Transcript Предел последовательности

Предел
последовательности
План
Историческая справка
Об интуитивном понятии «предел последовательности»
Формулировка математического определения
Парадокс «»Ахиллес и черепаха»
Историческая справка
1 
1
2

1
4
 ....
V-?
(около 429 – 347 гг. до
н.э)
d is p .htm l?
V1
V2
V3
V4
1  4  6  16  ..  n
n  ( n  1) ( 2  n  1)
6
n
3
2
Евклид
Через пол века открытия
Евдокса попали в книгу
«Начала»
Архимед Сиракузский
Через 100 лет после Евклида научился
строго вычислять объемы не только
пирамид и конусов, но также шара и
его частей – все это с помощью
предельного перехода
Иоганн Кеплер
Исаак Ньютон
В 17 веке перенесли понятие предела с числовых
последовательностей на числовые функции и их графики
Первый строгий и
понятный учебник по
теории пределов появился
в начале 19 века в Париже
В Париже О.Л Коши прочел
для студентов института
лекцию по этой книге
В России производные и
интегралы стали общим
достоянием школьников в
1970-е годы, благодаря
усилиям А. Н Колмогоров
Понятие « Предел
последовательности» является
формализацией интуитивного
понятия «стремления»,
«неограниченного приближения»
5
4
3
2 1
12 3 4
1
2
3
4
5
5
1
2
3
4
5
1м
1/2
1/3
……..
1/n
В этой модели процесс описывается с помощью
бесконечной последовательности чисел
1 1 1
1   
2 3 n
Причем с увеличением номера n дробь
1
n
уменьшается приближаясь к нулю
Говорят , что число 0 является пределом
последовательности 1
n
При n стремящемся к бесконечности и
записывают
lim
n 
1
n
 0
1  3  5  7  9  2  n  1
(Х n) :
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ (Х n)
РАССХОДИТСЯ
(Y n) :
1 1 1 1
1     
2 3 4 5
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ (Y n) СХОДИТСЯ
Определение 1
Пусть а- точка прямой, а r- положительное число.
Интервал (a-r; a+r) называют окрестностью точки а, а число
r – радиусом окрестности
Пример
1. (5,98;6,02) – окрестность точки 6 и радиусом r=0,02
2. (2,36;3,64) – окрестность точки 3 и радиусом r=0,64
Определение 2
Число b называют Пределом
Последовательности (Y n) , если в
любой заранее выбранной
окрестности точки b содержаться
все члены последовательности,
начиная с некоторого номера
Получившиеся точки образуют последовательность:
S1 =100, S2 =100+10=110, S3 =100+10+1=111,
S4 =100+10+1+0.1=111.1 и т.д
они скапливаются около точки, координатой
которой является периодическая дробь
S=100+10+1+0,1+…+..=111,(1)=111 1/9 – это
число является пределом последовательности S1
, S2, S3 , S4 ,…