Transcript Generación de números pseudoaleatorios

SIMULACION DE SISTEMAS DISCRETOS
Generación de números pseudoaleatorios
Mg. Samuel Oporto Díaz
Objetivo de la Sesión
• Exponer los métodos de generación de números aleatorios.
2 /41
Tabla de Contenido
1.
2.
3.
4.
Mapa Conceptual
Generación de Series de Números Aleatorios.
Generadores no congruenciales
Generadores congruenciales
3 /41
Mapa Conceptual del Curso
Colas con
un servidor
Modelado y
Simulación
Proyectos
Simulación
Series de
Nro. Aleato
Validación
de Series
Simulación
X Eventos
Colas en
Serie
Inventarios
Colas en
Paralelo
Generación
de VA
4 /41
Mapa Conceptual
Xi+1=(aXi+c) mod m
Tabla de Nros.
aleatorios
Fenómenos Físicos
Procedimientos
Matemáticos
Números
Aleatorios
Validación de
Series de NA
Variables
U (0,1)
Variables
Aleatorias
5 /41
GENERACIÓN DE SERIES DE
NÚMEROS ALEATORIOS
6 /41
Generación de Números Aleatorios
• Rol preponderante en el proceso de simulación.
• Para simular necesitamos de números aleatorios como
semillas para generar muestras de V.A.
• Características de un generador de nros aleatorios:
• 1) Muestrea valores de Distribución Uniforme.
• 2) Asegura la NO Correlación Serial.
7 /41
Algunas Propiedades de Nros Aleatorios
1. Distribución Uniforme.
Cualquier
número
que
pertenezca al rango de interés
debe
tener
la
misma
probabilidad
de
resultar
sorteado.
2. NO Correlación Serial.
La aparición de un número en
la secuencia, no afecta la
probabilidad de que aparesca
otro (o el mismo) número.
8 /41
Ejemplo
La sucesión 1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5...
es uniforme
pero
está correlacionada.
Existen Tests que verifican las condiciones de uniformidad y
correlación serial, temas que veremos mas adelante.
9 /41
Series de números aleatorios
• No tiene sentido el concepto de “número aleatorios”.
• Se usa el concepto de “serie de números aleatorios”
• “Una sucesión de números es aleatoria si no puede
reproducirse eficientemente mediante un programa más
corto que la propia seria”
• “Una sucesión de números es aleatoria si nadie que utilice
recursos computacionales razonables en tiempo razonable
puede distinguir entre la serie y una sucesión
verdaderamente aleatoria de una forma mejor que tirando
una moneda fiel para decidir cuál es cuál”
Definiciones provenientes de la teoría computacional
Serie de Números Aleatorios
• Son números que deben de cumplir los requisitos de
espacio equiprobable, es decir, que todo elemento tenga la
misma probabilidad de ser elegido y que la elección de uno
no dependa de la elección del otro.
11 /41
Propiedades deseables
1. Uniformemente distribuidos.
2. Estadísticamente independientes (no correlación).
3. Periodo largo (sin repetición).
4. Reproducibles y mutables.
5. Sencillo en su implementación.
6. Portabilidad.
7. Método rápido de generación.
8. Poca memoria para la generación.
12 /41
Mecanismos de generación
• Tablas de números aleatorios
– RAND (1955), 100,000 números aleatorios
(ruido electrónico)
• Fenómenos físicos
– Ruido blanco producido por circuitos
electrónicos
– Recuento de partículas emitidas
– Lanzamiento de monedas
– Rueda de la fortuna
• Procedimientos matemáticos
– Se usa algoritmos para la generación de
números aparentemente aleatorios, se entrega
una semilla y se generan los sucesores
mediante una función
1. Uniformemente
distribuidos.
2. Estadísticamente
independientes.
3. Periodo largo (sin
repetición).
4. Reproducibles y
mutables.
5. Sencillo en su
implementación.
6. Portabilidad.
7. Método rápido de
generación.
8. Poca memoria para
la generación.
13 /41
Generación de Series de # Aleatorios
• Es un proceso fundamental en la simulación.
• ¿Por qué?
• Para simular el comportamiento de variables aleatorias.
– El comportamiento de un sistema depende del comportamiento de sus
variables (variables aleatorias).
• ¿Qué sucede si en un modelo en lugar de usar una
distribución Normal usamos una Poisson?
14 /41
GENERADORES NO
CONGRUENCIALES
15 /41
Método del cuadrado medio
• Fue propuesto inicialmente por Von Newman y Metrópolis
en el año 1946.
• Para generar el siguiente número pseudo-aleatorio, se
toman los n dígitos centrales del cuadrado del número
anterior de n dígitos.
• Se requiere una semilla.
16 /41
Método del cuadrado medio
R(n)2
M.R(n)2
n
R(n)
Val 1
Val 2
0
154
23,716
371
371
0
1
371
137,641
3,764
376
764
2
376
141,376
4,137
413
137
3
413
170,569
7,056
705
056
4
705
497,025
9,702
970
702
5
970
940,900
4,090
409
090
6
409
167,281
6,728
672
728
7
672
451,584
5,158
515
158
8
515
265,225
6,522
652
522
9
652
425,104
2,510
251
510
10
251
63,001
300
300
0
11
300
90,000
0
0
0
12
0
0
0
0
0
17 /41
Análisis
• El problema con este método es que tiende a degenerar
rápidamente. Dependiendo del valor inicial el método
puede degenerar al cabo de ≈20 términos.
• Por ejemplo, supóngase que se quiere generar una serie
de números pseudo-aleatorios de cuatro dígitos y se tiene
como i-ésimo termino generado es 3500, luego se tendrá:
n
R(n)
R(n)2
M.R(n)2
Random 1
Random 2
i
3500
12250000
2500
0
2500
i+1
2500
6250000
2500
0
2500
• Se puede observar que hemos llegado a una condición
degenerada. Por la tanto, es necesario verificar siempre la
serie de números y protegerse contra este fenómeno
18 /41
Método del Producto Medio
• Este método es muy similar al anterior ya que se tomará
como número aleatorio siguiente de la serie, a los n dígitos
centrales del resultado de una multiplicación previa.
• Se requiere dos semillas.
19 /41
Método del Producto Medio
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
R(n)
151
155
340
270
180
860
548
712
901
415
739
668
936
252
358
21
51
7
5
R(n+1)
155
340
270
180
860
548
712
901
415
739
668
936
252
358
21
51
7
5
0
R(n)2
23,405
52,700
91,800
48,600
154,800
471,280
390,176
641,512
373,915
306,685
493,652
625,248
235,872
90,216
7,518
1,071
357
35
0
M.R(n)2
340
270
180
860
5,480
7,128
9,017
4,151
7,391
668
9,365
2,524
3,587
21
51
7
5
0
0
Val 1
340
270
180
860
548
712
901
415
739
668
936
252
358
21
51
7
5
0
0
Val 2
0
0
0
0
480
128
017
151
391
0
365
524
587
0
0
0
0
0
0
Análisis
• Una modificación para este método consiste en utilizar un
multiplicador constante, en lugar de dos números
aleatorios como se muestra a continuación:
Rn+1 = K * Rn
• Estos métodos son similares al cuadrado medio.
• Sin embargo los dos tienen periodos más extensos y los
números parecen estar distribuidos uniformemente.
• Este método tiende a degenerar a un valor constante.
• Tanto el método de cuadrados medios como el de
producto medio tienen un periodo corto para la cantidad de
números aleatorios que vamos a necesitaremos generar
en cada uno de nuestros Modelos.
21 /41
GENERADORES
CONGRUENCIALES
22 /41
Generadores Congruenciales
• Congruencial Lineal (Mixto).
• Congruencial Multiplicativo.
23 /41
Método Congruencial Lineal (MCL)
• Los generadores congruenciales lineales generan una
serie de números pseudo - aleatorios de tal forma que se
puede generar el siguiente a partir del ultimo número
derivado, es decir, que el número Xn+1 es generado a
partir de Xn.
• La relación de recurrencia para el método congruencial
mixto es:
Xn+1 = (aXn + c) mod m
Donde:
X0
a
c
m
= semilla (X0 >0)
= multiplicador (a >0)
= constante aditiva (c >0)
= módulo (m >X0, m >a y m>c)
24 /41
Método Congruencial Lineal (MCL)
• Si se quiere obtener números Uniformes (0,1)
normaliza el resultado:
Un = Xn /
se
m
• En el MCL, si se repite un número ya se repite toda la
secuencia.
• Ventajas:
1. utiliza poca memoria y es muy rápido.
2. fácil de volver a generar la misma secuencia, guardando un solo
número, (se alcanza con partir desde la misma semilla: X0).
25 /41
Ejemplo
a
c
m
1
7
13
n
X (n )
a *X (n )+ c
[a *X (n )+ c ] m o d m
0
7
14
1
1
1
8
8
2
8
15
2
3
2
9
9
4
9
16
3
5
3
10
10
6
10
17
4
7
4
11
11
8
11
18
5
9
5
12
12
10
12
19
6
11
6
13
0
12
0
7
7
13
7
14
1
14
1
8
8
15
8
15
2
26 /41
Análisis
• Si no se escogen los valores adecuados de los
parámetros el período del generador de números
pseudo – aleatorios, será menor que m.
• En la Tabla A se muestra los valores obtenidos para un
generador con parámetros: a = 7, c = 9, X0 = 5 y m = 11.
Como puede apreciarse en la tabla el período del
generador es 10 que es menor que el módulo que es 11.
• Si bien este caso no es crítico si lo es el que se presenta
en la Tabla B donde los parámetros toman los valores
de a = X0 = c = 7 y m=10 cuyo período es de 4, que es
un caso muy critico que nos puede llevar a resultados
no deseables y poco confiables
27 /41
Tabla A
a
c
m
7
9
11
n
X (n )
a *X (n )+ c
[a *X (n )+ c] m o d m
0
5
44
0
1
0
9
9
2
9
72
6
3
6
51
7
4
7
58
3
5
3
30
8
6
8
65
10
7
10
79
2
8
2
23
1
9
1
16
5
10
5
44
0
28 /41
Tabla B
a
c
m
7
7
10
n
X (n )
a *X (n )+ c
[a *X (n )+ c] m o d m
0
7
56
6
1
6
49
9
2
9
70
0
3
0
7
7
4
7
56
6
5
6
49
9
6
9
70
0
29 /41
Selección de m, a, c, X0
a) Selección de módulo (m). Existen dos opciones que son
las siguientes:
a.1) Escoger al azar el módulo m.
a.2) Tomar m de tal manera que sea el número primo más
grande posible y además que sea menor que pd-1, donde
p es la base del sistema que se esta usando y d es el
número de bits que tiene una palabra de computadora en
el sistema que se esta usando.
Por ejemplo una computadora XT que trabaja en el
sistema binario entonces se tiene que p = 2 y d = 16.
30 /41
Selección de m, a, c, X0
b) Selección de a.
• El valor de a debe ser un número entero impar, que no
deberá ser divisible por 3 ó 5. Pero además, para
asegurarnos que el generador tenga período completo, el
valor que se tome para a deberá escogerse según el
siguiente criterio:
(a-1) mod 4 = 0 si 4 es un factor de m.
(a-1) mod b = 0 si b es un factor primo de m.
• Generalmente se toma a igual a 2k + 1 cuando se trabaja
en el sistema binario. En ambos casos el valor que se
asigne a k deberá ser mayor o igual que 2.
31 /41
Selección de m, a, c, X0
c) Selección de c.
• Este parámetro puede tomar cualquier valor. Pero para
asegurarnos de tener buenos resultados se deberá
seleccionar según la siguiente regla:
c mod 8 = 5
• En consecuencia c deberá tomar un valor entero impar y
relativamente primo a m.
32 /41
Selección de m, a, c, X0
d) Selección de X0
• Se tiene que para el generador congruencial el valor que
tome X0 es irrelevante y tiene poca o ninguna influencia
sobre las propiedades estadísticas de las series de
números pseudo - aleatorios que se generen.
33 /41
Método Congruencial Lineal (MCL)
• Para terminar esta parte se debe señalar que existen otras
formas matemáticas de representar este generador, que
son las siguientes:
Xn = [anX0 + c{(an - 1)/(a - 1)}] mod m
Xn+k =[anXk + c{(an - 1)/(a - 1)}] mod m
34 /41
Método Congruencial Multiplicativo
• En forma semejante al método anterior el generador
congruencial multiplicativo genera el próximo número
pseudo - aleatorio a partir del último número calculado,
siguiendo la siguiente relación de recurrencia:
Xn+1 = aXnmod m
• Para este generador también se deben escoger
adecuadamente los valores de a, X0, y m, con la finalidad
de que se pueda asegurar un período máximo para la
series pseudo - aleatorias generadas por este método. A
continuación se dan las reglas que indican como se deben
escoger estos valores.
35 /41
Selección de m, a, X0
• Para trabajar en el sistema binario los valores de los
parámetros deberán escogerse siguiendo las siguientes
reglas:
– El valor de X0 debe ser un número entero impar y relativamente
primo a m.
– El valor de a debe ser obtenido a partir de la siguiente expresión:
a = 8t ± 3
Donde t es cualquier entero.
– El valor de m puede ser 2d .
• Si m = 2d el período del generador es 2d-2 ó m/4.
• A modo de ejemplo se obtendremos el período de un
generador cuyos parámetros son: a = 5, X0 = 5 y m = 32.
En la siguiente tabla se muestra los elementos que
componen la serie generada cuyo período es de 8
36 /41
Tabla C
a
5
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
X(n)
5
25
29
17
21
9
13
1
5
25
29
m
32
[a*X(n)] mod m
a*X(n)
25
125
145
85
105
45
65
5
25
125
145
25
29
17
21
9
13
1
5
25
29
17
37 /41
Tabla D
Parámetros
Caso
a
b
m
xo
1
6
0
13
1
2
7
0
13
10
3
5
0
13
5
4
7
0
11
5
5
6
0
11
3
Caso
Salidas
1
6
10
8
9
2
12
7
3
5
4
11
1
6
10
2
5
9
11
12
6
3
8
4
2
1
7
10
5
9
3
12
8
1
5
12
8
1
5
12
8
1
5
12
8
4
2
3
10
4
6
9
8
1
7
5
2
3
10
4
5
7
9
10
5
8
4
2
1
6
3
7
9
10
4
38 /41
Streams - Torrentes
• Un generador de números aleatorios que comience con la
misma semilla, siempre producirá la misma torrente o
secuencia de números.
• Diferentes semillas generarán diferentes secuencias. Si las
semillas se eligen con valores no cercanos (en el ciclo del
generador), entonces las secuencias de números
generados (torrentes) parecerán y actuarán como números
aleatorios independientes entre sí con lo que colaborarán
en la generación de v.a. Independientes entre sí.
39 /41
Tarea 5
• Implementar en Excel estos 4 generadores y probar los
métodos de selección.
40 /41
PREGUNTAS
41 /41