
9. Skedul sidang pengadilan Kasus yang disidangkan
Pengadilan
Tabel 1
Hubungan kedatangan, waktu menganggur, waktu tunggu dan panjang anterian dalam pelayanan nasabah TABANAS di Bank XYZ
Contoh 1.
Misal pelayanan terhadap nasabah TABANAS pada suatu bank
sebagai berikut : Kapasitas pelayanan rata-rata 10 kali setiap
jam berarti pelayanan memerlukan waktu 6 menit, sedangkan
kedatangan orang/nasabah setiap jam rata-rata 6 orang. Waktu
kedatangannya bersifat random dapat dilihat tabel sbb :
Nasabah
Ke -
Jam
Datang
Jam Pelayanan
1
8.07
8.07
8.13
Waktu
Menganggur
(teller)
0
2
8.14
8.14
8.20
1’
0
0
3
8.25
8.25
8.31
5’
0
0
4
8.29
8.39
8.45
8’
0
0
5
8.43
8.45
8.51
0
2’
1
6
8.56
8.56
9.02
5’
0
0
Mulai
Selesai
8
Waktu
Tunggu
(cust)
0
Panjang
Antrian
0
Tabel 2
Pada tabel diatas terlihat terjadi banyak pengangguran petugas
(unit pelayanan) oleh karena itu untuk mengurangi pengangguran
kita kurangi petugas shg kapasitas pelayanan menjadi 9 menit tiap
nasabah.
Nasabah
Ke -
Jam
Datang
Jam Pelayanan
Waktu
Tunggu
Panjang
Antrian
8.16
Waktu
Mengangg
ur
0
Mulai
Selesai
1
8.07
8.07
0
0
2
8.14
8.16
8.25
0
0
1
3
8.25
8.25
8.34
0
0
0
4
8.29
8.39
8.48
5’
0
0
5
8.43
8.48
8.57
0
2’
1
6
8.56
8.57
9.06
0
1’
1
Yang kita cari adalah alternatif meminimalkan jumlah kedua biaya yaitu
biaya pengangguran fasilitas pelayanan dan biaya karena
meningkatnya waktu tunggu.
9
Analisis Antrian
Waktu Tunggu Rerata
dalam Antrian (tq )
Pelayanan
Rerata
kedatangan (
Jumlah Rerata
dalam Antrian (nq )
Laju (
Waktu Rerata dalam Sistem (tt
)
Jumlah Rerata dalam Sistem (nt )
10
Grafik hubungan antara biaya, jumlah
server dan kinerja
Jumlah Server
Biaya Pelayanan
Optimal
Biaya & jumlah
server
Kinerja
Cost / biaya
11
Biaya Sistem Antrian
Biaya Fasilitas Pelayanan
Biaya Perkiraan Total
Biaya Pelayanan
Optimal
Biaya Waktu
Tunggu
Biaya
Pengadaan
Layanan
= 0.0
*
 = 1.0
12
Karakteristik Kedatangan
Ukuran Populasi Kedatangan
 Tak terbatas (essentially infinite)
 Terbatas (finite)
Pola kedatangan pada sistem
 Terjadwal
 Secara acak  distribusi Poisson
P x  =  
x
e

x!
13
Komponen sistem antrian
1. Populasi masukan
Berapa banyak pelanggan potensial yang masuk sistem antrian
2. Distribusi kedatangan
Menggambarkan jumlah kedatangan per unit waktu dan dalam
periode waktu tertentu berturut-turut dalam waktu yang berbeda
3. Disiplin pelayanan
Pelanggan yang mana yang akan dilayani lebih dulu : a. FCFS (first
come, first served) b. LCFS (last come, first served) c. Acak (SIRO)
d. Prioritas (UGD)
4. Fasilitas Pelayanan
mengelompokkan fasilitas pelayanan menurut jumlah yang tersedia
: a. Single-channel b. multiple-channel
5. Distribusi Pelayanan
a. Berapa banyak pelanggan yang dapat dilayani per satuan waktu
b. Berapa lama setiap pelanggan dapat dilayani
6. Kapasitas sistem pelayanan
memaksimumkan jumlah pelanggan yang diperkenankan masuk
dalam sistem
6. Karakteristik sistem lainnya
pelanggan akan meninggalkan sistem jika antrian penuh, dsb
Notasi dalam sistem antrian














nt = jumlah pelanggan dalam sistem
Pn = probabilitas kepastian n pelanggan dalam sistem
λ
= jumlah rata-rata pelanggan yang datang persatuan waktu
µ
= jumlah rata-rata pelanggan yang dilayani per satuan waktu
Po = probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem
p
= tingkat intensitas fasilitas pelayanan
nt = jumlah rata-rata pelanggan yang diharapkan dlm sistem
nq = jumlah pelanggan yang diharapkan menunggu dalam antrian
tt
= waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama dalam sistem
tq = waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama menunggu
dalam antrian
1/µ = waktu rata-rata pelayanan
1/λ = waktu rata-rata antar kedatangan
S
= jumlah fasilitas pelayanan
Ct = Biaya Total = S.Cs + nt.Cw
Konfigurasi Sistem Antrian
Single Channel, Single Phase System
Single Channel, Multiphase System
16
Konfigurasi Sistem Antrian
Multichannel, Single Phase System
Multichannel, Multiphase System
17
Disiplin Antrian
 Bagaimana pelanggan diseleksi dari antrian untuk
dilayani?
 First Come First Served (FCFS)
 Last Come First Served (LCFS)
 Served in Random Order (SIRO)
 Priority (jobs are in different priority classes)/UGD
 Untuk kebanyakan model diasumsikan FCFS
Pemrograman Simulasi
18
Penamaan Antrian
X / Y / k (notasi Kendall)
X = distribusi kedatangan (iid)
Y = distribusi waktu pelayanan (iid)
 M = distribusi eksponensial untuk waktu
layanan dan kedatangan
 Ek = distribusi Erlang k
 G = general (antrian secara umum)
 D = deterministic (layanan dan kedatangan
konstan)
k = jumlah server
Pemrograman Simulasi
19
Model Antrian
1. M/M/1 atau M/M/I/I/I
2. M/M/s atau M/M/S/I/I
3. Model Waktu Pelayanan Konstan
4. G/G/k
5. Model Populasi Terbatas
20
Antrian M/M/1
21
Asumsi M/M/1
Laju kedatangan  (distribusi Poisson)
Laju pelayanan  (distribusi exponential)
Server tunggal (satu fasilitas pelayanan)
First-come-first-served (FCFS)
Panjang antrian tak terbatas
Jumlah pelanggan tak terbatas
22
SINGLE CHANNEL MODEL
Model yang paling sederhana yaitu model saluran
tunggal atau sistem M/M/1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Populasi input tak terbatas
Distribusi kedatangan pelanggan potensial
mengikuti distribusi poisson
Disipliln pelayanan mengikuti FCFS
Fasilitas pelayanan terdiri dari saluran tunggal
Distribusi pelayanan mengikuti distribusi
poisson
Kapasitas sistem diasumsikan tak terbatas
Tidak ada penolakan maupun pengingkaran
Karakteristik Operasi M/M/1
Faktor Utilitas
 
 
= ==
ns =
 
Rerata Waktu Tunggu
tt =
1
tq =
 

 (   )
Rerata Jumlah Pelanggan
n
Lt =


2
nq =
 
24
 (   )
Karakteristik Operasi M/M/1
Persentasi Waktu Luang
P0 = 1 


Prob ada n Pelanggan dalam Sistem
k 1
   
Pn P=n k1=  
   
n
Biaya Pengeluaran Total
Total Cost = Waiting Cost + Service Cost
Ct
Pemrograman Simulasi
= Biaya Total = nt.Cw + S.Cs
25
Contoh 1
Sebuah bank memiliki 1 mesin ATM.
Kenyataanya :
 Waktu rata-rata untuk melayani customer 50 detik
 Rata-rata customer yang akan memakai atm 60 org/jam
 Dirancang pembuatan mesin ATM yang baru.
 Pihak bank ingin mengetahui probabilitas seorang customer pasti harus
mengantri untuk memakai ATM
Penyelesaian :
  =Tingkat kedatangan = 60 org/jam
  = tingkat layanan = 1 org/50 detik x 3600 detik /1 jam= 72 org/jam
 = 60/72 = 0,833
Sehingga tingkat kesibukan
 =






t =
Rata waktu tunggu dalam antrian
= 0,0694 jam = 4,167menit
 (   )
Artinya P(seorang customer harus mengantri) = 0,833
Lama menunggu rata-rata = 4,167 menit
2
Rata jumlah customer dalam antrian
= 4,2 = 4 org
n =
q
q
Pemrograman Simulasi
26
 (   )
Contoh 2
Suatu toko variasi mobil memiliki data sbb: Selama 1 jam rata-rata ada 3
pembeli yang datang. Kapasitas pelayanan yang ada rata-rata setiap jam
mampu melayani 8 langganan/pembeli.
Hitunglah :
 A. Rata-rata jumlah langganan yang antri sebelum dilayani
 B. Rata-rata jumlah langganan dalam sistem
 C. Rata-rata lama langganan sebelum dilayani
 D. Rata-rata lama langganan dalam sistem
 E. Prob ada n langganan dalam sistem
 F. Rata-rata banyak langganan yang sedang dilayani
 G. Kalau biaya pelayanan setiap jam Rp 500 dan biaya karena langganan
menunggu setiap jam Rp 100, maka hitunglah jumlah seluruhnya setiap
jam.
Pemrograman Simulasi
27
 =Tingkat kedatangan = 3 org/jam
 = tingkat layanan = 8 org/jam
A  nq =
2
 (   )

B  nt =
 
C  tq =
D  tt =
F  =
= 0,225
=
3
83

=
 (   )
1
 


=
=
1
83
= 0,6
3
8(8  3)
= 0,075
= 0,2
3
8
G> E(Ct) = S.Cs + nt.Cw = 1.500 + 0,6.100=560

   


E  Pn = 
1






  
Pemrograman Simulasi
n
n
0
1
2
3
4
5
6
7
>8
P 0,625 0,324 0,088 0,012 0,005 0,002 0,001 0
28
Contoh 3
PT CIARD mengoperasikan satu buah pompa bensin dengan satu
operator. Rata-rata tingkat kedatangan kendaraan mengikuti
distribusi poisson yaitu 20 kendaraan per jam. Operator dapat
melayani rata-rata 25 mobil per jam, dengan waktu pelayanan
setiap mobil mengikuti distribusi probabilitas eksponensial. Jika
diasumsikan model sistem antrian yang digunakan operator
tersebut (M/M/1), hitunglah :
1. Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan (p)
2. Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan dalam sistem
3. Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu dalam antrian
4. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan selama dalam sistem
(menunggu pelayanan)
5. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan untuk menunggu dalam
antrian
Fasilitas
Pelayanan
Kedatangan
mobil, 15 per
jam
s
Mobil antri menunggu
pelayanan
1 pompa bensin
melayani 20 mobil per
jam
SPBU CIARD
Mobil Keluar
Penyelesaian
λ = 20 dan µ = 25
1. Tingkat intenstas (kegunaan) pelayanan atau
p=
λ
μ
=
20
= 0 ,80
25
Angka tersebut menunjukkan bahwa operator akan
sibuk melayani kendaraan selama 80% dari waktunya.
Sedangkan 20% dari waktunya
(1 – p) yang sering disebut idle time akan digunakan
operator untuk istirahat, dll
2
nt =
nt =
λ
μ-λ
p
1- p
=
=
20
25  20
0 ,80
1  0 ,80
= 4 , atau
=4
Angka tersebut menunjukkan bahwa operator dapat
mengharapkan 4 mobil yang berada dalam sistem
3
nq =
λ
2
μ(μ - λ)
=
( 20 )
2
25 ( 25  20 )
=
400
= 3 , 20
125
Angka tersebut menunjukkan bahwa mobil yang
menunggu untuk dilayani dalam antrian sebanyak 3,20
kendaraan
4
tt =
1
μ-λ
=
1
25  20
1
=
= 0 , 20 jam atau 12 menit
25
Angka tersebut menunjukkan bahwa waktu rata-rata
kendaraan menunggu dalam sistem selama 12 menit
5
tq =
λ
μ(μ - λ)
=
20
25 ( 25  20 )
=
20
= 0 ,16 jam atau 9,6 menit
125
Angka tersebut menunjukkan bahwa waktu rata-rata
kendaraan menunggu dalam antrian selama 9,6 menit
Antrian M/M/s
Pemrograman Simulasi
32
Asumsi M/M/s
Laju kedatangan of  (distribusi Poisson)
Service rate of  (distribusi exponential)
Dua/lebih server
First-come-first-served (FCFS)
Panjang antrian tak terbatas
Jumlah pelanggan tak terbatas
Laju pelayanan sama pada semua server
Pemrograman Simulasi
33
Karakteristik Operasi M/M/s
Faktor Utilitas/rata-rata banyaknya objek dalam
fasilitas pelayanan
 ==

M
S ..
Rerata Waktu Tunggu
tq =
Po
S ( S!)(1  ( / S )
2
.(


)
S
tt = tq 
Rerata Jumlah Pelanggan
nq =
 ( /  )
S
( S  1)!( S   )
Pemrograman Simulasi
2
.P0
34
n
Ltq ==nLq 



1

Karakteristik Operasi M/M/s
Persentasi Waktu Luang
P0 =
Pemrograman Simulasi
1
 S 1 1    n  1    S S
      
 n =0 n!     S!    S  
35
Contoh 4
Sebuah supermaket memiliki 4 jalur keluar/pembayaran.
Kedatangan customer dengan tingkatan 100 org/jam. Ratarata 1 customer dilayani 2 menit.
Ingin diketahui :
 Berapa jumlah customer berada dalam antrian !
 Probabilitas customer tidak harus antri !
Penyelesaian :
M=4
 = 100 org/jam
 = 30 org/jam  1 jam = ?? Org
1 org = 2 menit
1 jam = 60/2 = 30 org

=
M . = 0,8331
Sehingga
Dari n =  ( /  ) .P   dan nq = nt   diperoleh nq = 3,29 org
S
t
( S  1)!( S   )
2
0


36
SOAL UJIAN OPERATION RESEARCH
TEORI ANTRIAN
1. Pengertian Sistem Antrian adalah …….
A. Pelayanan kepada pelanggan
B. Pelayanan setiap pelanggan dating
C. Keseluruhaan dari layanan yang diberikan kepada pelanggan sejak ia
datang sampai selesai dilayani.
D. Keseluruhan dari layanan sejak pelanggan datang.
2. Penyebab timbulnya antrian adalah ……
A. Orang yang perlu dilayani terlalu banyak
B. Fasilitas layanan sedikit
C. Antri yang lama mendatangkan kepuasan
D. Kedatangan orang yang ingin dilayani persatuan waktu lebih tinggi dari
lama pelayanan persatuan waktu.
Pemrograman Simulasi
37
3. ‘Traffic Intencity’ merupakan perbandingan rata-rata kedatangan dengan
rata-rata kemampuan pelayanan. Formulanya adalah ….
A. 
B. 
C. /
D. /
4. Suatu toko variasi mobil memiliki data sebagai berikut : Selama 1 jam ratarata ada 3 pembeli yang datang. Kapasitas pelayanan yang ada rata-rata
setiap jam mampu melayani 8 langganan. Traffic Intencity adalah …..
A. 3/8
B. 8/3
C. 24
D. 2 2/3
Pemrograman Simulasi
38
•Lihat diagram berikut :
MASUKAN
M
S
M
S
KELUARAN
PHASE 1
PHASE 2
5. Model antrian diatas adalah …..
A. Multi Channel-Single Phase
B. Multi Channel-Multi Phase
C. Single Channel-Multi Phase
D. Single Channel-Single Phase
6. Tingkat pelayanan dalam suatu periode tertentu dalam antrian ……
A. 
B. /
C. /
D. 
7. Model distribusi kedatangan memiliki ketentuan jumlah …
A. Macam fasilitas pelayanan banyak
B. System lebih dari 1
C. Kapasitas antrian terbatas
D. Masukan tidak terhingga
39
•Model antrian dibawah adalah …..
8. Model antrian dibawah adalah …..
S
Masukan
M
Keluaran
S
A. Multi Channel-Multi Phase
B. Single Channel-Multi Phase
C. Single Channel-Single Phase
D. Multi Channel-Single Phase
9. Disiplin antrian secara acak tanpa memandang kedatangan disebut ….
A. FCFS
B. LCFS
C. SIRO
D. Emergency First
Pemrograman Simulasi
40
10. Toko jujur setiap jam dikunjungi 4 pembeli. Kapasitas pelayanan setiap jam di toko
jujur adalah 6 orang. Hitung rata-rata waktu antrian sebelum dilayani….
A. 0,30
B. 0,31
C. 0,32
D. 0,33
11. Objek yang datang atau masuk ke dalam system yang memerlukan pelayanan
disebut dengan ….
A. Antri
B. Antrian
C. Input
D. Output
12. Struktur yang dipakai di Rumah Sakit adalah …..
A. Multi Channel-Single Phase
B. Multi Channel-Multi Phase
C. Single Channel-Multi Phase
D. Single Channel-Single Phase
Pemrograman Simulasi
41