Transcript Aljabar Linear-11

Aljabar Linear
Pertemuan 11
Matrik III dan Determinan
Erna Sri Hartatik
Sub Bahasan
Determinan
• Reduksi baris
• Perluasan kofaktor
Eigen value dan eigen vektor
Reduksi baris
• Metode ini penting untuk menghindari
perhitungan panjang yang terlibat dalam
penerapan definisi determinan secara
langsung.
Contoh:
Hitung det(A) dimana A =
0
1
5
3
6
9
2
6
1
6
9
Baris I ditukar dengan baris II ( H21), sehingga menjadi = - 0
1
5
2
6
1
H32(-10)

3
=-3
= -3
1
2
3
0
1
5
2
6
1
1
2
3
1
0
1
5
0
0
 55

H31(-2)
=
-3
1
2
3
0
1
5
0
10
5
2
3
= (-3) (-55) 0
1
5
0
0
1
= (-3) (-55) (1) = 165

Minor & Perluasan Kofaktor
•
• Cara cepat untuk menentukan apakah
penggunaan tanda + atau tanda – merupakan
penggunaan tanda yang menghubungkan Cij
dan Mij berada dalam baris ke – i dan kolom
ke – j dari susunan :








.

 ..




















..
..
..
..
.. 

..

.. 

.. 
.. 

.. 

Misalnya C11 = M11, C21 = -M21 , C44 = M44, C23 = -M23
Determinan matrik A yang berukuran n x n dapat
dihitung dengan mengalikan elemen – elemen
dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor –
kofaktornya dan menambahkan hasil kali – hasil
kali yang dihasilkan,
yaitu setiap 1  i  n dan 1  j  n , maka
det(A) = a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj
(ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke – j)
Dan
det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + …
+ ainCin
(ekspansi kofaktor sepanjang baris ke – i)
Contoh:
Hitung Det(A) bila A =
 3

2

 5
1
4
4
0 

3

 2 
Dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama
=3
4
3
4
2
-1
2
3
5
2
= (3)(-4) – (1)(-11)
= -12 + 11
= -1
+0
2
4
5
4
Eigen value & Eigen vektor
Jika A adalah matrik n x n, maka vektor tak
nol x di dalam Rn dinamakan vektor eigen
dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x,
yaitu,
Ax = x
Untuk suatu skalar .
Skalar  disebut nilai eigen dari A dan
x dikatakan vektor eigen yang bersesuaian
dengan .
Vektor x
1 
= 
2
3
adalah vektor eigen dari A = 
8
0 

 1
Yang bersesuaian dengan nilai  = 3 karena
3
Ax = 
8
0 

 1
1 
3
1 
  =   = 3 
2
6 
2
Untuk mencari nilai eigen matrik A yang berukuran n x n
maka kita menuliskannya kembali Ax = x sebagai
Ax = Ix
 (I – A)x = 0
Dan persamaan di atas akan mempunyai penyelesaian
jika
det(I – A)=0
persamaan karakteristik A.
Contoh
 3
Carilah nilai – nilai eigen dari A = 
 1
2

0
Jawab :
Karena
1
I – A =  
0
Det(I – A)
0
 3
 - 
1
 1
2
  3
 = 
0
 1
 2

 
= (-3)  - (-2) = 0
= 2 - 3 + 2 = 0
1 = 2, 2 = 1
Jadi nilai – nilai eigen dari A adalah 1 = 2 dan 2 = 1
latihan
1. Tentukan niai invers dengan menggunakan reduksi baris
 4
dari A =   2

  2
0
1
0
1

0

1 
2. Tentukan niai invers dengan menggunakan
perluasan kofaktor kemudian tentukan nilai eigennya
A=
10

4
 9

 2