Transcript Параллельный перенос

Параллельный перенос
Определение
Параллельным переносом
плоскости (пространства) на
вектор a называется такое
отображение плоскости
(пространства) на себя, при
котором каждая т. М плоскости
(пространства) переходит в
такую т.
М`, что MM` = a .
Рассмотрим четырехугольник
ММ`N`N
В этом четырехугольнике две
противоположные стороны MM`
и NN`
параллельны и равны. Значит
MM`N`N – параллелограмм =>
MN = M`N`.
Свойство параллельного
переноса
z
Теорема :
Параллельный перенос есть
движение.
Доказательство :
Пусть есть две произвольные т.
A(x1;y1;z1) и B(x2;y2;z2). Тогда, при
параллельном переносе
получаем т.
A` (x1+a;y1+a;z1+a) ;
B` (x2+a;y2+a;z2+a) .
Как видно AB = A'B' =>
параллельный перенос является
движением. Теорема доказана.
y
x
Параллельный перенос
Введем на плоскости систему координат XОY .
Преобразование фигуры F , при котором произвольная ее точка M
( x ; y ) переходит в т. М1 ( x+a; y+а), где a и b – одни и те же для
всех
x ; y ),и те же для всех точек ( x ; y ),
где aточек
и b –( одни
называется параллельным переносом
Параллельный перенос задается формулами: x1 = x + a
y1 = y + a
которые выражают координаты т. М1 через координаты т. M при
параллельном переносе.
Y
(x+a;y+b)
(x;y)
(x1+a;y1+b)
(x1;y1)
О
X
Теорема
Каковы бы ни были две т. А и Аl существует один и только один параллельный перенос,
при котором точка A переходит в т.
Доказательство:
Введем в плоскости систему координат OXY, и пусть А(а1;b1) и Аl(a1 l ;b1 l ) –
заданные т. Определим параллельный перенос f равенствами x1 = x + a;
y1 = y + a, где а = a1 l - a1 и b = b1 l - b1.
Тогда данный параллельный перенос действительно переводит точку A в Аl
так как: a1 + а = a1 + a1 l - a1 = a1 l и b1 + b = b1 + b1 l - b1 = b1 l .
Предположим, что существует отличный от f параллельный перенос φ, такой,
что φ(А)= Аl
По определению φ:
а = a1 l - a1 ; b = b1 l - b1 т.е. φ: x1 = x + a; y1 = y + a
что совпадает с f , а это противоречит предположению.
ч.т.д
Задача
• Дано:
ABC ; A1B1C1
p ; т. M и M1
Док-ть: p=MM1
Задача
1
2
3
4