Transcript Площадь многоугольника

урок 11
• 1) Какой многоугольник называется описанным около
окружности?
• 2) Какая окружность называется вписанной в
многоугольник?
• 3) Можно ли вписать окружность в правильный
многоугольник? Что является центром вписанной
окружности?
• 4) Каким свойством обладает четырехугольник,
описанный около окружности?
• 5) Противоположные стороны четырехугольника,
описанного около окружности равны 7 см и 10 см. Можно
ли по эти данным найти периметр четырехугольника?
• 6) Можно ли вписать окружность в: а) прямоугольник; б)
параллелограмм; в) ромб; г) квадрат; д) трапецию;
• 7) Можно ли определить вид трапеции, если: а) около нее
можно описать окружность; б) в нее можно вписать
окружность?
• 8) Верно ли следующее утверждение; «Центры
окружностей, описанной около правильного
многоугольника и вписанной в него, совпадают»?
Новый материал
• Изобразим произвольный выпуклый n-угольник,
пусть n=6.
• Вопросы
• - Как можно найти площадь данного
многоугольника?
• - Каким образом его можно разбить на
треугольники?
• Вывод. Площадь произвольного многоугольника
можно находить, разбивая его на треугольники.
При этом площадь многоугольника будет равна
сумме площадей этих треугольников.
• Теперь изобразим
окружность и опишем
около нее n-угольник,
пусть n=5.
• Разобьем его на
треугольники, имеющие
общую вершину – центр
окружности, опустим из
нее высоты на
противоположные
стороны полученных
треугольников.
• Какой вывод можно
сделать о площади
многоугольника?
Теорема.
• Площадь многоугольника, описанного
около окружности, равна половине
произведения его периметра на радиус
вписанной окружности.
Следствие.
Площадь
правильного
выражается формулой S  1 n  a  r ,
2
n-угольника
где a – сторона n-угольника, r – радиус вписанной
окружности.
Доказательство.
• Многоугольник, описанный около
окружности, можно представить
составленным из треугольников,
сторонами a1, …, an которых
являются стороны данного
многоугольника,
• а высоты h1, …, hn равны
радиусу r вписанной окружности.
Поэтому площадь S
многоугольника равна сумме
площадей треугольников
S = a1r + … + anr = (a1 + … +an)r,
S 
1
2
P r
• Пусть теперь дан правильный
описанный около окружности n-угольник
со стороной a.
• P=na.
• Площадь правильного n-угольника
1
выражается формулой S = n a r,
2
• где a – сторона n-угольника, r – радиус
вписанной окружности
Упражнение 1
Около окружности, радиуса 2 см, описан
многоугольник,
периметра
4
см.
Найдите его площадь.
Ответ: 4 см2.
Упражнение 2
Площадь многоугольника, описанного около
окружности радиуса 3 см, равна 6 см2. Найдите
периметр многоугольника.
Ответ: 4 см.
Упражнение 3
Периметр четырехугольника равен 100 м. Может
ли его площадь быть меньше одного квадратного
метра,
если
этот
четырехугольник:
а)
параллелограмм; б) прямоугольник; в) ромб; г)
квадрат; д) трапеция?
Ответ: а) Да;
б) да;
в) да;
г) нет;
д) да.
Упражнение 4
Диагонали четырехугольника перпендикулярны
и равны 4 см и 5 см. Найдите площадь этого
четырехугольника.
Ответ: 10 см2.
ЗАДАЧА
• Около окружности
описан
четырехугольник.
B
Найдите площадь
четырехугольника, если
две его
противоположные
стороны равны а и b,
радиус окружности
равен R.
№1
C
a
D
b
A
AB+CD=BC+AD=a+b (по свойству описанного
четырехугольника)
P=2(a+b)
S= (a+b)R
ЗАДАЧА №2
• Найдите площадь правильного
шестиугольника, описанного около
окружности радиуса: а) 3 см: б) b.
ЗАДАЧА №3
• Докажите, что площадь Sn правильного
n - угольника со стороной a, вписанного
в окружность радиуса R, вычисляется
1
• по формуле Sn= n a Rcos 1 8 0 
2
n
180
h=Rcos
180
n
R
h
n
Упражнение 4
Диагонали четырехугольника перпендикулярны
и равны 4 см и 5 см. Найдите площадь этого
четырехугольника.
Ответ: 10 см2.
ЗАДАЧА №4
• Постройте треугольник, равновеликий
данному четырехугольнику.
B
C
A
D
Треугольник ABC1искомый
C1
Задание на дом
• 1. Выучить теорию (п. 61 учебника).
• 2. Решить задачи.№3,4,16,20