Transcript ppt - HEPI MAKASSAR

KOEFESIEN KORELASI KENDAL
OLEH
ABDUL ZAHIR, S.Pd
ZAID, S.Pd.I
PENDAHULUAN
Kendal tau, adalah ukuran korelasi yang setara dengan Spearman R, terkait
dengan asumsi yang mendasarinya serta kekuatan statistiknya. Namun, besaran
Spearman R dan Kendal tau akan berbeda karena perbedaan dalam logika
mendasari serta formula perhitungannya.
Jika Spearman R setara dengan koefisien korelasi Pearson Product Moment,
yaitu koefisien korelasinya pada dasarnya menunjukkan proporsi variabilitas
(dimana untuk Spearman R dihitung dari ranks sedangkan korelasi Pearson dari
data aslinya), sebaliknya ukuran Kendal tau merupakan probabilita perbedaan
antara probabilita data dua variabel dalam urutan yang sama dengan
probabilita dua variabel dalam urutan yang berbeda.
Berdasarkan logika perhitungan ini, Noether (1981) dalam (Daniel,1991)
mengemukakan bahwa koefisien Kendal tau lebih mudah ditafsirkan
dibandingkan Spearman R.
 Korelasi dilakukan terhadap peringkat nilai yang
diberikan oleh dua penilai, misalkan, penilai X dan
penilai Y
 Salah satu nilai, misalnya, dari X disusun dalam
urutan peringkat naik; nilai lainnya mengikutinya
 Peringkat pada setiap nilai dari satu penilai
diperbandingkan secara berpasangan; jika urutan
adalah naik diberi +1 dan jika urutan adalah turun
diberi  1
Peringkat 1 2 (naik) + 1
Peringkat 4 1 (turun)  1
 Untuk tiap penilai, semua nilai urutan dijumlahkan
Perhitungan Urutan
Untuk penilai X, perbandingan berpasangan
Obyek
Peringkat X
Urutan
a
1
b
2
c d
3 4
Urutan 1  2 (naik) +1
Urutan 1  3 (naik) +1
Urutan 1  4 (naik) +1
Urutan 2  3 (naik) +1
Urutan 2  4 (naik) +1
Urutan 3  4 (naik) +1
Jumlah sX = +6
Dengan rumus s = ½ n (n  1)
Untuk penilai Y, perbandingan berpasangan
Obyek
Peringkat Y
Urutan
a
2
b
4
c d
3 1
Urutan 2  4 (naik) +1
Urutan 2  3 (naik) +1
Urutan 2  1 (turun) 1
Urutan 4  3 (turun) 1
Urutan 4  1 (turun) 1
Urutan 3  1 (turun) 1
Jumlah sY = 2
Koefisien korelasi Kendall Tanpa Peringkat Sama
Kendall menggunakan notasi  sehingga dikenal sebagai 
Kendall. Untuk
Obyek
Peringkat X
Peringkat Y
a b c d
1 2 3 4
2 4 3 1
Rumus koefisien korelasi  Kendall adalah
s =
=
Melalui perbandingan berpasangan, dengan +1 untuk naik
dan  1 untuk turun, s dihitung dari sampel yang ada
Pada contoh di atas s =  2 / 6 =  0,33
Contoh 2
Skor hasil belajar Statistik & Teori Tes Mahasiswa PEP
Mahasiswa
A
Skor Statistik
Teori Tes
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
42 46 39
37
65
88
86
56
62
92
54
81
82 98 87
40
116
113
111 83
85
126
106
117
Ranking berdasarkan urutan Mahasiswa
Mahasiswa
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
Skor Statistik
3
4
2
1
8
11
10
6
7
12
5
9
2
6
5
1
10
9
8
3
4
12
7
11
Teori Tes
Ranking berdasarkan peringkat
Mahasiswa
D
C
A
B
K
H
I
E
L
G
Skor Statistik
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
1
5
2
6
7
3
4
10
11 8
Teori Tes
F
9
J
12
Sesudah mengatur rangking-rangking itu, variabel X dalam urutan yang wajar,
kita tetapkan harga S untuk ranking yang saling berhubungan dengan variabel
Y:
S = (11 - 0) + (7 - 3) + (9 - 0) + (6 - 2) + (5 – 2) + (6 - 0) + (5 - 0) + (2 - 2) + (1- 2) +
(2 - 0) + (1 - 0)
= 44
Ranking Statistik Non Parametrik yang paling kiri adalah ranking 1, ini memiliki
11 ranking yang lebih besar sebelah kanannya dan 0 ranking yang lebih kecil di
sebelah kirinya, jadi skornya (11-0), begitu seterusnya sehingga didapat harga S
= 44
Rumus koefisien korelasi  Kendall adalah
s =
=
=
= 0,67
s = 0,67 merepresentasekan tingkat
hubungan antara teori tes dengan statistik
yang diperlihatkan 12 mahasiswa PEP
Koefisien Korelasi Kendall dengan Peringkat Sama
Jika terdapat peringkat sama maka perlu dilakukan koreksi
peringkat sama
Jika pada satu peringkat sama terdapat t data maka koreksi
peringkat sama adalah
T = ½ Σ t (t – 1)
Koefisien korelasi Kendall dengan koreksi peringkat sama
adalah
s 
s
1
n( n  1)  TX
2
1
n( n  1)  TY
2
Contoh 3
Skor hasil belajar Statistik & jumlah mahasiswa yang menyerah setiap
pengujian pada Mahasiswa PEP
Mahasiswa
A
Skor Statistik
Menyerah
B
D
E
F
G
H
I
J
K
L
42 46 39
37
65
88
86
56
62
92
54
81
0
1
3
4
5
6
7
8
8
12
0
C
1
Ranking berdasarkan urutan Mahasiswa
Mahasiswa
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
Skor Statistik
3
4
2
1
8
11
10
6
7
12
5
9
3,5
5
6
7
8
9
10,5 10,5
Teori Tes
1,5 1,5 3,5
12
Ranking berdasarkan peringkat
Mahasiswa
D
C
A
B
K
H
I
E
L
G
F
J
Skor Statistik
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10,5
8
9
5
12
7
6
10,5
Teori Tes
3,5 3,5 1,5 1,5
Sesudah mengatur rangking-rangking itu, variabel X dalam urutan yang wajar,
kita tetapkan harga S untuk ranking yang saling berhubungan dengan variabel
Y:
S = (8 - 2) + (8 - 2) + (8- 0) + (8 - 0) + (1 – 5) + (4 - 2) + (3 - 2) + (4 - 0) + (0- 3) + (2
- 0) + (1 - 4)
= 27
Ranking Statistik Non Parametrik yang paling kiri adalah ranking 3,5
(pasangannya di ranking X adalah ranking merepresentasekan,yaitu 4), ini
memiliki 2 ranking yang lebih besar sebelah kanannya dan 0 ranking yang lebih
kecil di sebelah kirinya, jadi skornya (8-2), begitu seterusnya sehingga didapat
harga S = 27
Setelah menentukan harga S = 27 , selanjutnya menentuka
harga Tx dan Ty. Tidak terdapat angka-angka sama diantara
skor-skor pada variabel statistik yaitu pada ranking X, dengan
demikian Tx = 0
Pada variabel menyerah (Y), ada 3 himpunan ranking berangka
sama dan t masing-masing = 2, dengan demikian Ty dapat
dihitung:
Ty = ½ Σ t (t – 1) = ½ {2(2-1) + 2(2-1) + 2(2-1)} = ½ (6) = 3
Dengan S = 27, N = 12, Tx = 0, dan Ty = 3, maka dapat dihitung harga s
s 
s 
s
1
n(n  1)  TX
2
27
66 63
s 
1
n(n  1)  TY
2
27
4158
s 
s 
27
64,48
27
1
1
12(12  1)  0 12(12  1)  3
2
2
  0,42
s
Seandainya kita tidak melakukan koreksi dengan adanya angka
yang sama, yakni jika kita menggunakan rumus s =
Maka kita menemukan harga yang berbeda
s =
=
= 0,41
Perhatikan bahwa akibat koreksi untuk angka yang sama itu
relatif kecil
Uji Hipotesis Koefisien Korelasi Kendall
Pendahuluan
 Hipotesis dapat berbentuk
>0
<0
≠0
 Pengujian dapat dilakukan untuk sampel besar atau sampel kecil
 Pada sampel kecil (n  10) disediakan tabel nilai kritis khusus
 Pada sampel besar (n > 10), distribusi probabilitas pensampelan
mendekatai distribusi probabilitas normal
Pada sampel kecil (n  10)
Untuk sampel-sampel kecil, signifikansi suatu
hubungan yang diobservasi antara dua sampel yang
ranking dapat ditentukan dengan hanya
menemukan harga S dan kemudian melihat tabel
kritisnya untuk menetapkan kemungkinan (satu sisi)
yang berkaitan harga tersebut. Kalau p ≤ α, Ho
dapat ditolak.
Sebagai contoh, misalkan N = 8 dan S = 10. tabel
kritisnya menunjukkan bahwa suatu S ≥ 10 untuk N
= 8 mempunyai kemungkinan kemunculan di
bawah Ho sebesar p = 0,138
Uji Hipotesis pada Sampel Besar
Pada sampel besar, n > 10
Distribusi probabilitas pensampelan
mendekati distribusi probabilitas normal
Rerata
 = 0
Kekeliruan baku
2(2n  5)
 
9n(n 1)
Statistik uji
s  
z

Contoh 3
Skor hasil belajar Statistik & Teori Tes Mahasiswa PEP
Mahasiswa
A
Skor Statistik
Teori Tes
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
42 46 39
37
65
88
86
56
62
92
54
81
82 98 87
40
116
113
111 83
85
126
106
117
Telah kita tentukan bahwa diantara kedua belas
mahasiswa, korelasi antara mata kuliah statistik dengan
teori tes adalah s = 0,67, jadi
s  
z
=

z  3,03
=
=
=
Dengan melihat tabel harga-harga z, kita
mengetahui bahwa z > 3,03 mempunyai
kemungkinan kemunculan, di bawah Ho sebesar
p = 0,0012. dengan demikian , kita dapat
menolak Ho pada tingkat signifikansi α = 0,01,
dan menyimpulkan bahwa kedua variabel
berasosiasi dalam populasi yang merupakan asalusul sampel ini.
Tabel  Kendall
Menunjukkan nilai p untuk pengujian satu ujung
s
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
4
0,625
0,375
0,167
0,042
Nilai n
5
8
0,592
0,548
0,408
0,452
0,242
0,360
0,117
0,274
0,042
0,199
0,0083 0,138
0,089
0,054
0,031
0,016
0,0071
0,0028
0,00087
0,00019
0,000025
9
0,540
0,460
0,381
0,306
0,238
0,179
0,130
0,090
0,060
0,038
0,022
0,012
0,0063
0,0029
0,0012
0,00043
0,00012
0,000025
0,0000028
Tabel  Kendall
Menunjukkan nilai p untuk pengujian satu ujung
Nilai n
s
6
7
1 0,500 0,500
3 0,360 0,386
5 0,235 0,281
7 0,136 0,191
9 0,068 0,119
11 0,028 0,068
13 0,0083 0,035
15 0,0014 0,015
17
0,0054
19
0,0014
21
0,00020
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
10
0,500
0,431
0,364
0,300
0,242
0,190
0,146
0,108
0,078
0,054
0,036
0,023
0,014
0,0083
0,0046
0,0023
0,0011
0,00047
0,00018
0,000058
0,000015
0,0000028
0,00000028