Transcript 离散型随机变量的分布列 X

高二数学 选修2-3
2.3.1离散型随机变
量的均值
一、复习回顾
1、离散型随机变量的分布列
X
x1
x2
···
xi
···
P
p1
p2
···
pi
···
2、离散型随机变量分布列的性质：
(1)pi≥0，i＝1，2，…；
(2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．
复习引入
对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确
定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，
有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例
如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，
很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否
“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。
我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某
个方面的特征，最常用的有期望与方差.
二、互动探索
1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，
1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是
多少？
1111 2  2  2  3 3  4
X
2
10
把环数看成随机变量X的概率分布列：
权数
X
P
1
2
3
4
4
10
3
10
2
10
1
10
4
3
2
1
X  1  2   3   4   2
10
10
10
10
加
权
平
均
一、离散型随机变量取值的平均值
数学期望
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X
x1
x2
···
xi
···
xn
P
p1
p2
···
pi
···
pn
则称
E ( X )  x1 p1  x2 p2 
 xi pi 
 xn pn
为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离
散型随机变量取值的平均水平。
思考、某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，
36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，
如何对混合糖果定价才合理？
把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：
X
P
18
24
36
3
6
2
6
1
6
1
1
1
X  18   24   36   23(元 / kg )
2
3
6
X
x1
x2
···
xi
···
xn
P
p1
p2
···
pi
···
pn
E ( X )  x1 p1  x2 p2 
 xi pi 
 xn pn
思考：
设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是
随机变量．
（1） Y的分布列是什么？
（2） E(Y)=？
X
P
x1
p1
x2
p2
···
···
xi
pi
···
···
xn
pn
···
···
Y ax1  b ax2  b ··· axi  b ··· axn  b
p1
p2
··· pi
··· pn
P
E (Y )  (ax1  b) p1  (ax2  b) p2   (axn  b) pn
 a( x1 p1  x2 p2    xn pn )  b( p1  p2    pn )
 aE ( X )  b
一、离散型随机变量取值的平均值
数学期望
X
x1
x2
···
xi
···
xn
P
p1
p2
···
pi
···
pn
E ( X )  x1 p1  x2 p2 
 xi pi 
二、数学期望的性质
E (aX  b)  aE ( X )  b
 xn pn
练习
1、随机变量ξ的分布列是
ξ
P
1
0.5
3
0.3
2.4
(1)则E(ξ)=
5
0.2
.
(2)若η=2ξ+1，则E(η)=
5.8
.
2、随机变量ξ的分布列是
ξ
4
7
9
10
P
0.3
a
b
0.2
E(ξ)=7.5,则a= 0.1
b= 0.4 .
四、例题讲解
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，
罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为
0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？
小结：
一般地，如果随机变量X服从两点分布，
则
X
1
0
P
p
1－p
E ( X )  1 p  0  (1  p)  p
例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，
罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为
0.7，他连续罚球3次；
（1）求他得到的分数X的分布列；
（2）求X的期望。
解：(1) X～B（3，0.7）
X
P
0
0 .3
1
3
C 0.7  0.3
1
3
2
2
C 32 0.7 2  0.3
3
0 .7
3
(2) E ( X )  0  0.33  1 C31 0.7  0.32  2  C32 0.7 2  0.3  3  0.73
 2.1  3 0.7
小结：
一般地，如果随机变量X服从二项分布，
即X～B（n,p），则E ( X )
 np
基础训练：
一个袋子里装有大小相同的3 个红球和
2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球
次数的数学期望是
3
.
三、如果随机变量X服从两点分布，
X
1
0
P
p
1－p
则E
（X）
p
四、如果随机变量X服从二项分布，即
X～B（n,p），则E
（X）
np
证明：若ξ～B(n，p)，则E(ξ)＝np
 k) C p q
证明：  P(ξ
k
n
k
n k
(k 0,1,2,
  ,n)
 Eξ 0  C 0n p 0q n  1 C 1n p1q n 1     
kC kn p k q n k      nC nn p n q 0
 np(C0n 1p 0 q n 1  C 1n 1p 1q n 2     
C
k 1 k 1 ( n1 )( k1 )
n 1
p q
 np( p  q)
所以
n 1
   C
n 1
n 1
p
n 1 0
 np.
若ξ～B(n，p)，则E(ξ)＝np．
q )
五、巩固应用
例3.一次英语单元测验由20个选择题构成，
每个选择题有4个选项，其中有且只有一个
选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，
不作出选择或选错不得分，满分100分，学
生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在
测验中对每题都从4个选项中随机地选择一
个。求学生甲和乙在这次英语单元测验中的
成绩的期望。
例4. 决策问题： 根据气象预报，某地区近期有小洪
水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区
某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失
60000元，遇到小洪水时要损失10000元。为保护
设备，有以下种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3800元。
方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能
挡住小洪水。
方案3：不采取措施，希望不发生洪水。
试比较哪一种方案好。
练习
1、射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继
续射击，他射中目标的概率是0.7,若枪内只有5颗子弹,
求射击次数的期望。(保留三个有效数字)

p
1
2
0.7
3
4
0.3× 0.32× 0.33×
0.7
0.7
0.7
E ( )  1.43
5
0.34
2、若保险公司的赔偿金为a（a＞1000）元，为使
保险公司收益的期望值不低于a的百分之七，则保
险公司应将最大赔偿金定为多少元？

1000
1000－a
P
0.97
0.03
E ( ) = 100 0－0.03a≥0.07a
得a≤10000
故最大定为10000元。
六、课堂小结
一、离散型随机变量取值的平均值
数学期望
X
x1
x2
···
xi
···
xn
P
p1
p2
···
pi
···
pn
EX  x1 p1  x2 p2    xi pi    xn pn
二、数学期望的性质
E (aX  b)  aEX  b