Transcript 11_Eigen

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
BUDI DARMA SETIAWAN
EIGEN
•
•
•
•
•
Eigen  bahasa jerman
Eigen = asli = proper
Nilai eigen = nilai asli = proper value
Nilai eigen = nilai karakteristik
Nilai eigen = akar laten
DEFINISI
• Jika A adalah sebuah matriks n x n, maka
sebuah vektor yang tak nol x di dalam Rn
dinamakan vektor eigen dari A jika Ax adalah
kelipatan skalar dari x, yaitu:
Ax = λx
untuk suatu skalar λ.
Skalar λ dinamakan nilai eigen dari A dan x
dikatakan sebuah vektor eigen yang
bersesuaian dengan A
CONTOH
• Vektor
matriks
adalah vektor eigen dari
yang bersesuaian dengan nilai eigen λ = 3,
karena
NILAI EIGEN
• Diketahui bahwa
• Bentuk implisit
• Difaktorkan
<=>
NILAI EIGEN
• Jika A adalah matriks
maka:
sehingga
PERSAMAAN LINIER HOMOGEN
NILAI EIGEN
• Menurut definisi, vektor eigen adalah vektor
tak nol
• Sehingga agar (x,y) memiliki solusi, maka
det(λI-A) = 0  persamaan karakteristik
CONTOH I
• Carilah nilai eigen dari
Gunakan persamaan karakteristik!
SOAL I
• Carilah nilai eigen dari
VEKTOR EIGEN
• Vektor eigen yang bersesuaian dengan λ
adalah vektor tak nol dalam ruang pemecahan
dari SPL homogen (λI - A)x = 0
• Ruang pemecahan dari SPL homogen tersebut
disebut dengan ruang eigen dari A yang
bersesuaian dengan x
CONTOH II
• Carilah vektor eigen dari contoh I
SOAL
• Cari vektor eigen dari matriks berikut
DIAGONALISASI
• Definisi:
Matriks A (matriks bujur sangkar) dapat
didiagonalisasi jika ada sebuah matriks P yang
mempunyai invers sehingga P-1AP
menghasilkan matriks diagonal
LANGKAH-LANGKAH DIAGONALISASI
1. Tentukan n eigen vektor yang bebas linier dari
matriks A. beri nama P1, P2, P3,….
2. Bentuklah matriks P, dimana, P1, P2, P3, … Pn
merupakan kolom 1, 2, 3, …n (sebagai vektor
kolom)
3. Hitung P-1
4. P-1AP akan membentuk matriks diagonal dengan
λ1, λ2, λ3,.. λn sebagai nilai pada diagonal
utama. Dimana λ1, λ2, λ3,.. λ n merupakan nilai
eigen yang bersesuaian dengan P1, P2, P3,…Pn
CONTOH
• Diagonalkan matriks berikut
• Langkah:
– Cari eigen vektor  jadikan vektor kolom
– Cari inversnya
– Hitung P-1AP
TERIMA KASIH