Transcript M8_My_Výrazy.

Matematika 8. ročník
Výrazy
Mnohočleny a
počítání s nimi
Creation IP&RK
Rozcestník – obsah materiálu
Výraz, počítání s výrazem, závorky
Výrazy s proměnnou
Sčítání a odčítání mnohočlenů
Mocniny – opakování
Násobení mnohočlenu jednočlenem
Násobení mnohočlenu mnohočlenem
Druhá mocnina dvojčlenu, rozdíl
druhých mocnin
Rozklad na součin, vytýkání před závorku
Použitý materiál - zdroj
Výraz, počítání s číselnými výrazy
Typy výrazů:
 číselný výraz:
5,2 + 3. (3/4 – 1,2)
Výraz s proměnnou x:
2x + 0,7 – 4x2
Výraz s proměnnými a, b: 2a – 3b + 5 -7ab
Výraz s proměnnými k, l , m, n: 5l -0,5k + 2.(m + n3)
…
Příklad:
(2,8 – 1,4) . 25 + 2,5 . 4 – (5,5 – 3,5)2=
Řešení: 1) odstraníme závorky 1,4 . 25 + 2,5 . 4 -22
2) spočítáme mocniny a odmocniny
1,4 . 5 + 2,5 . 4 – 4
3) násobíme
7 + 10 – 4
4) sečteme, odečteme
13
Druhy závorek a počítání s nimi
Typy závorek
• oblá závorka ( )
• hranatá závorka [ ]
•složená závorka  
 Použití závorek
Výraz
((5 – 3. (12 – 3,5) . 2 – 1,5 ) : 3) - 1
přepíšeme raději do tvaru

 5 – 3 . 12 – 3,5 . 2 – 1,5 : 3 - 1
Postupné odstraňování závorek
Odstraňujeme nejprve závorky kulaté,
pak hranaté a na konec složené .
Příklad 1:
(18 – 6) . 2 + (4 + 3) + 62  =
=  12 . 2 + 7 + 62 =
=24 + 7 + 36 =
= 24 + 43 = 67
Příklad 2:
100 - 24 - 42 + 18 - 6 - 22 + 20 - 3.12 - 9 =
= 100 - 24 - 16 + 18 - 42 + 20 - 3.3 =
= 100 – 8 + 18 - 16 + 20 - 9 =
= 100 – 8 + 2 + 20 - 9 =
= 114 – 9 = 105
Výrazy s proměnou:
Výrazy od sebe rozlišujeme podle počtu proměných:
Výraz s jednou proměnnou x:
2x + 0,7 – 4x2
Výraz se dvěma proměnnými a, b: 2a – 3b + 5 -7ab
Výraz se čtyřmi proměnnými k, l , m, n: 5l -0,5k + 2.(m + n3)
…
Při zápisu výrazu obvykle vynecháváme
symbol pro násobení.
12 . x  12x
5 . a . b  5ab
8 . m . n2  8mn2
Členy a koeficienty
18x + 5y – 8x2 + 9
2a2 + 5b – 6ab + 9
Členy
18x + 5y – 8x2 + 9
Koeficienty
Proměnné: a; b
Počet členů: 4
Čtyřčlen
+2a2
+ 5b
– 6ab
+9
Koeficienty: 2; 5; -6; 9
Jednočlen – skládá se z jednoho členu
2x ; -5v3 ; 16m2n ; -5a2b3c
Mnohočlen – skládá se z více členů
Dvojčlen
Trojčlen
Čtyřčlen
2a – 3b
-5x + 7
v3 - 2v
2a – 3b + 7
-6m2n + 5 m – n
3x – 2 xy + 5y
6x – 8y + 5xy – 8
v3 - 2uv + z – 3
-5a3b + 3ab3 -4ab +a2
Příklady:
1. Napiš součet čísel x a y zmenšená o 3.
x+y-3
2. Napiš trojnásobek součtu čísel a, b a c zvětšený 5.
3. (a + b + c) + 5
3. Napiš desetinu součtu čísel k a l zvětšeného 3krát.
4. Napiš odmocninu ze součinu čísel x a y zmenšená o 2.
Sčítání a odčítání mnohočlenů,
opačný mnohočlen
Při sčítání mnohočlenů nejprve vhodně sdružíme
jednotlivé členy (= členy se stejnými proměnnými,
případně se stejnými mocninami) a poté
provedeme sčítání.
3x2 + 4y2 + 2 + 3y + 5x2 + 8x + 6y2 + x + 6=
= (3x2 +5x2)+ (4y2 + 6y2)+ (8x + x) + 3y + (2 + 6)=
= 8x2 + 10y2 + 9x + 3y +8
Pro sčítání platí komutativní a asociativní zákon!
Opačný mnohočlen
Mnohočlen a opačný mnohočlen se liší jen
opačnými znaménky u všech koeficientů.
MNOHOČLEN
OPAČNÝ MNOHOČLEN
5a
-5a
3b – 4d
-3b + 4d
-5x – 7 y + 2
5x + 7 y – 2
4x2 – 9y2 + 3xy
-4x2 + 9y2 - 3xy
Součet mnohočlenu a mnohočlenu k němu
opačnému je roven nule.
Odčítání mnohočlenů
Odečíst mnohočlen znamená přičíst mnohočlen opačný.
Sčítat a odčítat můžeme jen členy se stejným proměnnými
a ve stejných mocninách.
3x2 - 4y2 + 2 + 3y - 5x2 - 8x + 6y2 + x - 6=
= (3x2 - 5x2)+ (-4y2 + 6y2)+ (-8x + x) + 3y + (2 - 6)=
= -2x2 + 2y2 - 7x + 3y - 4
Příklady k procvičení:
1) (5a – 7) – (8a - 9) = 5a – 7 – 8a + 9 = -3a + 2
2) 5x2 – (9x2 + 2y2) – 6 = 5x2 – 9x2 - 2y2 – 6 = -4x2 - 2y2 – 6
3) 12a - 16a2 + 8b – (b2 – 3b) – 6b2 =
= 12a - 16a2 + 8b – b2 + 3b – 6b2 =
= 12a - 16a2 - 8b + b2 – 3b + 6b2 =
= -16a2 + b2 + 6b2 + 12a – 8b – 3b =
= -16a2 + 7b2 + 12a – 11b
Počítání s mocninami - opakování
Příklady k
procvičení
Násobení mnohočlenu jednočlenem
Mnohočlen vynásobíme jednočlenem tak, že jednočlenem
vynásobíme každý člen mnohočlenu a výsledné jednočleny
sečteme.
Příklady k procvičení:
1) 3 . (x2 + 7y – 4xy + 8) = 3 . x2 + 3 . 7y – 3 . 4xy + 3 . 8 =
= 3x2 + 21y – 12xy + 24
2) 5a2b . (a – 3b2 + 5) = 5a2b . a – 5a2b . 3b2 + 5a2b . 5 =
= 5a3b – 15a2b3 + 25a2b
3) -7x . (4x2 – 8y + 6y2 – 6) = -7x.4x2 + 7x.8y – 7x.6y2 + 7x.6 =
= -28 x3 + 56 xy – 42xy2 + 42x
4) (9x2 + 27x – 6) : 3 = 9 x2 : 3 + 27x : 3 – 6:3 =
= 3x2 + 9x – 2
5) (4x2y – 28x + 16xy) :4x = 4x2y : 4x – 28x :4x + 16xy : 4x =
= xy – 7 + 4y
6) 8a.(a2– 4ab) – 3b.(6a2– 7b)= 8a.a2 – 8a.4ab – 3b.6a2 +3b.7b =
= 8a3 – 32a2b – 18a2b + 21b2 =
= 8a3 – 50a2b + 21b2
7) 4x.(6y – 8) – (81x – 36) : (-9) = 24xy – 32x + 9x - 4 =
= 24xy – 23x - 4
Násobení mnohočlenu mnohočlenem
Mnohočlen vynásobíme mnohočlenem tak, že každým
členem prvního mnohočlenu vynásobíme každý člen
druhého mnohočlenu a výsledné jednočleny sečteme.
(2x – 6) . (3y + 1) = 2x . 3y + 2x . 1– 6 . 3y
–6.1=
= 6xy + 2x – 18y - 6
(3a + 4b) . (2a + 9b) =
3a . 2a +3a . 9b + 4b.2a + 4b.9b =
= 6a2 + 27ab + 8ab + 36b2 =
= 6a2 + 35ab + 36b2
Příklady k procvičení:
1) (x2 – 3x) . (y2 – 4x2) = x2 . y2 – x2 . 4x2 – 3x . y2 + 3x . 4x2 =
= x2y2 – 4 x4 – 3xy2 + 12x3
2) (2a – 7b) . (3a + 4b – 6) =
= 2a . 3a + 2a . 4b – 2a. 6 – 7b . 3a – 7b . 4b +7b . 6 =
= 6a2 + 8ab – 12a – 21ab – 28b2 +42b =
= 6a2 - 13ab – 12a – 28b2 +42b
3) -(3a + b) . (3a – b) = -3a.3a + 3ab – b.3a + b.b =
= (-3a – b) . (3a – b) =
= -9a2 + 3ab – 3ab + b2 = -9a2 + b2
4) (2a – 7b) . (3a + 4b – 6) =
= 2a.3a + 2a.4b – 2a.6 - 7b.3a – 7b.4b + 7b.6 =
= 6a2 + 8ab – 12a – 21ab – 28b2 + 42b =
= 6a2 - 13ab – 12a – 28b2 + 42b
5)
(x2 + 3x - 2) . (3x2 – 2x + 5) =
= x2.3x2 + x2.2x - x2.5 + 3x.3x2– 3x.2x + 3x.5 – 2.3x2 + 2.2x – 2. 5) =
= 3x4 - 2x3 + 5x2 + 9x3– 6x2 + 15x – 6x2 + 4x – 10 =
= 3x4 + 7x3 - 7x2 + 19x - 10
Druhá mocnina dvojčlenu:
Pro druhou mocninu součtu
dvojčlenu platí vzorec:
Příklad:
(3x + 4y)2 = (3x)2 + 2 .3x.4y + (4y)2 = 9x2 + 24xy + 16y2
Druhá mocnina
prvního členu
Dvojnásobek součinu
prvního a druhého členu
Druhá mocnina
druhého členu
(2x + 4)2 = (2x)2 + 2.2x.4 + 42 = 4x2 + 16x + 16
(2x2 + 4y)2 = (2x2)2 + 2.2x2.4y + (4y)2 = 4x4 + 16x2y + 16y2
Druhá mocnina dvojčlenu:
Pro druhou mocninu rozdílu
dvojčlenu platí vzorec:
Příklad:
(3x - 4y)2 = (3x)2 - 2 .3x.4y + (4y)2 = 9x2 - 24xy + 16y2
Druhá mocnina
prvního členu
Dvojnásobek součinu
prvního a druhého členu
Druhá mocnina
druhého členu
Příklady:
1) (5a2 + a)2 = (5a2 )2 + 2. 5a2.a+ a2 = 25a4 + 10a3+ a2
2) (8a2b + 2b3)2 =
= 64a4b2 + 2. 8a2b. 2b3 + 4b6 = 64a4b2 + 32a2b4 + 4b6
3) (7a – 2b2 )2 = 49a2 – 2.7a.2b2 + 4b4 = 49a2 – 28ab2 + 4b4
4)(-2x + 6xy)2 = (6xy -2x)2 = 36x2y2 – 2.6xy.2x + 4x2 =
= 36x2y2 – 24x2y + 4x2
Rozdíl druhých mocnin:
(a + b) . (a – b) = a2 + ab – ab –b2 = a2 – b2
Platí vzorec:
Příklady:
1) (3x + 2y) . (3x – 2y) = 9x2 – 4y2
2) (6a2 - 4) . (6a2 + 4) = 36a4 – 16
A obráceně:
3) 25c2 – 16d2 = (5c – 4d) . (5c + 4d)
4) 49x2 – 36 = (7x – 6) . (7x + 6)
Rozklad mnohočlenů na součin pomocí
vytýkání před závorku:
Mnohočlen je součet jednočlenů. Pokud se nám tento
součet podaří vyjádřit jako součin, říkáme, že jsme
mnohočlen rozložili na součin.
Příklad:
Uprav na součin 15x3 – 6.
Postup: 1) najdeme největšího společného dělitele
mnohočlenu  3
2) Napíšeme ho před závorku - vytkneme
3) Vydělíme jím všechny členy mnohočlenu
 3.(5x3 – 2)
Řešení: 15x3 – 6 = 3.(5x3 – 2)
Příklady: Uprav na součin:
1) 10a4 – 20a2 + 50a = 10a . (a3 – 2a + 5)
2) 21y2 – 18 = 3 . (7y2 – 6)
3) 12x4 – 24x3 – 36x2 = 12x2. (x2 – 2x – 3)
4) 6ax + 12bx =
6x . (a + 2b)
5) 15a4b2 – 25ab2 + 45a3b4 =
= 5ab2 . (3a3 – 5 + 9a2b2) =
= 5ab2 . (9a2b2 + 3a3 – 5)
Sčítanec + sčítanec = součet
Menšenec – menšitel = rozdíl
Činitel * činitel = součin
Dělenec : dělitel = podíl
ZPĚT
ZPĚT
Při hledání inspirace na tvorbu materiálu pro
výuku počítání s mocninami a mnohočleny
jsem narazil na školní web: www.zsondrejov.cz
A zde na velmi pěkné poznámky z hodin matematiky.
Autorkou těchto poznámek je paní učitelka Věra
Hudcová. Jednotlivé materiály se mi natolik líbily, že
jsem si je „dovolil“ upravit a přesunout do prezentace.
Autorce za vypracování patří velký dík .
Jednotlivé díly naleznete zde: http://www.zsondrejov.cz/index.php?kde=101
ZPĚT