Transcript Bab 13A Statistik terapan, Universitas Tarumanagara

Bab 13A
Nonparametrik: Data Peringkat I
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bab 13A
NONPARAMETRIK: DATA PERINGKAT I
A. Pendahuluan
1. Data Statistika
• Statistika nonparametrik ini menggunakan peringkat sebagai data
• Dalam hal ini, data diurut ke dalam peringkat, baik peringkat naik
maupun peringkat turun
• Peringkat dinyatakan dalam bentuk urutan dengan aturan tertentu
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Peringkat pada Data
• Ada dua macam peringkat yakni peringkat naik dan peringkat turun
• Peringkat naik beranjak dari data terkecil menaik ke data terbesar
• Peringkat turun beranjak dari data terbesar menurun ke data terkecil
• Setiap data diberi angka urutan dan angka urutan itu merupakan data peringkat
• Ada kalanya ada data yang sama besar sehingga mereka menduduki peringkat
sama
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Tanpa Peringkat Sama
Pemberian peringkat pada data yang tidak memiliki peringkat sama
Contoh 1
Data
13
19
23
Urutan Peringkat
Data
Naik
11
1
13
2
15
3
17
4
18
5
19
6
23
7
15
17
11
18
Urutan Peringkat
Data Turun
23
1
19
2
18
3
17
4
15
5
13
6
11
7
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 2 (dikerjakan di kelas)
Susunlah dalam peringkat naik dan turun data berikut ini
75 81 65 72 69 77 66 79
Contoh 3
Susunlah dalam peringkat naik dan turun data berikut ini
(a) 3,52 2,34 3,71 2,75 2,96 3,38 2,88 2,53 2,99 3,05 3,41 2,48 3,32
(b) 175 189 201 193 182 196 179 195 188 190 177
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Dengan Peringkat Sama
Pemberian peringkat pada data yang mengandung data sama
Data sama diberi peringkat sama yang merupakan rerata di antara mereka
Cara pemberian peringkat
•
•
•
•
Data disusun dalam urutan naik atau turun
Secara berurut, data diberi peringkat
Peringkat pada data sama direratakan
Data sama itu kemudian diberikan peringkat rerata itu
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------• Misalnya
Data
5
5
5
Peringkat
sementara
1
2
3
Peringkat
tetap
2
2
2
Rerata dari peringkat 1, 2, dan 3 adalah 2
Mereka semuanya diberi peringkat 2
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 4
Menyusun dalam peringkat naik dan turun, data sebagai berikut
6, 7, 2, 6, 5, 5, 7, 5, 4, 7, 3, 8
Urutan
data
2
3
4
5
5
5
6
6
7
7
7
8
Peringkat naik
sem tetap
1
1
2
2
3
3
4
5
5
5
6
5
7
7,5
8
7,5
9
10
10
10
11
10
12
12
Urutan Peringkat turun
data sem tetap
8
1
1
7
2
3
7
3
3
7
4
3
6
5
5,5
6
6
5,5
5
7
8
5
8
8
5
9
8
4
10
10
3
11
11
2
12
12
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 5 (dikerjakan di kelas)
Susunlah ke dalam peringkat data berikut ini
20 11 25 20 14 22 16 20 14 18 17 18 14 18 20
Contoh 6
Susunlah ke dalam peringkat data berikut ini
(a) 3,00 2,63 2,75 2,12 2,75 3,00 2,90 2,63 2,75 3,24 2,75 2,52
(b) 525 420 540 510 414 480 500 420 525 510 485 550
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------B. Korelasi Spearman
1. Pendahuluan
• Data peringkat dapat digunakan untuk menghitung koefisien korelasi
Spearman
• Dasar dari koefisien korelasi Spearman adalah selisih peringkat di antara
pasangan data
• Apabila terdapat peringkat sama, maka terdapat rumus koreksi dalam
perhitungan koefisien korelasi Spearman
• Pegujian hipotesis juga mengenal sampel besar dan sampel kecil
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Jenis Koefisien Korelasi Spearman
Koefisien korelasi
• Tanpa peringkat sama
• Ada peringkat sama (ada koreksi)
Pengujian hipotesis
• Uji pada sampel besar (n > 30)
• Uji pada sampel kecil (n  30)
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Koefisien Korelasi Tanpa Peringkat Sama
Rumus umum koefisien korelasi Spearman tanpa peringkat sama
Data X dan Y dinyatakan dalam peringkat masing-masing
Selisih peringkat adalah d = X  Y
X1
X2
X3
.
.
Xi
Y1
Y2
Y3
.
.
Yi
.
.
.
.
Xn
Yn
d1 d21
d2 d22
d3 d23
.
.
.
.
di d2 i
.
dn
.
d2
n
6 d i
2
Populasi
s  1
n n
3
6 d i
2
Sampel
.
.
Koefisien korelasi
Spearman
rs  1 
n n
3
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 7
Koefisien korelasi Spearman untuk sampel data
X 34 33 31 35 32 36
Y 43 45 42 46 41 44
Data
Peringkat d
X Y
X
Y
31 42
1
2 –1
32 41
2
1
1
33 45
3
5 –2
34 43
4
3
1
35 46
5
6 –1
36 44
6
4
2
n=6
Jumlah
d2
1
1
4
1
1
4
12
rs  1 
6 d
2
n n
3
 1
( 6 )( 12 )
210
 0 , 657
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 8 (dikerjakan di kelas)
Hitunglah koefisien korelasi Spearman untuk sampel data berikut
X 30 17 35 28 42 25 19 29
Y 35 31 43 46 50 32 33 42
Contoh 9
Hitunglah koefisien korelasi Spearman untuk sampel data berikut
(a)
X 6,3 5,8 6,1 6,9 3,4 1,8 9,4 4,7 7,2 2,4
Y 5,3 8,6 4,7 4,2 4,9 6,1 5,1 6,3 6,8 5,2
(b)
X 5,0 8,0 2,0 4,0 3,0 7,0 1,0 6,0
Y 1,0 6,0 4,5 2,0 7,0 8,0 4,0 3,0
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 10
Hitunglah koefisien korelasi Spearman untuk sampel data berikut
(a) X 64 63 61 65 62 66
Y 23 25 22 26 21 24
(b) X 3 2 5 9 1 10 8 4 7 6
Y 4 1 6 7 3 10 9 2 5 8
(c) X 82 98 87 40 116 113 111 83 85 126 106 117
Y 42 46 39 37 65 88 86 56 62 92 54 81
(d) X 5,0 8,0 2,0 4,0 3,0 7,0 1,0 6,0
Y 1,0 6,0 4,5 2,0 7,0 8,0 4,0 3,0
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Koefisien Korelasi Dengan Peringkat Sama
Banyaknya data dalam satu peringkat sama dinyatakan sebagai t
Koreksi peringkat sama menjadi
t t
3
T 
12

sehingga melalui koreksi
n n
3
X
Y
2

rS 
2
2
Y d
 X Y

2
2
2
2
T
n n

T
3
2

12
Koefisien korelasi Spearman untuk sampel menjadi
X

12
X
Y
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 11
Pasangan data adalah
X
0
0
1
1
3
4
5
6
7
8
8
12
Y
42
46
39
37
65
88
86
56
62
92
56
41
Data
X
Y
0 42
0 46
1 39
1 37
3 65
4 88
5 86
6 56
7 62
8 92
8 56
12 41
Peringkat
X
Y
1,5
3
1,5 4
3,5 2
3,5 1
5
8
6
11
7
10
8
6
9
7
10,5 12
10,5
5
12
9
d
d2
 1,5
2,25
 2,5
6,25
1,5
2,25
2,5
6,25
3
9
5
25
3
9
2
4
2
4
 1,5
2,25
5,5 30,25
3
9
 d2 = 109,50
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Koreksi peringkat sama terdapat hanya pada X
Peringkat
1,5
3,5
10,5
t3 T =
8
8
8
Σ TX =
t
2
2
2
(t3 – t) / 12
0,5
0,5
0,5
1,5
sehingga

n n
3
X
Y
2


12
n n
3
2


12
T
T
12  12
3

X
 1, 5  141 , 5
12
12  12
3
Y

 0  143
12
dan koefisien korelasi Spearman untuk sampel
rs 

X
2
2
Y d
 X Y

2
2
2
2

141 , 5  143  109 , 50
2 (141 , 5 )( 143 )
 0 , 615
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 12 (dikerjakan di kelas)
Hitunglah koefisien korelasi Spearman untuk sampel data berikut
X 7 18 17 4 21 27 20 14 15 10
Y 5 2 4 4 3 2 4 5 4 6
Contoh 13
Hitunglah koefisien korelasi Spearman untuk sampel data berikut
(a) X 60 37 30 20 24 42 39 54 48 58 26
Y 2 7 6 9 7 4 8 2 4 3 8
(b) X 4 3 4 3 6 7 1 5 5 2
Y 4 2 6 5 7 9 1 8 10 3
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 14
Hitunglah koefisien korelasi Spearman untuk sampel data berikut
(a) X 4 3
4
3 6 7
1 5 5 2
Y 3,4 3,2 3,5 3,0 2,9 3,4 2,5 3,9 3,6 3,0
(b) X 6 6 6 6 6 7 9 10 10 10 11 12 15 15 18 23
Y 23 46 46 47 94 80 133 81 114 274 260 378 197 234 1035 1065
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------C. Pengujian Hipotesis Korelasi Spearman
1. Pendahuluan
• Pengujian hipotesis dilakukan terhadap koefisien korelasi Spearman
• Pengujian hipotesis dapat berbentuk s > 0, s < 0, atau s ≠ 0
• Distribusi probabilitas pensampelan bergantung kepada ukuran sampel
• Pada urukan sampel besar (n > 30), distribusi probabilitas pensampelan
berbentuk t-Student
• Pada ukuran sampel kecil (n  30), disediakan tabel nilai kritis khusus untuk
taraf signifikansi tertentu
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
-----------------------------------------------------------------------------------------------------2. Pengujian hipotesis
Pada sampel besar (n > 30) pengujian hipotesis terjadi pada
DPP : DP t-Student dengan kekeliruan baku
derajat kebebasan
1  rs
2
r 
n2
=n–2
Pada sampel kecil (n  30) pengujian hipotesis menggunakan
Tabel khusus
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Uji Hipotesis pada Sampel Besar
• Bentuk hipotesis
H0 : s = 0
H1 : s > 0
s < 0
s ≠ 0
• Distribusi probabilitas pensampelan
Distribusi probabilitas t-Student dengan statistik uji t dan derajat
kebebasan 
t 
rs   s
r

rs   s
1 r
2
s
n2
=n2
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 15
Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah koefisien korelasi peringkat Spearman
adalah positif, jika sampel menjukkan
n = 40 rs = 0,42
• Hipotesis
H0 : s = 0
H1 : s > 0
• Sampel
n = 40 rs = 0,42
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------• Distribusi probabilitas pensampelan
Distribusi probabilitas t-Student
Derajat kebebasan  = n  2 = 40  2 = 38
• Statistik uji
t
• Kriteria pengujian
rs   s
1 r

0 , 42  0
2
s
1  0 , 42
n2
40  2
 2 ,85
2
Taraf signifikansi 0,05
Pengujian ujung atas
Nilai kritis t(0,95)(38) = 1,686
Tolak H0 jika t > 1,686
Terima H0 jika t  1,686
• Keputusan
Pada taraf sifnifikansi 0,05, tolak H0
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 16
Pada taraf sifnifikansi 0,05, uji apakah koefisien korelasi peringkat Spearman negatif jika
sampel acak menunjukkan
n = 35
rs =  0,30
• Hipotesis
H0 : s = 0
H1 : s < 0
• Sampel
n = 35
rs =  0,30
• Distribusi probabilitas pensampelan
Distribusi probabilitas t-Student
Derajat kebebasan  = n  2
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------• Statistik uji
t  rs
n2
1 r
2
s
  0 ,30
35  2
1  (  0 ,30 )
 = n  2 = 35  2 = 33
• Kriteria pengujian
Taraf signifikansi 0,05
Pengujian ujung bawah
Nilai kritis t(0,05)(33) =  1,692
Tolak H0 jika t <  1,692
Terima H0 jika t   1,692
• Keputusan
Pada taraf signifikansi 0,05 tolak H0
2
  1,81
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 17
Pada taraf sifnifikansi 0,05, uji apakah koefisien korelasi peringkat Spearman tidak
sama dengan nol jika sampel acak menunjukkan
n = 50
rs = 0,25
▪ Distribusi probabilitas pensampelan
• Hipotesis
H0 : s = 0
H1 : s ≠ 0
• Sampel
n = 50
rs = 0,25
Distribusi probabilitas t-Student
Derajat kebebasan  = n  2
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------• Statistik uji
t  rs
n2
1  rs
2
 0 , 25
50  2
1  ( 0 , 25 )
2
 1, 788
 = n  2 = 50  2 = 48
• Kriteria pengujian
Taraf signifikansi 0,05
Pengujian dua ujung
Nilai kritis t(0,025)(48) =  2,011
t(0,975)(48) = 2,011
Tolak H0 jika t <  2,011 atau t > 2,011
Terima H0 jika  2,011  t  2,011
• Keputusan
Pada taraf signifikansi 0,05 terima H0
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 13
Pada taraf signifikansi 0,05, uji s > 0 untuk sampel acak
n = 36
rs = 0,37
Contoh 14
Pada taraf signifikansi 0,05, uji s > 0 untuk sampel acak
(a) n = 90
(b) n = 55
(c) n = 65
rs = 0,15
rs = 0,77
rs = 0,49
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 15
Pada taraf signifikansi 0,05, uji s > 0 untuk sampel acak
(a)
(b)
(c)
(d)
n = 38
n = 66
n = 76
n = 45
rs =  0,41
rs =  0,29
rs =  0,19
rs =  0,33
Contoh 16
Pada taraf signifikansi 0,05, uji s ≠ 0 untuk sampel acak
(a)
(b)
(c)
(d)
n
n
n
n
=
=
=
=
48
62
28
44
rs = 0,34
rs =  0,26
rs = 0,17
rs =  0,24
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Uji Hipotesis pada Sampel Kecil
• Sampel adalah kecil jika 4  n  30
• Pengujian hipotesis dilakukan dengan membandingkan rs dengan tabel khusus
nilai kritis yang mencakup nilai pada taraf signifikansi 0,01 dan 0,05
• Kriteria pengujian untuk korelasi positif
Tolak H0 jika rs > rtabel
Terima H0 jika rs  rtabel
• Kriteria pengujian untuk korelasi negatif
Tolak H0 jika rs <  rtabel
Terima H0 jika rs   rtabel
• Kriteria pengujian untuk korelasi ≠ 0, disesuaikan dengan taraf signifikansi 2
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Tabel Nilai Kritis untuk Koefisien Korelasi Peringkat Spearman
n
4
5
6
7
8
9
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
 = 0,05
1,000
0,900
0,829
0,714
0,643
0,600
0,564
0,506
0,456
0,425
0,399
0,377
0,359
0,343
0,329
0,317
0,306
 = 0,01
1,000
0,943
0,893
0,833
0,783
0,746
0,712
0,645
0,601
0,564
0,534
0,508
0,485
0,465
0,448
0,432
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 17
Dari contoh 7 dengan n = 6 dan rs = 0,657 apabila diuji pada  = 0,05 untuk s >
0, diperoleh
▪ Kriteria pengujian
• Hipotesis
H0 : s = 0
H1 : s > 0
• Sampel
n=6
Taraf signifikansi 0,05, r(0,05)(6) = 0,829
Tolak H0 jika rs > 0,829
Terima H0 jika rs  0,829
rs = 0,657
▪ Keputusan
Pada taraf signifikansi 0,05 terima H0
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 18 (dikerjakan di kelas)
Pada taraf signifikansi 0,05, uji hipotesis bahwa s > 0 untuk sampel
X 30 17 35 28 42 25 19 29
Y 35 31 43 46 50 32 33 42
Contoh 19
Pada taraf signifikansi 0,02, uji hipotesis bahwa s  0 untuk sampel
(a)
X 6,3 5,8 6,1 6,9 3,4 1,8 9,4 4,7 7,2 2,4
Y 5,3 8,6 4,7 4,2 4,9 6,1 5,1 6,3 6,8 5,2
(b)
X 5,0 8,0 2,0 4,0 3,0 7,0 1,0 6,0
Y 1,0 6,0 4,5 2,0 7,0 8,0 4,0 3,0
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 20
Pada taraf signifikansi 0,05, uji hipotesis bahwa s < 0 untuk sampel
(a) X 7 18 17 4 21 27 20 14 15 10
Y 5 2 4 4 3 2 4 5 4 6
(b) X 60 37 30 20 24 42 39 54 48 58 26
Y 2 7 6 9 7 4 8 2 4 3 8
(b) X 4 3 4 3 6 7 1 5 5 2
Y 4 2 6 5 7 9 1 8 10 3
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------D. Koefisien Korelasi Peringkat Kendall
1. Pendahuluan
• Korelasi dilakukan terhadap peringkat nilai yang diberikan oleh dua penilai,
misalkan, penilai X dan penilai Y
• Salah satu nilai, misalnya, dari X disusun dalam urutan peringkat naik; nilai
lainnya mengikutinya
• Peringkat pada setiap nilai dari satu penilai diperbandingkan secara
berpasangan; jika urutan adalah naik diberi +1 dan jika urutan adalah turun
diberi  1
Peringkat 1 2 (naik) + 1 (konkordansi)
Peringkat 4 1 (turun)  1 (diskordansi)
• Semua data perlu diubah menjadi peringkat
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Perhitungan Urutan
Untuk penilai X, perbandingan berpasangan
1
Obyek
Peringkat X
Urutan
a
1
b
2
c d
3 4
Urutan 1  2 (naik) +1
Urutan 1  3 (naik) +1
Urutan 1  4 (naik) +1
Urutan 2  3 (naik) +1
Urutan 2  4 (naik) +1
Urutan 3  4 (naik) +1
Jumlah sX = +6
+3
+2
+1
+6
Dengan rumus s = ½ n (n  1)
2
3
4
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Untuk penilai Y, perbandingan berpasangan
Obyek
Peringkat Y
Urutan
a
2
b
4
c d
3 1
Urutan 2  4 (naik) +1
Urutan 2  3 (naik) +1
Urutan 2  1 (turun) 1
Urutan 4  3 (turun) 1
Urutan 4  1 (turun) 1
Urutan 3  1 (turun) 1
Jumlah sY = 2
2
+1
2
1
2
4
3
1
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Prosedur umum
• Salah satu data, misalnya X, diurut naik
• Data lainnya, misalnya Y, mengikuti pasangannya
• Pada Y terdapat
Urut naik disebut konkordansi  + 1
Jumlah konkordansi = nk
Urut turun disebut diskordansi  – 1
Jumlah diskordansi = nd
Peringkat sama  0
• Pada Y terdapat s dengan
s = nk – n d
 = (nk – nd)/ [½ n (n – 1)]
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Koefisien korelasi Kendall Tanpa Peringkat Sama
Contoh 21
Obyek
Peringkat X
Peringkat Y
a b c d
1 2 3 4
2 4 3 1
sX = 6
sY =  2
Rumus koefisien korelasi  Kendall adalah
 s = sY / sX
Jika nilai dari penilai X disusun dalam peringkat naik maka
sX = ½ n (n  1) = ½ (4)(4 – 1) = 6
Melalui perbandingan berpasangan, dengan +1 untuk naik dan  1 untuk turun,
sY dihitung dari sampel yang ada
Pada contoh di atas s =  2 / 6 =  0,33
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 22
Penilai X dan Y menilai 6 obyek. Hasil penilaian disusun dalam pereingkat adalah
Obyek
Peringkat X
Peringkat Y
a b c d e f
1 2 3 4 5 6
6 4 2 1 3 5
Urutan pada peringkat X
sX = ½ n (n  1) = (½)(6)(5) = 15
Urutan pada peringkat Y (konkordansi – diskordansi)
sY = (0 – 5) + (1 – 3) + (2 – 1) + (2 – 0) +(1 – 0) =  3
Koefisien korelasi Kendall
s =  3 / 15 =  0,20
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dapat juga dihitung dengan cara berikut
Pering- Pering- Konkor- Diskorkat X
kat Y
dansi
dansi
1
6
0
5
2
4
1
3
3
2
2
1
4
1
2
0
5
3
1
0
6
5
5
9
nk = 5
 = s / [ ½ n (n – 1)] = – 3 / [ ½ (6)(6 – 1)] = – 0,20
nd = 9
s = n k – nd = – 3
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 23 (dikerjakan di kelas)
Penilai X dan Y menilai enam obyek sebagai berikut
Obyek
Penilai X
Penilai Y
a b c d e f
4 3 1 5 2 6
3 5 2 6 1 4
Hitunglah koefisien korelasi Kendall
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 24
Hitunglah koefisien korelasi Kendall untuk sampel data berikut
(a) X 64 63 61 65 62 66
Y 23 25 22 26 21 24
(b) X 3 2 5 9 1 10 8 4 7 6
Y 4 1 6 7 3 10 9 2 5 8
(c) X 82 98 87 40 116 113 111 83 85 126 106 117
Y 42 46 39 37 65 88 86 56 62 92 54 81
(d) X 5,0 8,0 2,0 4,0 3,0 7,0 1,0 6,0
Y 1,0 6,0 4,5 2,0 7,0 8,0 4,0 3,0
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Koefisien Korelasi Kendall dengan Peringkat Sama
Salah satu data, misalnya X, diurut naik dan data lainnya, misalnya Y, mengikuti
pasangannya
Pada Y dihitung s = nk - nd
Jika terdapat peringkat sama maka perlu dilakukan koreksi peringkat sama
Jika pada satu peringkat sama terdapat t data maka koreksi peringkat sama
adalah
T = ½ Σ t (t – 1)
Koefisien korelasi Kendall dengan koreksi peringkat sama adalah
s 
s
1
2
n ( n  1)  T X
1
2
n ( n  1 )  TY
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 25
Penilai X dan Y menilai enam obyek. Disusun dalam peringkat, penilaian mereka
adalah
Obyek
a
Peringkat X 1
Peringkat Y 6
b c d e f
2 3 4 5 6
3,5 1,5 1,5 3,5 5
sY = (0 – 5) + (1 – 2) + (2 – 0) + (2 – 0) + (1 – 0) =  1
Koreksi peringkat sama pada Y
Y t t (t – 1)
1,5 2
2
3,5 2
2
4
TY = (½)(4) = 2
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Koefisien korelasi Kendall
s 
s
1
2
n ( n  1)  T X
1

1
2
n ( n  1)  TY
1
( 6 )( 5 )  0
2
  0 , 07
1
( 6 )( 5 )  2
2
Contoh 26 (dikerjakan di kelas)
Tentukan koefisien korelasi Kendall untuk data berikut
X 7 18 17 4 21 27 20 14 15 10
Y 5 2 4 4 3 2 4 5 4 6
Data dijadikan peringkat
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 26
Tentukan koefisien korelasi Kendall untuk data berikut
(a) X 4 3 4 3 6 7 1 5 5 2
Y 4 2 6 5 7 9 1 8 10 3
(b) X 4 3
4
3 6 7
1 5 5 2
Y 3,4 3,2 3,5 3,0 2,9 3,4 2,5 3,9 3,6 3,0
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------E. Uji Hipotesis Koefisien Korelasi Kendall
1. Pendahuluan
• Hipotesis dapat berbentuk
>0
<0
≠0
• Pengujian dapat dilakukan untuk sampel besar atau sampel kecil
• Pada sampel kecil (n  10) disediakan tabel nilai kritis khusus
• Pada sampel besar (n > 10), distribusi probabilitas pensampelan mendekati
distribusi probabilitas normal
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Uji Hipotesis pada Sampel Besar
Pada sampel besar, n > 10
Distribusi probabilitas pensampelan mendekati distribusi probabilitas normal
• Rerata
 = 0
• Kekeliruan baku
 
2( 2 n  5)
9 n ( n  1)
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 27
Pada taraf signifikansi 0,05, uji  > 0 jika sampel acak menunjukkan
n = 12
s = 0,318
• Hipotesis
H0 :  = 0
H1 :  > 0
▪ Sampel
n = 12 s = 0,318
• Distribusi probabilitas pensampelan
Distribusi probabilitas normal
 
Kekeliruan baku
2( 2 n  5)
9 n ( n  1)

2 ( 2 )( 12 )  5 
( 9 )( 12 )( 11 )
 0 , 22
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------• Statistik uji
z
s 0


0 ,318  0
 1, 45
0 , 22
• Kriteria pengujian
Taraf signifikansi 0,05
Pengujian pada ujung atas
Nilai kritis z(0,95) = 1,645
Tolak H0 jika z > 1,645
Terima H0 jika z  1,645
• Keputusan
Pada taraf signifikansi 0,05 terima H0
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 28 (dikerjakan di kelas)
Pada taraf signifikansi 0,05, uji  < 0 jika sampel acak menunjukkan
X 60 37 30 20 24 42 39 54 48 58 26
Y 2 7 6 9 7 4 8 2 4 3 8
Urutkan dahulu data ini ke dalam peringkat
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 29
Pada taraf signifikansi 0,05, uji  > 0 jika sampel acak menunjukkan
(a) X 0 0 1 1 3 4 5 6 7 8 8 12
Y 42 46 39 37 65 88 86 56 62 92 54 81
(b) X 4 7 11 8 1 3 10 9 5 13 14 2 15 6 12
Y 5 4 8 14 2 6 12 7 1 15 9 3 10 11 13
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Uji Hipotesis pada Sampel Kecil
• Sampel adalah kecil jika n  10
• Pengujian hipotesis dilakukan dengan membandingkan p tabel khusus nilai
kritis dengan taraf signifikansi 
• Pada tabel khusus, s adalah harga mutlak (tidak dilihat tanda negatif atau
positif)
• Kriteria pengujian
Tolak H0 jika p  
Terima H0 jika p > 
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Tabel  Kendall
Menunjukkan nilai p untuk pengujian satu ujung
s
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
4
0,625
0,375
0,167
0,042
Nilai n
5
0,592
0,408
0,242
0,117
0,042
0,0083
8
0,548
0,452
0,360
0,274
0,199
0,138
0,089
0,054
0,031
0,016
0,0071
0,0028
0,00087
0,00019
0,000025
9
0,540
0,460
0,381
0,306
0,238
0,179
0,130
0,090
0,060
0,038
0,022
0,012
0,0063
0,0029
0,0012
0,00043
0,00012
0,000025
0,0000028
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Tabel  Kendall
Menunjukkan nilai p untuk pengujian satu ujung
s
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
Nilai n
6
7
0,500
0,500
0,360
0,386
0,235
0,281
0,136
0,191
0,068
0,119
0,028
0,068
0,0083
0,035
0,0014
0,015
0,0054
0,0014
0,00020
10
0,500
0,431
0,364
0,300
0,242
0,190
0,146
0,108
0,078
0,054
0,036
0,023
0,014
0,0083
0,0046
0,0023
0,0011
0,00047
0,00018
0,000058
0,000015
0,0000028
0,00000028
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 30
Pada taraf signifikansi 0,05, uji  < 0 apabila seperti pada contoh 22, sampel acak
menunjukkan
n = 6, sY = 3, s =  0,20
• Hipotesis
H0 :  = 0
H1 :  < 0
• Sampel
n=6
sY =  3 s =  0,20
• Kriteria pengujian (dari tabel khusus)
p = 0,360
yakni
p > 0,05
• Keputusan
Pada taraf signifikansi 0,05, terima H0
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 31 (dikerjakan di kelas)
Pada taraf sifnigikansi, uji hipotesis  < 0 untuk sampel
X 7 18 17 4 21 27 20 14 15 10
Y 5 2 4 4 3 2 4 5 4 6
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 32
Pada taraf signifikansi 0,05, uji hipotesis  > 0 untuk data sampel
(a) X 4 3 4 3 6 7 1 5 5 2
Y 4 2 6 5 7 9 1 8 10 3
(b) X 4 3
4
3 6 7
1 5 5 2
Y 3,4 3,2 3,5 3,0 2,9 3,4 2,5 3,9 3,6 3,0
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------F. Koefisien Konkordansi Kendall
1. Pendahuluan
• Koefisien korelasi peringkat Kendall menguji kecocokan penilai tetapi
hanya berlaku untuk dua orang penilai
• Untuk lebih dari dua orang penilai, kecocokan penilaian dapat diuji
melalui koefisien konkordansi Kendall
• Koefisien konkordansi Kendall terdiri atas
Tanpa peringkat sama
Ada peringkat sama
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Koefisien konkordansi Kendall tanpa peringkat sama
Penilaian dilakukan oleh
•
•
•
•
k penilai terhadap (k  3)
n obyek
(n  3)
disusun dalam peringkat
R adalah jumlah peringkat pada satu obyek oleh semua penilai
• Data perlu terlebih dahulu disusun ke dalam peringkat
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Rumus koefisien konkordansi Kendall tanpa peringkat sama

 R j 

R

 j
n 

W 
1 2 3
k (n  n)
12
dengan
2
k = banyaknya penilai
n = banyaknya obyek yang dinilai
Rj = jumlah peringkat pada satu obyek oleh semua penilai
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 33
Penilai
X
Y
Z
Rj
a b
1 6
1 5
6 3
8 14
Obyek
c d
3 2
6 4
2 5
11 11
e f
5 4
2 3
4 1
11 8
Rj = 63
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Koefisien konkordansi
Rj / n = 63 /6 = 10,5
Rj
Rj 

Rj 



n


obyek R  n
a
 1,5
2,25
b
4,5 20,25
c
1,5
2,25
d
1,5
2,25
e
1,5
2,25
f
 1,25 2,25
Jumlah
25,5
j
2
W 
25 ,5
1
12
(3) ( 6  6 )
2
3
 0 ,16
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Koefisien konkordansi Kendall dengan peringkat sama
Penilaian dilakukan oleh
•
•
•
•
•
k penilai terhadap (k  3)
n obyek
(n  3)
t peringkat sama untuk setiap peringkat sama
disusun dalam peringkat
R adalah jumlah peringkat pada satu obyek oleh semua penilai
• Data perlu terlebih dahulu disusun ke dalam peringkat
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Rumus koefisien konkordansi Kendall dengan peringkat sama

W 
1
12
dengan

Rj 


 R j 
n 
2
k (n  n)  k  T
2
3
T 
 (t
3
 t)
12
k = banyaknya penilai
n = banyaknya obyek yang dinilai
t = banyaknya peringkat sama pada setiap peringkat sama
Rj = jumlah peringkat pada satu obyek oleh semua penilai
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 34
Penilai
X
Y
Z
Rj
a
1
2,5
2
5,5
b
4,5
1
1
6,5
c
2
2,5
4,5
9
Obyek
d
e
f
g
4,5
3 7,5 6
2,5 4,5 8
9
4,5 4,5 4,5 8
13,5 12 20 23
 Rj = 165
 Rj / n = 16,5
h
i
j
9
7,5 10
6,5 10 6,5
8
8
10
23,5 25,5 26,5
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Koefisien konkordansi Kendall

  R j 

 T = 1,0 + 1,5 + 7 = 9,5
2
 R j   591
n 
W 
Peringkat sama
X
t
4,5 2
7,5 2
T
0,5
0,5
1,0
591
1
12
Y
2,5
4,5
6,5
t
2
2
2
T
0,5
0,5
0,5
1,5
Z t
4,5 4
8 3
T
5
2
7
( 3 ) (10  10 )  ( 3 )( 9 ,5 )
2
3
 0 ,828
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------G. Pengujian Hipotesis Koefisien Konkordansi Kendall
1. Macam pengujian
Ada dua macam pengujian
• Pengujian pada sampel besar (n > 7)
• Pengujian pada sampel kecil (3  k  20, 3  n  7)
• Pengujian pada sampel besar didekatkan ke DP khi-kuadrat
• Pengujian pada sampel kecil menggunakan tabel khusus
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Pengujian hipotesis pada sampel besar (n > 7)
Distribusi probabilitas pensampelan
Didekatkan ke DP khi-kuadrat melalui
2 = k(n – 1) W dengan
=n–1
Kriteria pengujian adalah tabel 2(1  )()
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 35
Pada taraf sigfikansi 0,05, uji kesamaan penilai, jika sampel adalah
seperti pada contoh 34
Hipotesis
H0 : Penilaian X, Y, dan Z adalah sama
H1 : Ada yang tidak sama
Sampel
k=3
n = 10
W = 0,828
Statistik uji 2 = k(n – 1)W = (3)(10 – 1)(0,828) = 22,356
 = n – 1 = 10 – 1 = 9
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Kriteria pengujian
 = 0,05 Nilai kritis 2(0,05)(8) = 15,507
Tolak H0 jika 2 > 15,507
Terima H0 jika 2  15,507
Keputusan
Pada taraf signifikansi 0,05, tolak H0
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Pengujian hipotesis pada sampel kecil (n  7)
Pengujian hipotesis menggunakan tabel khusus
Bilangan pada tabel dibandingkan dengan s untuk
s

Rj 

Rj 



n


2
Tolak H0 jika s  bilangan di dalam tabel
Terima H0 jika s < dari bilangan di dalam tabel
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Tabel Koefisien Konkordansi Kendall
Tabel untuk  = 0,05
k
3
4
5
6
8
10
15
20
3
4
48,1
60,0
89,8
119,7
49,5
62,6
76,7
101,7
127,8
192,9
258,0
n
5
64,4
88,4
112,3
136,1
183,7
231,2
349,8
468,5
6
7
103,9 157,3
143,3 217,0
182,4 276,2
221,4 335,2
299,0 453,1
376,7 571,0
570,5 864,9
764,4 1158,7
Tambahan untuk n = 3
k
s
9
54,0
12
71,9
14
83,8
16
95,8
18
107,7
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Tabel Koefisien Konkordansi Kendall
Tabel untuk  = 0,01
k
3
4
5
6
8
10
15
20
3
4
66,8
85,1
131,0
177,0
61,4
80,5
99,5
137,4
175,3
269,8
364,2
n
5
75,6
109,3
142,8
176,1
242,7
309,1
475,2
641,2
6
122,8
176,2
229,4
282,4
388,3
494,0
758,2
1022,2
7
185,6
265,0
343,8
422,6
579,9
737,0
1129,5
1521,9
Tambahan untuk n = 3
k
s
9
75,9
12
103,5
14
121,9
16
140,2
18
158,6
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Contoh 36
Pada taraf sigfikansi 0,05, uji kesamaan penilai, jika sampel adalah
seperti pada contoh 33
Hipotesis
H0 : Penilaian X, Y, dan Z adalah sama
H1 : Ada yang tidak sama
Sampel
k=3
n=6
Statistik uji s = 25,5
W = 0,16
------------------------------------------------------------------------------------------------------Bab 13A
------------------------------------------------------------------------------------------------------Kriteria pengujian
 = 0,05 Nilai kritis untuk k = 3 n = 6 s = 103,9
Tolak H0 jika s > 103,9
Terima H0 jika s  103,9
Keputusan
Pada taraf signifikansi 0,05, terima H0